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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 选修4-4 第1讲 坐标系


第 1 讲 坐标系

1.坐标系 (1)坐标变换
?x′=λ· x(λ>0) ? 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作用下, ? y(μ>0) ?y′=μ·

点 P(x,y)对应到点(λx,μ y),称 φ 为坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选一个长 度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极 坐标系.

设 M 是平面内任意一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径, 记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记 为 θ,有序数对(ρ,θ )叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单
? ?x=ρcos θ 位. 设 M 是平面内的任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为(x, y)和(ρ, θ ), 则? , ?y=ρsin θ ?

ρ =x +y ? ? ? . y tan θ = (x≠0) ? x ? 3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ 0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π +θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos_θ =a; π (3)直线过 M(b, )且平行于极轴:ρsin_θ =b. 2 4.圆的极坐标方程

2

2

2

若圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r,则该圆的方程为: 2 ρ 2-2ρ0ρ cos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos_θ ; π (3)当圆心位于 M(a, ),半径为 a:ρ=2asin_θ . 2

考点一__平面直角坐标系中的伸缩变换__________
?x′=3x, ? y2 求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ? ?2y′=y

1 ? ?x=3x′, x′2 y2 2 [解] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),由上述可知,将? 代入 x - =1,得 64 9 ? ?y=2y′, 4y′2 x′2 y′2 x2 y2 - =1, 化简得 - =1, 即 - =1 为曲线 C′的方程, 可见仍是双曲线, 则焦点 F1(- 64 9 16 9 16 5,0),F2(5,0)为所求.

? ?x′=λx(λ>0), [规律方法] 平面上的曲线 y=f(x)在变换 φ:? 的作用下的变换方程的 ?y′=μy(μ>0) ?

?x= λ , y′ ?x′? 求法是将? 代入 y=f(x),得 =f? ?,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求变换之后的 y′ μ ?λ? ?y= μ
方程. 1.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满 足图象变换的伸缩变换.

x′

? ?x′=λx(λ>0), 解:设变换为? 代入第二个方程,得 2λx-μy=4,与 x-2y=2 比较系 ?y′=μy(μ>0), ? ?x′=x, ?x′=x, ? ? 数得 λ=1,μ=4,即? 因此,经过变换? 后,直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′ ?y′=4y. ?y′=4y ? ?
=4. 考点二__极坐标与直角坐标的互化______________

(2014· 高考天津卷改编)在以 O 为极点的极坐标系中, 圆 ρ=4sin θ 和直线 ρsin θ =a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,求 a 的值. [解] 由 ρ=4sin θ,可得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4. 由 ρsin θ=a,可得 y=a. 设圆的圆心为 O′,y=a 与 x2+(y-2)2=4 的两交点 A,B 与 O 构成 等边三角形,如图所示. 由对称性知∠O′OB=30°,OD=a. 在 Rt△DOB 中,易求 DB= ∴B 点的坐标为? 3 ?. 3 ? a,a? 3 a, 3

又∵B 在 x2+y2-4y=0 上, ∴? 3 ? +a2-4a=0, ? 3 a?
2

4 即 a2-4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3. 3 [规律方法] 极坐标与直角坐标互化的注意点: (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点 的极坐标将不唯一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. 2.(2015· 郑州市第二次质量预测)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ +sin π 2 θ 和直线 l:ρ sin?θ - ?= .(ρ≥0,0≤θ <2π ) 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标. 解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 故圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0,

? π? 2 直线 l:ρsin?θ- ?= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 2 4 ? ?

则直线 l 的直角坐标方程为:x-y+1=0. (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程,
2 2 ? ? ?x +y -x-y=0 ?x=0 将两方程联立得? ,解得? , ?x-y+1=0 ?y=1 ? ?

即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1),

? π? 将(0,1)转化为极坐标为?1, ?,即为所求. ? 2?
考点三__曲线极坐标方程的应用______________ (2015· 辽宁五校协作体高三摸底)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为
? ?x=1+cos φ , ? (φ 为参数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. ?y=sin φ ?

(1)求圆 C 的极坐标方程; π (2)直线 l 的极坐标方程是 ρ(sin θ + 3cos θ )=3 3,射线 OM:θ= 与圆 C 的交点 3 为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. [解] (1)圆 C 的普通方程是(x-1)2+y2=1, 又 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以圆 C 的极坐标方程是 ρ=2cos θ. (2)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,

?ρ =2cos θ , ?ρ =1, 则有? 解得? π π θ = , θ = ? 3 ? 3.
1 1 1 1 1

设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,

?ρ (sin θ + 则有? π ?θ = 3 ,
2 2 2

3cos θ2)=3 3,

?ρ =3, 解得? π θ = ? 3.
2 2

由于 θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2, 所以线段 PQ 的长为 2. [规律方法] 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直 接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. π π 3.在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为?3, ?、?4, ?,求 3? ? 6? ? △AOB(其中 O 为极点)的面积.

? π? ? π? 1 解: 由题意知 A, B 的极坐标分别为?3, ?、 则△AOB 的面积 S△AOB= OA·OB·sin ?4, ?, 2 ? 3? ? 6?
π 1 ∠AOB= ×3×4×sin =3. 2 6

?x′=2x 1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 后,曲线 C:x +y =36 变为何 1 y ′ = y ? 3
2 2

1

种曲线,并求曲线的焦点坐标. 解:设圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P′(x′,y′),

? ?x=2x′ 则? , ?y=3y′ ?
∴4x′2+9y′2=36, x′ y′2 即 + =1. 9 4
2

x2 y2 ∴曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + =1, 9 4

其焦点坐标为(± 5,0). π 9π 2.(2015· 江苏扬州质检)求经过极点 O(0,0),A?6, ?,B?6 2, ?三点的圆的极坐 2? 4 ? ? ? 标方程. 解:将点的极坐标化为直角坐标, 点 O,A,B 的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6), 故△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形, 圆心为(3,3),半径为 3 2, 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18, 即 x2+y2-6x-6y=0, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上述方程, 得 ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0,

? π? 即 ρ=6 2cos?θ- ?. ? 4?
?x=2+t, ? 3.(2014· 高考重庆卷改编)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点 ?y=3+t ?

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ -4cos θ = 0(ρ≥0,0≤θ <2π ),求直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ.

?x=2+t, ? 解:参数方程? 化为普通方程为 y=x+1.由 ρsin2θ-4cos θ=0,得 ρ2sin2θ- ? ?y=3+t ? ? ?y=x+1, ?x=1, 4ρcos θ=0, 其对应的直角坐标方程为 y2-4x=0, 即 y2=4x.由? 可得? 故直 2 y = 4 x y = 2 , ? ? ? ?
线和抛物线的交点坐标为(1,2),故交点的极径为 12+22= 5.

? ?x′=3x, 4.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? ?2y′=y. ?

1 ? (1)求点 A? ?3,-2?经过 φ 变换所得的点 A′的坐标; 1 -3, ?,求点 B 的坐标; (2)点 B 经过 φ 变换得到点 B′? 2? ?

(3)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得到的直线 l′的方程.

? ?x′=3x, 解:(1)设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ:? ? ?2y′=y ? ?x′=3x, ?1 ? 得到? 1 由于点 A 的坐标为?3,-2?, ? ?y′=2y,
1 1 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 ∴A′(1,-1)即为所求. 1 ? ? ?x=3x′, ?x′=3x, (2)设 B(x,y),由伸缩变换 φ:? 得到? ?2y′=y ? ? ?y=2y′. 1? 由于点 B′的坐标为? ?-3,2?, 1 1 于是 x= ×(-3)=-1,y=2× =1, 3 2 ∴B(-1,1)即为所求.

? x′ ? ?x′=3x, ?x= 3 , (3)由伸缩变换 φ:? 得? ?2y′=y, ? ? ?y=2y′.
代入直线 l:y=6x,得到经过伸缩变换后的方程 y′=x′,因此直线 l′的方程为 y=x. 5.(2015· 福建泉州质检 )已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ 2-2 2ρ π cos?θ - ?=2. 4? ? (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4;

? π? 因为 ρ2-2 2ρcos?θ- ?=2, ? 4? ? π π? 所以 ρ2-2 2ρ?cos θcos +sin θsin ?=2, 4 4? ?
所以 x2+y2-2x-2y-2=0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1,

? π? 2 即 ρsin?θ+ ?= . ? 4? 2
6.求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数. p 证明:建立如图所示的极坐标系,设抛物线的极坐标方程为 ρ= (p>0). 1-cos θ PQ 是抛物线的弦,若点 P 的极角为 θ, 则点 Q 的极角为π+θ, 因此有|FP|= , 1-cos θ p p

|FQ|=

p = . 1-cos(π+θ) 1+cos θ

1-cos θ 1+cos θ 1 1 所以 + = + |FP| |FQ| p p 2 = (常数). p 原命题得证. 1.(2015· 唐山市统一考试)已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y=2.以 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|· |OP|=|OR|2,当 点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程. 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2. (2)设 P,Q,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ|· |OP|=|OR|2,得 ρρ1
2 =ρ2 .

2 又 ρ2=2,ρ1= , cos θ+sin θ 2ρ 所以 =4, cos θ+sin θ 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).
? ?x=4+5cos t, 2.(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),以坐 ?y=5+5sin t ?

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π ).

? ?x=4+5cos t, 解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ?y=5+5sin t ?
即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

?x=ρcos θ ? 将? ,代入 x2+y2-8x-10y+16=0,得 ? ?y=ρsin θ
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

?x2+y2-8x-10y+16=0, ? 由? ?x2+y2-2y=0, ? ? ?x=1, ? ?x=0, 解得? 或? ? ? ?y=1 ?y=2.
π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2, ),(2, ). 4 2 3.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的 π 极坐标方程为 ρcos?θ - ?=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3? ? (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求点 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

? π? 1 3 解:(1)由 ρcos?θ- ?=1,得 ρ? cos θ+ sin θ?=1, 2 2 ? ? ? 3?
1 3 从而曲线 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2

θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). θ= 2 时,ρ= 3 ,所以 N?2 3, ?. ? 3 2?
2 3? (2)由(1)得点 M 的直角坐标为(2,0),点 N 的直角坐标为?0, . 3 ? ? 所以点 P 的直角坐标为?1, π 2 3

?

π?

?

3? , 3?

? π? 则点 P 的极坐标为?2 3, ?, ? 3 6?
π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6
?x=acos φ ? 4 . (2015· 太原市模拟试题 ) 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=bsin φ

π (a>b>0,φ 为参数),且曲线 C1 上的点 M(2, 3)对应的参数 φ= .以 O 为极点,x 轴的正 3 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 θ= π 交于点 D( 2, ). 4 (1)求曲线 C1 的普通方程,C2 的极坐标方程; (2)若 A(ρ1,θ ),B(ρ2,θ + π 1 1 )是曲线 C1 上的两点,求 2+ 2的值. 2 ρ 1 ρ 2 π 与曲线 C2 4

π 解:(1)将 M(2, 3)及对应的参数 φ= 代入 3

? ?2=acos 3 ?x=acos φ ? (a>b>0,φ为参数),得? , π ?y=bsin φ ?

? ? ?

π

3=bsin

3

?a=4 ? 解得? , ? ?b=2

x2 y2 ∴曲线 C1 的普通方程为 + =1, 16 4 π 2 设圆 C2 的半径为 R,则圆 C2 的方程为 ρ=2Rcos θ,将点 D( 2, )代入得 2=2R· , 4 2 解得 R=1, ∴圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为

ρ2cos2θ ρ2sin2θ
16 + 4

=1,

2 2 2 2 π ρ2 ρ2 ρ2 ρ2 1cos θ 1sin θ 2sin θ 2cos θ 将 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+ )代入得 + =1, + =1, 2 16 4 16 4

1 1 ?cos2θ sin2θ? ?sin2θ cos2θ? 5 ∴ 2+ 2=? ?+? ?= . + + 4 ? ? 16 4 ? 16 ρ1 ρ2 ? 16


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