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人教版高二数学上学期期中考试卷


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高二数学上学期期中考模拟卷
(满分 150 分,时间 120 分钟) 命题人 :绿洲教育教研组 学生姓名: 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1
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成绩:

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等差数列 {a n }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列{a n }前9 项的和 S 9 等于( ) A
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99
0 0

C

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2

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在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A
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?1

C

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?2 3
)

3

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设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( A
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1 1 ? a b

B

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1 1 ? a b

C

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a ? b2

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a 2 ? 2b

4 在公比为整数的等比数列 ?a n ?中, 如果 a1 ? a 4 ? 18, a 2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之 和为( A
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5 在△ABC 中,若 A ? 2B ,则 a 等于( ) A 2bs i n A B 2bc o s A C 2bs i n B
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225 8
D
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2bc o s B
) D
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6 关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? )
2 x 2

5 2

5 2

1? x

的解集是 (
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A 7
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x?

1 2
x

B
x

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x?

1 2

C

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x?2

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若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A
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1

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0 或 32

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lo g5 2
)

8 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A
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90 0

B

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60 0

C

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135 0

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150 0

9.已知 ?1 ? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4 ,则 2a+3b 的取值范围是 A 10
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(?

13 17 , ) 2 2

B (?

7 11 , ) 2 2

C

7 13 (? , ) 2 2

D

9 13 (? , ) 2 2

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等 比 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 , 且 a5 a ? a a 4? 18 , 则 6 7

l o3 a ? g1
A
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l a ?2 o g 3
B
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? . .a .3( ? 0 ) l 1 o g

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12

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10

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1 ? l o 3g 5

D

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2 ? l o 3g 5

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? x ? 0, ? 11、不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)的个 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
数为( A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 5
n

12、预测人口的变化趋势有多种方法, 直线推算法” “ 使用的公式是 Pn ? P (1 ? k ) (k ? ?1) , 0 其中 Pn 为预测期人口数, P0 为初期人口数 k 为预测期内年增长率 n 为预测期间隔年数。如 果 ( 在 A
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某 一 时 ) 呈上升趋势



有 B
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1<k<0,

那 C
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期 D
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呈下降趋势

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摆动变化

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不变

二、填二、空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.不需要写出解答过程,请把答 案直接填空在答题卡相应位置上。 ........ 13
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两个等差数列 ?a n ?, ?bn ?,

a a1 ? a 2 ? ... ? a n 7 n ? 2 ? , 则 5 =___________ b5 b1 ? b2 ? ... ? bn n?3

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△ABC
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?A ? 6

0

0 ? , S?ABC ? , b 1



3

,

a?b?c =_______ sin A ? sin B ? sin C

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? x ? y ≥ ?1 ? 15、 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 z =2 x +4 y 的最大 ?y≥ 2 ?
值为( 16
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在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C, 则 B 的取值范围是_______________

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三、解答题:本大题共 6 小题,前 5 道每题 12 分,最后一题 14 分,共 74 分.请在答题卡指 .... 定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... 17、如 图 所 示 的 四 边 形 ABCD 中 已 知 AD ? CD , AD=10 , AB=14 ,

?BDA ? 600 , ?BCD ? 1350 , 求 BC 的长

18.已知:等差数列{ a n }中, a 4 =14,前 10 项和 S10 ? 185 .

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(Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)将{ a n }中的第 2 项,第 4 项,?,第 2 n 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列 的前 n 项和 G n .

19

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mx 2 ? 4 3x ? n 已知函数 y ? f ( x) ? 的最大值为 7 ,最小值为 ?1 ,求此函数式 x2 ? 1

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20、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产

1 ,本年度当地旅游业收 5 入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上 1 年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的 表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

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21、设锐角三角形 ABC 的内角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . , (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

22. (本题满分 14 分) 对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R, 使f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0为f ( x) 的不动点.如果函数

x2 ? a 1 f ( x) ? (b, c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f (?2) ? ? , bx ? c 2 (1)求函数 f (x) 的解析式; 1 (2)已知各项不为零的数列 {a n }满足4S n ? f ( ) ? 1 ,求数列通项 a n ; an
(3)如果数列 {a n } 满足 a1 ? 4, a n ?1 ? f (a n ) ,求证:当 n ? 2 时,恒有 a n ? 3 成立.

高二数学上学期期中考模拟卷参考答案
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B

a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

2 3

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9 9 S9 ? ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) 2 2 b C ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 a
C

9 ? ( 1 3? 9 ) 9 9 ? 2
3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3
1 1 ? ,要求 a, b 同号, a b

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对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 ? b ? ?1 ? b2 ? 1, 而a ? 1 ,对于 a 2 ? 2b 的反例: a ? 1.1, a 2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6
4 C

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a1 (1 ? q 3 ) ? 18, a1 (q ? q 2 ) ? 12,

1 ? q3 3 1 ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2

而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? 5 D 6 B 7
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2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 1? 2

sin A ? sin 2B ? 2sin B cos B, a ? 2b cos B

? k 2 ? 2k ?

5 3 1 ? (k ? 1)2 ? ? 1,? x ? 1 ? x, x ? 2 2 2

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D

lg 2 ? lg(2 x ? 3) ? 2lg(2 x ? 1), 2(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) 2
( 2x 2 ? 4 x2 ? 5 0x, 2 x 5 , ) ? ? ? ?
2

log 5 8

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B

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, (b ? c)2 ? a 2 ? 3bc,

b 2 ? c 2 ? a 2? 3bc , c oA ? s
9.用待定系数法,解出 2a+3b= 10.B

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? A,? 2bc 2

60 0

5 1 (a+b) ? (a-b),求出结果为 D。 2 2

log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? log3 (a1a2 ...a10 ) ? log3 (a4 a5 )5 ? log3 (310 ) ? 10
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11.解析: (1,1)(1,2)(2,1) , , ,共 3 个 答案:3
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12、 答案: 解析:Pn ?1 ? Pn ? P (1 ? k ) B 0

n ?1

? P0 (1 ? k )n = P0 (1 ? k ) n (1 ? k ? 1) ? P0 (1 ? k ) n k ,

? ?1 ? k ? 0,? 0 ? 1 ? k ? 1, (1 ? k ) n ? 0.又? P0 ? 0, k ? 0,? P0 (1 ? k ) n k ? 0, 即Pn ?1 ? Pn ? 0.? Pn ?1 ? Pn

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65 12
2 39 3

9 (a ? a ) a5 2a5 a1 ? a9 2 1 9 S 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? "9 ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S 9 9?3 12 1 9 2
1 1 3 S?ABC ? bc s i n ? c ? A ? 2 2 2 3 ,? c a 2 ,? 4 a?, 13 13

14

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a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2
15、13 16
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x-y=-1 y=2

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? ? tan A ? tan C [ , ) tan 2 B ? tan A tan C, tan B ? ? tan( A ? C ) ? 3 2 tan A tan C ? 1 tan A ? tan C tan B ? ? tan( A ? C ) ? tan 2 B ? 1
tan 3 B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B

x+y=4

tan 3 B ? 3tan B, tan B ? 0 ? tan B ? 3 ? B ?
2

?
3
2 2

17、解:在 ?ABC 中,由余弦定理得 BA ? BD ? AD ? 2BD?AD? ?BDA. cos 设 BD=x,则 14 ? x ? 10 ? 2 ?10 x cos 60
2 2 2
2

0

,

得 x -10x-90=0 ? x1 ? 16, x2 ? ?6(舍去) 即 BD=16.在 ?BDC 中,

?CDB ? ?ADC ? ?BDA ? 900 ? 600 ? 300

由正弦定理得

BC BD 16 ? ,? BC ? ? 30o ? 8 2 sin o sin ?CDB sin ?BCD sin ?135 ? a1 ? 3d ? 1 4 , ? a4 ? 14 ? a1 ? 5 ? 18、 (Ⅰ)由 ? ∴ ? ??3 分 ? 1 1 0a1 ? ? 1 ? ?9 d 9 0 ? 1 8 5d ? 3 ?, ? S10 ? 185 ? ? 2 由 a n ? 5 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 ???????????6 分
(Ⅱ)设新数列为{ bn },由已知, bn ? 3 ? 2 ? 2
n
1 2 3 n n

??????? 9 分

? Gn ? 3(2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2n ? 6(2 ? 1) ? 2n.
? Gn ? 3 ? 2 n ?1 ? 2n ? 6, (n ? N *) ??????????????12分
19、解: y ( x ? 1) ? mx ? 4 3x ? n, ( y ? m) x ? 4 3x ? y ? n ? 0
2 2 2

显然 y ? m 可以成立,当 y ? m 时,方程 ( y ? m) x ? 4 3x ? y ? n ? 0
2

必然有实数根,? ? ? 48 ? 4( y ? m)( y ? n) ? 0, 即 y ? (m ? n) y ? mn ? 12 ? 0, 而 ? 1 ? y ? 7
2

??1和7 是方程 y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 12 ? 0 的两个实数根
?m ? n ? 6 x 2 ? 4 3x ? 5 , m ? 1, n ? 5 ? y ? 则? x2 ? 1 ?mn ? 12 ? ?7
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20、解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- 为 800×(1-

1 )万元,?第 n 年投入 5

1 n-1 ) 万元,所以,n 年内的总投入为 5 1 1 - n 1 - 4 )+?+800×(1- )n 1= 800×(1- )k 1=4000×[1-( )n] 5 5 5 5 k ?1

an=800+800×(1-

?

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 收入 400×(1+

1 ),?,第 n 年旅游业 4

1 n-1 ) 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 - n 5 - 5 )+?+400×(1+ )k 1= 400×( )k 1.=1600×[( )n-1] 4 4 4 4 k ?1

bn=400+400×(1+

?

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即:

5 n 4 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2> 4 5 5 2 4 2 0.解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( )n< ,由此得 n≥5. 5 5 5 ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.
1600×[( 21 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6
? ? ? ? ? A? ? ?

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

1 3 ?? ?? ? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ?6 ? ?
由 △ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . ? A? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6
所以

1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, .由此有 2 3? 2 2 3? 2 ? ?
? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

c ? ?2 ? 0 ? ? 1 ? b , x ?a ? ? x 得: (1 ? b) x 2 ? cx ? a ? 0, 由违达定理得: ? 22 解:设 bx ? c ?2 ? 0 ? a , ? 1? b ?
2

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?a ? 0 x2 ?2 1 ? 解得 ? ,由 f (?2) ? ?? , c , 代入表达式 f ( x) ? c 1? c 2 ?b ? 1 ? 2 (1 ? ) x ? c ? 2 得 c ? 3, 又c ? N , b ? N , 若c ? 0, b ? 1, 则f ( x) ? x 不止有两个不动点,

? c ? 2, b ? 2, 于是f ( x) ?

x2 , ( x ? 1). ???????????????5 分 2( x ? 1)

1 2 ) an 2 ? 1得 : 2 S n ? a n ? a n , (2)由题设得 4 S n ? 1 2( ? 1) an (
且 a n ? 1,以n ? 1代n得 : 2S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1
2

(A)

(B)
2 n 2 n ?1

由(A) ? (B)得: 2a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a ? a

)即(a n ? a n?1 )( a n ? a n ?1 ? 1) ? 0,

? a n ? ?a n?1或a n ? a n?1 ? ?1,以n ? 1代入( A)得 : 2a1 ? a1 ? a12 ,
解得 a1 ? 0 (舍去)或 a1 ? ?1 ;由 a1 ? ?1 ,若 a n ? ?a n ?1得a 2 ? 1, 这与 a n ? 1 矛 盾,

? an ? an?1 ? ?1 ,即{ a n } 是以 ? 1 为首项, ? 1 为公差的等差数列, ? a n ? ?n ;
????????????????????????10 分
2 an 2a n ? 2

(3)证法(一) :运用反证法,假设 a n ? 3(n ? 2), 则由(1)知 a n ?1 ? f ( a n ) ?

?

a n ?1 an 1 1 1 1 3 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 1,即a n ?1 ? a n (n ? 2, n ? N ) an 2(a n ? 1) 2 an ? 1 2 2 4

a12 16 8 ? ? ? 3; ? a n ? 3, ∴ a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ,而当 n ? 2时, a 2 ? 2a1 ? 2 8 ? 2 3 这与假设矛盾,故假设不成立,∴ an ? 3 .???????????????14 分
证法(二) :由 a n ?1 ? f (a n )得a n ?1 ? 得 a n ?1 <0 或 a n ?1 ? 2, 若a n ?1
2 an 1 1 1 1 1 , ? ?2( ? ) 2 ? ? 2a n ? 2 a n ?1 an 2 2 2 ? 0, 则an?1 ? 0 ? 3, 结论成立;

? a n (a n ? 2) ? 0, 2(a n ? 1) 2 2 即数列{ a n }在 n ? 2 时单调递减,由 a 2 ? 2 ,可知 a n ? a 2 ? 2 ? 3, 在n ? 2 上成 3 3
若 a n ?1 ? 2 ,此时 n ? 2, 从而 a n ?1 ? a n ? 立.?????????????????????????????????14 分

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