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陕西省西藏民族学院附属中学2016届高三上学期期末考试(文)数学试题


西藏民族学院附中 2015-2016 学年上学期期末考试 高三数学(文科)试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.复数

i 在复平面上对应的点位于() 3?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一

象限 2.设 cos(? ? ? ) ?

3 3? (? ? ? ? ) ,那么 sin(2? ? ? ) 的值为() 2 2
1 2
C.

A. ?

3 2

B. ?

1 2

D.

3 2

3.已知命题 p:m,n 为直线, ? 为平面,若 m∥n, n ? ? ,则 m∥ ? ;命题 q:若 a>b,则 ac>bc,则下列命题为真命题的是() A. ? p 或 q B. ? p 且 q C.p 或 q D.p 且 q

4.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? () A.

1 AD 2

B.

1 BC 2

C. BC

D. AD

5.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,且双曲线 2 a b

的离心率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为()

A.

x2 y 2 ? ?1 27 18

B.

y2 x2 ? ?1 18 27

C.

x2 y2 ? ?1 12 24

D.

x2 y2 ? ?1 3 6

6.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是() A.

24 5

B.5

C.

28 5

D.6

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() A. 8 ? 2? B. 8 ?

? 2

C. 8 ? ?

D. 8 ?

? 4

8.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1,2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的 个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有() A.52 种 B.36 种 C.20 种 D.10 种
2 2

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则 A=() A.30° B.60° C.120° D.150°

10.执行如图所示的程序框图,若输出的 S=48,则输出 k 的值可以为() A.6 B.10 C.4 D.8

2 11.二项式 ( ? x x ) 展开式中含有 x 项,则 n 可能的取值是()
n

1 x

A.8

B.7

C.6

D.5

12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f ?( x ) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 ,在 (0,??) 上,

f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的取值范围为()
A. [2,??) B. [3,??) C. D. (??,?2] ? [2,??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? x?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ,则 x-y 的取值范围为_______. ?2 x ? y ? 3 ?
16.f(x)是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,f(0)=0,则 f(2016)=______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 ,

nan ? an ?1 ? n, n ? N ? . an ?1

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ?

2n ,数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ,求 Tn . an

18.(本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA 1 ? 1 ,AB=2,点 E 是线段 AB 的中点. (1)求证: D1E ? CE ; (2)求二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示:

(1)根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2)要从 4 名语文成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示 选中的同学的英语英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

(线性回归方程 y ? b x ? a , b ?

?

?

?

?

? ( x ? x)( y
i ?1 i n i ?1 i

n

i

? y)
2

? ( x ? x)

, a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均

?

?

值, b , a 的值的结果保留二位小数.) 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

?

?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, 椭圆 C1 与 a 2 b2
5 . 3

抛物线 C2 在第一象限的交点为 P, PF ? (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)过点 A(-1,0)的直线与椭圆 C1 相交于 M,N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立的动点 R 的 轨迹方程. 21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且在(0,e]上的最大值为 1,求 a 的值. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 作直线 AP⊥OM 于 P. (1)证明: OA ? OM ? OP ;
2

(2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB⊥ON 且交圆 O 于 B 点,过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明: ∠OKM=90°.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直线 l : ?

? x ? a ? 4t ? (t 为参数) ,圆 C : ? ? 2 2 cos( ? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合, 4 ? y ? ?1 ? 2t

且单位长度相同). (1)求圆心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 ,求 a 的值. 5

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a . (1)当 a=2 时,解不等式 f ( x ) ? ?

1 ; 2

(2)若存在实数 x,使得不等式 f ( x) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

文科数学参考答案 一、选择题:BCADD 二、填空题:13.1 12.解:令 g ( x) ? f ( x) ? BCDAD AB

14. ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

25 4

15.

16.2016

1 2 1 1 x ,∵ g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? 0 , 2 2 2

1 1 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? g (6 ? m) ? (6 ? m) 2 ? g (m) ? m 2 ? 18 ? 6m ? 0 , 2 2
即 g (6 ? m) ? g (m) ? 0 ,∴ g (6 ? m) ? g (m) ,∴ 6 ? m ? m ,∴ m ? 3 .

) ? f (2013 ) ? 3 ? f (2010 ) ? 6 ? ? ? ? ? f (0) ? 2016? 2016, 16.∵ f (2016 f (2016 ) ? f (2014 ) ? 2 ? f (2012 ) ? 4 ? ? ? ? ? f (0) ? 2016? 2016,∴f(2016)=2016.
三、解答题: 17.解: (1)由

nan ? an ?1 a n , (2 分) ? n ,得 (n ? 1)an?1 ? nan ,即 n?1 ? an ?1 an n ?1

当 n ? 2 时, 即 an ?

a a a2 a3 a4 1 2 3 n ? 2 n ?1 , (3 分) ? ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 a3 an?2 an?1 2 3 4 n ?1 n

1 1 a1 ? ; (4 分) n n 1 1 ? 因为 a1 ? 1 ? ,所以 an ? ( n ? N ) . (5 分) 1 n
(2)由 bn ?

1 2n 与 a n ? ,得 bn ? n ? 2n , (6 分) n an
2 3 n

∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ,①(7 分)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ,②(8 分)
①-②得 ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1

, (11 分)

∴ Tn ? (n ?1) ? 2

n?1

?2.

(12 分)

18.(1)证明:∵ DD1 ⊥面 ABCD,CE ? 面 ABCD,所以 DD1 ⊥CE, (1 分)

RT△DAE 中,AD=1,AE=1, DE ?
2

(3 分) AD2 ? AE2 ? 2 ,
2 2

同理: CE ? 2 ,又 CD=2, CD ? CE ? DE ,DE⊥CE, (4 分) DE ? CE=E,所以 CE⊥面 D1DE , (5 分) 又 D1 E ? 面 D1DE ,所以 D1E ⊥CE. (2)解法一:几何法 由(1)证可知∠ D1E D 是所求二面角 D1 ? EC ? D 的平面角. 由 RT△ D1E D 中, DD1 =1, DE ? 2 ,故 tan?D1ED ? (8 分) (6 分)

1 2 , (10 分) ? 2 2

即二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值为 解法二:利用向量法

6 . 3

(12 分)

设平面 CD1E 的法向量为 m ? ( x, y,1) ,由(1)得 D1E ? (1,1,?1) , CE ? (1,?1,0) , (7 分)

m ? D1E ? x ? y ?1 ? 0 且 m ? CE ? x ? y ? 0 ,
解得: x ? y ?

1 1 1 ,即 m ? ( , ,1) .(9 分) 2 2 2

又平面 CDE 的法向量为 DD ), 1 ? (0,0,1 ∴ cos ? m, DD1 ??

m ? DD1 m ? DD1

?

1 6 . ? 3 1 1 ? ? 1 ?1 4 4
6 . (12 分) 3

即二面角 D1 ? EC ? D 的大小的余弦值为

19.解: (1) x ?

86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 90 , ? 91 , y ? (2 分) 5 5

? (x ? x)
i ?1 5 i i ?1 i

5

2

? (?4) 2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 42 ? 34 ,

? (x ? x)( y ? y) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35 ,
i

b?
?

?

35 ? 1.03 , (4 分) 34
?

a ? y ? b x ? 90 ? 1.03? 91 ? ?3.73 , (5 分)
故回归直线方程为 y ? 1.03x ? 3.73.
?

(6 分)

(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2. (7 分)

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C2 1 C2 C2 2 C2 1 , , (9 分) ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? , 2 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

故 ? 的分布列为:

(10 分) 所以 E? ? 0 ?

1 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . (12 分) 6 3 6
2

20.解: (1)抛物线 C2 : y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0),准线为 x=-1, 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,依据抛物线的定义,由 PF ? 分) 因为点 P 在抛物线 C2 上,且在第一象限, 所以 y0 ? 4 x0 ? 4 ?
2

5 5 2 ,得 1 ? x0 ? ,解得 x0 ? .(2 3 3 3

2 2 6 2 2 6 ) . (3 分) ,解得 y0 ? .所以点 P 的坐标为 ( , 3 3 3 3

因为点 P 在椭圆 C1 :
2 2

4 8 x2 y2 ? 2 ? 1 上,所以 2 ? 2 ? 1 .① 2 9a 3b a b
2 2

又 c=1,且 a ? b ? c ? b ? 1 ,②

?a 2 ? 4 x2 y2 解得 ? 2 ,所以椭圆 C1 的方程为 ? ? 1 .(5 分) 4 3 ?b ? 3
(2)设点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) , R ( x, y ) , 则 FM ? ( x1 ?1, y1 ) , FN ? ( x2 ?1, y2 ) , FR ? ( x ?1, y) , 所以 FM ? FN ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) , 因为 FM ? FN ? FR ,所以 x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1 , y1 ? y2 ? y .③ 因为 M、N 在椭圆 C1 上,所以 上面两式相减得

x12 y12 x2 y2 ? ?1, 2 ? 2 ?1. 4 3 4 3

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0 .④ 4 3 ( x ? 1)( x1 ? x2 ) y ( y1 ? y2 ) ? ?0. 把③式代入④式,得 4 3
当 x1 ? x2 时,得

y1 ? y2 3( x ? 1) ,⑤ ?? x1 ? x2 4y
x ?1 y , ). 2 2

(8 分)

设 FR 的中点为 Q,则 Q 的坐标为 (

因为 M,N,Q,A 四点共线,所以 kMN

y y1 ? y2 y 2 .⑥ ? ? ? k AQ ,即 x1 ? x2 x ? 1 ? 1 x ? 3 2

把⑥式代入⑤式,得

y 3( x ? 1) ,化简得 4 y 2 ? 3( x 2 ? 4x ? 3) ? 0 .(10 分) ?? x?3 4y

当 x1 ? x2 时,可得点 R 的的坐标为(-3,0), 经检验,点 R(-3,0)在曲线 4 y ? 3( x ? 4x ? 3) ? 0 上.
2 2

所以动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3( x ? 4x ? 3) ? 0 .
2 2

(12 分)

21.解:显然函数 f(x)的定义域为 (0,??) .

(1)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 当0 ? x ?

2 x 2 ? 3x ? 1 , (1 分) x

1 , x2 ? 1 . 2

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f(x)在 (0, ) 上单调递增; (2 分) 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f(x)在 ( ,1) 上单调递减; (3 分) 2 2
当 x>1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f(x)在 (1,??) 上单调递增; (4 分) 所以 f(x)的单调递增区间为 (0, ) , (1,??) ;单调递减区间为 ( ,1) . (5 分) (2)因为 f ?( x) ?

1 2

1 2

2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)(x ? 1) ? , x x
1 , 2a
1 . 2
(6 分)

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

因为 f(x)在 x=1 处取得极值,所以 x2 ? x1 ,即 a ? ①当 a<0,即 x2 ?

1 ? 0 时, 2a

因为当 0<x<1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上单调递增;当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f(x)在(1,e]上单调递减,故 f(x)在区间(0,e]上的最大值为 f(1). 由 f(1)=1,解得 a=-2. ②当 a ? (7 分)

1 1 ? 1 时, ,即 0 ? x2 ? 2 2a 1 1 1 ) 上单调递增;当 ? x ? 1 时, 因为当 0 ? x2 ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 (0, 2a 2a 2a

f ?( x) ? 0 ,
1 ,1) 上单调递减,当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在(1,e 上的最大值 1 2a 1 只可能在 x ? 或 x=e 处取得. 2a 1 1 1 1 1 1 ? a( ) 2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 , 因为 f ( ) ? ln 2a 2a 2a 2a 2a 4a 1 1 2 ? .(9 分) 所以由 f (e) ? ln e ? ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? e?2 2 1 1 1 ? a ? ,即 1 ? x2 ? ? e 时, ③当 2e 2 2a
所以 f(x)在 (

1 时, f ?( x) ? 0 , 2a 1 1 1 ) 上单调递减,当 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 ( , e] 上单调递 所以 f(x)在 (1, 2a 2a 2a
因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 (0,1) 上单调递增;当 1 ? x ? 增,故 f(x)在区间(0,e]上的最大值 1 只可能在 x ? 1 或 x=e 处取得. 因为 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 , 所以由 f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ④当 0 ? a ?

1 1 ? (舍去).(10 分) e?2 2

1 1 ? e 时, ,即 x2 ? 2a 2e

因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 (0,1) 上单调递增;当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f(x)在 (1, e) 上单调递减,故 f(x)在区间(0,e]上的最大值 1 只可能在 x ? 1 处取得. 因为 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 ,所以此时 a 无解. 综上所述, a ? (11 分)

1 或 a=-2. e?2

(12 分)

22.证明: (1)由 MA 是圆 O 的切线知:AM⊥OA, (2 分) 又∵AP⊥OM, ∴在 RT△OAM 中,由射影定理知: OA ? OM ? OP . (4 分)
2

(2)证明:由 BK 是圆 O 的切线知:BN⊥OK,同(1) OB ? ON ? OK , (6 分)
2

由 OB=OA 得: OM ? OP ? ON ? OK , (7 分) 即:

OP OK ? .又∠NOP=∠MOK, (9 分) ON OM
(10 分)

∴∠OKM=∠OPN=90°.

(用 M、P、N、K 四点共圆来证明) 23.解: (1)把 ?

? x ? a ? 4t 化为普通方程为 x+2y+2-a=0, (2 分) ? y ? ?1 ? 2t

把 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 , (4 分)

∴圆心 C(1,-1)到直线的距离为

5 1? a 5

.(5 分)

(2)由已知圆的半径为 2 ,弦长的一半为

3 , (7 分) 5

所以 (
2

a ?1 2 3 2 (8 分) ) ?( ) ? ( 2 )2 , 5 5
(10 分)

∴ a ? 2a ? 0 ,a=0 或 a=2.

1( x ? 2) ? ? 24.解: (1)∵a=2,∴ f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? ?5 ? 2 x( 2 ? x ? 3) , (1 分) ? ? 1( x ? 3) ?
∴ f ( x) ? ?

1 ? ? 1 ? x?2 ? x ? 31 5 ? 2x ? ? 或 ? 1 或? 等价于 ? (3 分) ? 2 ?? 1 ? ? , 1? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2? x?3
(5 分)

解得

11 ? 11? ? x ? 3 或 x ? 3 ,所以不等式的解集为 ? x x ? ? . 4 4? ?

(2)由不等式性质可知 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ? ( x ? 3) ? ( x ? a) ? a ? 3 , (8 分) ∴若存在实数 x,使得不等式 f ( x) ? a 成立,则 a ? 3 ? a ,解得 a ? ∴实数 a 的取值范围是 (?? , ] . (10 分)

3 , 2

3 2


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