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2009届高三数学二轮专题复习课件:数列求和与综合应用


第十四讲: 数列求和及综合应用

一、考纲和课标要求: 1、掌握数列求和的常见的基本方法

2、解决数列间综合及数列与其他知识综合的 相关问题 3、09考纲有2个C 级要求在这部分出现

二:本专题需解决的问题:

(1)
(2)

化归为基本数列的求和问题

>数列间的综合 (基本数列、关联数列)

(3) 数列与其他知识的综合(函数方程、 不等式、导数、解几、新情景问题等) 本专题约需2-3课时

三:本专题操作模式建议:

(1) 先要求学生预习高考直通车第 14讲及冲刺练习,教师可以收部分 学生(临界生)上来诊断。
(2) 课堂点评学生错误,就重点问题的关键 处作分析引导,并作适当变式和拓展。将学生 先做教师诊断与当堂讨论相结合。

四:教学流程: 第一部分:数列求和 n 例1:对于条件 an ?1 ? 2an ? 2
问: ①我们的解题目标?

的处理

②结论 an?1 ? Aan ? B( A, B是常数) 能否使用? ③ 本题怎么办?(整体目标?) 小结:本题是基本题关键是意识到对 两边同时除以 2 n

第一部分:数列求和 例2:条件 210 S30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 问:①对这一条件怎么转化? ②用等比数列求和公式表示还是用定义表示? ③ 在使用这两种方案的注意点是什么?

?1? ④ 对于 nS n ? n ? n? ? 求和怎么处理? ?2?
小结:本题是运算方案(路径)的选择和优化 评讲建议: 可展示学生的过程或板书。同步练习 本节冲刺第11题

n

第二部分:基本数列之间的综合 1、课前热身3:

" a1 ? a2 ? a3 ? ?? ak为整数的k"
问: ①满足什么条件就是理想数? ②“为整数”与k有什么关系?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak lg 3 lg 4 lg( k ? 1) lg( k ? 2) ? ? ??? ? lg 2 lg 3 lg k lg( k ? 1) lg( k ? 2) ? lg 2

? m还是k ?(其中m是一整数) ? log 2 (k ? 2) ? m
? k ? 2 ? 2 m (m ? Z )

? k ? 2 ? 2 ? ?1,2008?
m

? 3 ? 2 ? 2010
m

? m ? Z ?2 ? m ? 10
?? 2 ? 2
m m?2 2 3 10

?

?

小结:本题是运算方案(路径)的选择和优化 评讲建议: 可展示学生的过程或板书。

? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2?9 ? 2026
10

第二部分:基本数列之间的综合 2、课前热身4: " n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?an "

?

? 1? 问: ① an ? ? an ? 512 ? ? ? ? ? 2?
②进一步求
n

n ?1

? ?(?2)

10? n

? 你认为要注意什么地方?

?

n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?an
n 9 ?8????? (10? n )
n ( 9 ?10? n ) 2 n (19? n ) 2

注意项数

? (?1) (?2)
n

? (?1) (?2) ? (?1) (?2)
n

? ?

9

? (?1) (?2) ? 2
9 45 10 45

45 45

10

? (?1) (?2) ? ?2

小结:本题是题意理解、含负号的指数式的运算 评讲建议: 可展示学生的过程或师生一起板书。

第二部分:基本数列之间的综合 2bn ? 1(n ? 2)" 3、直通车例3: " 2

bn S n ? S n

读题习惯 指导

问: ①我们在读题时应该注意什么? ②是先求 bn 还是求 S n ? 是否需要求 a n 的通项?
读完整, 看设问, 明目标

an 好求吗?

第二部分:基本数列之间的综合

思路1: 找出 a n 与 bn 的关系

bn ? a1? 2?3????( n ?1) ?1 ? a n ( n ?1)
2 ?1

an 是什么
数列?

解题经验 指导:做 不下去怎 么办?

第二部分:基本数列之间的综合

思路2: 在 "

2bn ? 1(n ? 2)" 2 bn S n ? S n

S n 与 bn
关系?

找问题的突破点

? bn ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)"
2 S ? 2 S n ?1 可化简得 ?1 S n ? S n ?1 1 1 1 ? ? ? S n S n ?1 2

第二部分:基本数列之间的综合

1 思路2: 由 ? S n ? n ?1 进一步求 bn 时需要注意什么?
?1(n ? 1) ? ? bn ? ? 2 ? (n ? 2) ? n(n ? 1) ?

第二部分:基本数列之间的综合

第2小问: 问①:要求第K行的所有项的和需要
什么? 问②:首项易知,公比怎么办?

首项和 公比

4 怎么用? 问③: a81 ? ? 91
问④: a81 是第几行中的数?

第二部分:基本数列之间的综合

? a81是第13行的第三个数

N=12也可 用不等式求 解

n(n ? 1) 当 ? 81时最大的n满足要求 2 n(n ? 1) 估算:当n ? 12时 ? 78 2 即第12行的最后一个数是a78

第二部分:基本数列之间的综合

2 1 ? a79 ? b13 ? ? ?? 13 ?14 91
又 ? a81 ? a79 ? q
2 2

? q ? 4即q ? 2(舍负)

即第K行成公比为2的等比数列: ?T ? bk ? bk ?1 ? ? ? ? ? bk ? k ?1
bk (1 ? 2 ) 2(1 ? 2 ) ? ? 1? 2 k (k ? 1)
k k

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

1、与函数方程的交汇综合
例题:冲刺强化训练(14)T12 前两小问略

下面主要研究第(3)问

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

1 Cn ? 2 ? n ?1 ? n 3 ?1 3 ?1
Tn ? C1 ? C2 ? ? ? ? ? Cn

1

问1:能否相消?
问2:是否需 要相消?

将Tn 表示出来并不困难

解题目标?

1 1 1 1 ? 2n ? 2 ? 0 ? 3 ? 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 ? ??? ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n 3 ?1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1

第三部分:数列与其他知识的交汇综合 问:能否将其转化为可消的情况 (结合不等关系)?

?3 ? 1 ? 3 ?1 1 1 ? n ? n 3 ? 1 3 ?1
n n

问:将“+”放 缩为“—”? 解题目标

1 1 ?? n ?? n 3 ?1 3 ?1

当n ? 2时 Tn ? C1 ? C2 ? ? ? ? ? Cn

第一项不动 的原因?

1 1 ? C1 ? 2(n ? 1) ? 3 ? 2 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 ? ??? ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 ? 2? 2 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 3 ? 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 ? ??? ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

1 1 ? ? 1 ? 2n ? n ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ? ? ? 2n ? n ?1 4 3 ?1 1 1 ? ? ? 2n ? ? ? 2n 4 3

探索:若 Tn<2n+? ?处填什么合 适,并证明。

当n ? 1时也符合。
1 ? 综上所述:Tn ? 2n ? 3

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

2、与不等式知识的交汇综合

例:已知以a为首项的数列?an ?满足: ?an ? 3, an ? 3 an ?1 ? ? (盐城期末调研0901 ) ?2an ,a n ? 3

1、证明:若0 ? an ? 6,则0 ? an?1 ? 6
2、若a, k ? N ,求使an ? k ? an
*

对任意正整数n都成立的k与a的值

第三部分:数列与其他知识的交汇综合 分析:1、分段式怎么处理? 2、递推关系怎么用?

提示: 对周期数列an ? k ? an,不熟悉可以先列举

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

3、与导数知识的交汇综合

例:冲刺练习( ):求?an ? bn ? 14 中最大项
lg n ? an ? bn ? n
怎么求最值?

单调性或导数 (核武器)

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

3、与导数知识的交汇综合

lg n 思路一 ? an ? bn ? ? f ( n) n e lg ' n f ( n) ? ? ? ? ? 2 n f (n)在?e,???递减,在?0, e?递增

其中f (2) ? f (3)故第3项最大

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

3、与导数知识的交汇综合

lg n 思路二? an ? bn ? ? f ( n) n n (n ? 1) lg n ?1 n f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? n(n ? 1)
n

(n ? 1) 其中 n ?1 的大小理科生可以用数归法解决。 n 也可得到第3项最大

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

4、与解析几何知识的交汇综合

例:已知直线ln : y ? x ? 2n与圆Cn : x ? y ? 2an ? n ? 2交于不同的两点An , Bn,
2 2

1 其中数列?an ?满足a1 ? 1, an ?1 ? An Bn 4 ( )求数列?an ? 1 的通项公式

2

n (2)设bn ? (an ? 2),求数列?bn ? 的前n项和S n 3

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

解题指导:克服心理畏惧,读题、画图、列式

利用好圆中含的直角三角形
2 1 2 An Bn ? n ? 2an ? n ? 2 4

化简得:an?1 ? 2an ? 2
以下部分忽略自己课后完成。

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

练习:(供选择)

在平面直角坐标系中已知 An (n, an ), Bn (n, bn ), Cn (n ? 1,0)( n ? N *)满足向量A1 An ?1 与向量BnCn 共线线,且Bn (n, bn )都在斜率6的同一条直线上 ( 1 试试 a1 , b1与n来表示a n ; )
结合图形 认真分析 即可解决

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

bn ?1 ? bn 参考答案: 易得: ? 6,即bn ?1 ? bn ? 6, (n ? 1) ? n ?bn ? b1 ? 6(n ? 1) 又利用共线可得到:an ?1 ? an ? bn .
?当n ? 2时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? a1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2).

第三部分:数列与其他知识的交汇综合 5、与三角知识的交汇综合 (以三角为载体)

例:数列?an ?满足a1 ? 1, a2 ? 2,

1 2 n? 2 n? an ? 2 ? (1 ? cos )an ? 2 sin (百校大联考) 3 2 2 ( )求a3 , a4 及数列?an ? 1 的通项公式
n

(2)设Cn ? ? (?1) a2 n , a为大于零的实数,
2

Tn为数列?Cn ? 的前n项和,问是否存在实数?, 使得对于任意正整数n都有a ? Tn ? a 成立? 若存在说明?范围

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

分析:将1、分别代入到 2 1 2 n? 2 n? an ? 2 ? (1 ? cos )an ? 2 sin 3 2 2 4 求出a3 , a4分别为3, 3 1 2 n? 2 问1:an ? 2 ? (1 ? cos )an ? 2 sin 3 2 这一条件怎么简化?

怎么办?

n? 2

n? 2

可列举、观 察

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

问2:n分奇偶数讨论后实质上是个什么数列?
问3:n为奇数时an ? a1 ? ? 问4:n为偶数时an ? a?? ?
整理得:当n为奇数时an ? n ?2? 当n为偶数时an ? 2 ? ? ? ?3?
n ?1

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

? 2? 易得:Cn ? ?2? ? ? ? ? 3? n 6 ? ? 2? ? 化简得:Tn ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 5 ? ? 3? ? ? ?

n ?1

问:下面怎么办?需要对?和n同时讨论吗? 问:题目中的隐含条件是什么?
a>0

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

? ? 2 ?n ? 6 易得:? Tn ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 0 5 ? ? 3? ? ? ?

?? ? 0

? 2? 提示:下面就是对设bn ? 1 ? ? ? ? 的最值研究。 ? 3?

n

? 2? 问: ? 怎么办? ?? ? 3?

n

N分奇偶讨 论

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

易得:当n为奇数时Tn ? T1 当n为偶数时Tn ? T2

?T2 ? Tn ? T1
a ? ?? ? ? 2 ? 提示:再利用? 对a讨论是否存在? 2 ?? ? ? 3a ? 2 ?

第三部分:数列与其他知识的交汇综合

综合分析得: ? a 3a 当a ? 3时,? ? ? ? ,? ? 2 2 ? 当0 ? a ? 3时不存在
2 2

? ?满足 ? ?

小结:本文仅对数列中的部分问题做了一些 分析,列举了部分典型例题,其余题目见直 通车.笔者认为数列部分的复习还是以常规 题型为主,重点掌握等差、等比数列的概念、 性质及应用, 让考生每遇到一个数列的综 合题就认真弄清其中的知识点,学会其中的 方法,掌握其中的数学思想.同时注意与函 数、导数、不等式、平面向量及解析几何等 知识的交汇联系,让考生尽量多得到高考数 列综合题的分数.

谢谢!


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