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【家教资料】高中数学必修一


必修 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 【2.1.2】指数函数及其性质 函数名 定 义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1
y
y ? ax

0 ? a ?1
y ? ax
y

图 象
y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

1
O

1

x0
R (0, ??)

O

x0

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值 的变化 情况 在 R 上是增函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是减函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变对
图象的 影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大 图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (2)几个重要的对数恒等式 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga ab ? b .

(3)常用对数与自然对数常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 ?) . (4)对数的运算性质如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a ④a
log a N

M ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) N

? N ⑤ log ab M n ?

n logb N log a M (b ? 0, n ? R) ⑥换底公式: log a N ? (b ? 0, 且b ? 1) b logb a
【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数

函数名称 定义

对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
图 象 1
O
(1, 0)
O

0 ? a ?1
y

y

x?1

y ? loga x

x?1

y ? loga x

(1, 0)

1

0

x

0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在 (0, ??) 上是增函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化图
象的 影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越 靠高.

(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别 是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域.③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义(2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点, 并且在 [0, ??) 上为增函数. 如果 ? ? 0 , 则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数, 在第一象限内, 图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ? q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,
p
q q q

若 p 为奇数 q 为奇数时, y ? x p 是奇函数, p 为奇数 q 为偶数时, y ? x p 是偶函数, p 为偶数 q 为奇数时,y ? x p 则 若 则 若
? 是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,

其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式①一般式: ②顶点式: ③两根式: (2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关时,常使用顶点式.③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便.
2 (3)二次函数图象的性质①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ? b , 顶点坐标是

2a

(?

b b 4ac ? b2 .②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 4ac ? b2 ; b 时, ( ??, ? ] 上递减,在 [? b , ??) 上递增,当 x ? ? , ) f min ( x) ? 2a 2a 2a 4a 2a 4a
2a
2a
b 时, 4ac ? b2 f max ( x) ? 2a 4a

当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? b ] 上递增,在 [? b , ??) 上递减,当 x ? ?

.③二次函数
?. |a|

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2 2

(4)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ?
y
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点函 2a

a?0
O

y
x??

b 2a

数值符号.k<x1≤x2

?

? ? b ?-2a>k

△=b -4ac≥0 af(k)>0

2

k x1
x??

x2
b 2a

x

k
?

O

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

y
a?0
O

y
f (k ) ? 0
?

x??
O

b 2a

x1≤x2<k

?

?△=b -4ac≥0 af(k)>0 ? b ?-2a<k
y
O

2

x1

x2

k
x2
?

k x

x1
a?0

x

b x?? 2a

f (k ) ? 0

a?0
y

k
?

?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

x1

x2

x
x1
O

f (k ) ? 0

k

x1<k<x2

?

af(k)<0

y
? ?

a?0

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

y

x??

b 2a

④k1<x1≤x2<k2

?

? ? ? ?k <-2ba<k ?
1

△=b -4ac≥0 a>0 f(k1)>0 f(k2)>0
2

2

? ? 或? ?k <-2ba<k ?
1

O △=b -4ac≥0 a<0 f(k1)<0 f(k2)<0
2

2

k1
?

k1

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2
y
?

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种

情况是否也符合
a?0

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

y
f ( k1 ) ? 0
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

?a>0)>0 ?f(k ?f(k )<0 ?f(p )<0 ?f(p )>0
1 2 1 2

?a<0)<0 ?f(k 或?f(k )>0 ?f(p )>0 ?f(p )<0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出.
2 (5) 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M , 最小值为

1 (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) m ,令 x0 ? ( p ? q ) . 2
最小值 ① 若?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a? y x? b 0 ? 2a f p q x O( f b q f (? ) 2a ()

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a
a0 ②? yx?b ? 2 a f f

?

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a? y x? b 0 ? 2a f q p O
f (? b f) 2a

(

p O( pf (? 2ba ) q ) )

q x

( p ) (

x

最大值 ① 若?

b ? f (q? ) b 0 ? x0 ,则aM ? y x? 2a 2a f x ?
0

②?

b f (? ) 2a

O (

p q x f (Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) (q 最大值 p) ) ②若 p ? ?
f (?

b ? x0 ,则 M ? f (y ) b ? p a 0 ? 2a x? 2a
f
x0 ?

(

q x

① ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
y f q

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

( ③若 ? q )

p O p b f (? ) f 2a )

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
f ( ?0 a ?2ba ) y f

a? 0

b f (? ) 2a

③ a ? 2ba ) y 0 f ④ q

最小值

( O ( p O p x x p f p x? b f ? ? b x ? 2a 2a ( ) ( ) ( ?b ) yq af (? 0 b q ② ? b ? x ,则 m ? f ( p) .p 2a ? x0 ,则 m ? f (q) ①若 ? 0 f 2a 2a ) ) ) x0 q ( ? O p x p f ? ) x? b ( 2a 第 1 讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算 q ¤例题精讲: ) 【例 1】求下列各式的值: (2) ( x ? y)2 .

( p q O q f )

x

? b x? 2a f ?0 a(?ba ) y 2 f ( p q O q f )

x0 ?

x ? b x? 2a

( p )

n (1) n 3 ? ?) ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (

n n 解: (1)当 n 为奇数时, n 3 ? ?) ? 3 ? ? ;当 n 为偶数时, n 3 ? ?) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 . ( (

2) ( x ? y)2 ?| x ? y | . 当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? x ? y ;当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? y ? x . 【例 2】已知 a 2n ? 2 ? 1 ,求 解:

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n

a 3n ? a ?3n (a n ? a ? n )(a 2 n ? 1 ? a ?2 n ) 1 ? ? a 2 n ? 1 ? a ?2 n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 ?1. n ?n n ?n a ?a a ?a 2 ?1
2 1 1 1 1 5

【例 3】化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a
3

(a>0,b>0) (3) 81? 9 3 . ;

4

2

解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a

2 1 1 ? ? 3 2 6

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab ? 4a .(2)原式=
0

a 2 b ? [(ab2 ) 3 ]2 ab2 ? (b / a)
1 3

1 1

=

a 2 b ? a 6 b3 a b
2 3 7 3

3

1

1

10

4

=

a 6 b3 a b
2 3 7 3

=

a .3)原式 b

= 34 ? [(32 ) 3 ]2 ? 34 ? 33
4

2 1

4

2

?2?

1 2

? 34 ? 33 ? (34 ? 33 ) 4 ? (34 ) 4 ? (33 ) 4 ? 3 ? 36 ? 3 6 3 .
1 1? 3 ? 1 3? 5 ? 1 5? 7 ? ??? ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

4

2

2 1

1

2 1

1

【例 4】化简与求值: (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2)

.

解: (1)原式= 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) 2 = (2 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 =4.2)原式 =
3 ?1 5? 3 7? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1 1 1 ? ? ? ??? ? = ( 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) = ( 2n ? 1 ? 1) . 3 ?1 5?3 7?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 2

第 2 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一)

1 2. 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下性质:定义域为 R,值域 2 为 (0, ??) ;当 x ? 0 时, y ? 1 ,即图象过定点 (0,1) ;当 0 ? a ? 1 时,在 R 上是减函数,当 a ? 1 时,在 R
上是增函数. 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2
1 1 3? x



1 (2) y ? ( ) 3

5? x



(3) y ?

10x ? 100 . 10x ? 100

解: (1)要使 y ? 2 3? x 有意义,其中自变量 x 需满足 3 ? x ? 0 ,即 x ? 3 . ∴ 其定义域为 {x | x ? 3} .

1 (2)要使 y ? ( ) 3

5? x

有意义,其中自变量 x 需满足 5 ? x ? 0 ,即 x ? 5 .

∴ 其定义域为 {x | x ? 5} .

(3)要使 y ?

10x ? 100 有意义,其中自变量 x 需满足 10 x ? 100 ? 0 ,即 x ? 2 . ∴其定义域为 {x | x ? 2} . x 10 ? 100
1 2 【例 2】求下列函数的值域: (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; 3

(2) y ? 4x ? 2x ? 1

解: (1)观察易知

1 2 1 2 ? 0 , 则有 y ? ( ) 3 x ?1 ? ( )0 ? 1 . 3 3 3x ? 1

∴ 原函数的值域为 { y | y ? 0, 且y ? 1} .

1 3 (2) y ? 4x ? 2x ? 1 ? (2x )2 ? 2x ? 1 . 令 t ? 2 x ,易知 t ? 0 . 则 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? . 结合二次函数的图象,由其对称轴观 2 4 1 3 1 3 1 3 察得到 y ? (t ? )2 ? 在 t ? 0 上为增函数,所以 y ? (t ? )2 ? ? (0 ? )2 ? ? 1 . ∴ 原函数的值域为 { y | y ? 1} . 2 4 2 4 2 4
【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 ).

B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数,从

而 0<a<1;从曲线位置看,是由函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象向左平移|-b|个单位而得,所以-b>0,即 b<0. 所以选 D. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) .(1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.

2 2 时, a 2?3 x ? a0 ? 1 . 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3 3 (2)∵ u ? 2 ? 3 x 是减函数,∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数;当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数.
解: (1)当 2 ? 3 x ? 0 ,即 x ? 第 3 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二)

1 ¤知识要点:以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,得出这以下结论: (1)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? f (? x) 2
的图象关于 y 轴对称.(2)指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由下到 大. 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2 2 , 0.2 2 . 解:所以从小到大依次排列是: 0.2 2 , 0.3 2 , 2 2 , 3 2 . 【例 2】已知 f ( x) ?

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1
2? x ? 1 (2? x ? 1)?2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ?x ? ?? x ? ? f ( x) .∴ f ( x) 为奇函 ?x x x 2 ? 1 (2 ? 1)?2 1? 2 2 ?1

解(1) f ( x) 的定义域为 R.∵ f (? x) ?

(2)设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x2 ? x1 .由于 x1 ? x2 , 2 x1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

从而 2 x1 ? 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 ? 0 .∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x
2

∴ f ( x) 为增函数.

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

解: (1)设 y ? au , u ? x2 ? 2x ? 3 . 由 u ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 知, u 在 ( ??, ?1] 上为减函数,在 [ ?1, ?? ) 上为增函数. 根据 y ? au 的单调性, a ? 1 时, 关于 u 为增函数; 0 ? a ? 1 时, 关于 u 为减函数.∴ 当 a ? 1 时, 当 y 当 y 原函数的增区间为 [ ?1, ?? ) , 减区间为 ( ??, ?1] 当 0 ? a ? 1 时,原函数的增区间为 ( ??, ?1] ,减区间为 [ ?1, ?? ) .(2)函数的定义域为 {x | x ? 0} . 设

1 1 的图象可以得到,在区间 (??,1) 与 (1, ??) 上,y 关于 u 均为减函数. , u ? 0.2x . 易知 u ? 0.2 x 为减函数.而根据 y ? u ?1 u ?1 ∴在 (??,0) 上,原函数为增函数;在 (0, ??) 上,原函数也为增函数. y?
第 4 讲 §2.2.1 对数与对数运算(一) ¤知识要点: 3.得到对数与指数间的互化关系:当 a ? 0, a ? 1 时, loga N ? b ? ab ? N . 4. 负数与零没有对数; log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ¤例题精讲: 【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1) 2?7 ? ; (2) 3a ? 27 ; (3) 10?1 ? 0.1 ; (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606. 128 2 解: (1) log 2

1 1 (2) log3 27 ? a ; (3) lg 0.1 ? ?1 ; (4) ( )?5 ? 32 ; ? ?7 ; 128 2
(3) ln e .

(5)10?3 ? 0.001 ;

(6) e4.606 ? 100 .

【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ;
0 解: (1) l 0 0 设g. 1 0 ? x , 1 x ?.0 则0 01

, 1 x ?0 即0 1

?3

, 解得 x ? ?3 . 所以,lg 0.001 ? ?3 . (2) l g 8 ? x , 4 x ? 8 , 2 2 x ? 23 , 设o 4 则 即
1

解得 x ?

3 3 1 1 . 所以, log 4 8 ? .(3)设 ln e ? x ,则 e x ? e ,即 e x ? e 2 ,解得 x ? . 所以, ln e ? . 2 2 2 2
M . N

【例 3】求证: (1) loga an ? n ; (2) loga M ? loga N ? loga

证明: (1)设 loga an ? x ,则 a n ? a x ,解得 x ? n . 所以 loga an ? n .2)设 log a M ? p , loga N ? q ,则 a p ? M , a q ? N .因为

M ap M M . ? p ? q ? loga M ? loga N .所以, loga M ? loga N ? loga ? q ? a p ?q ,则 loga N N N a log c b 【例 4】试推导出换底公式: log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a
证明:设 log c b ? m , log c a ? n , log a b ? p ,则 cm ? b , c n ? a , a p ? b .从而 (cn ) p ? b ? cm ,即 np ? m . 由于 n ? logc a ? logc 1 ? 0 ,则 p ?
log c b m . 所以, log a b ? . log c a n

第 5 讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)

1 【例 1】化简与求值: (1) (lg 2)2 ? lg 2? ? (lg 2)2 ? lg 2 ? 1 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) . lg5 2

1 1 1 1 解: (1)原式= ( lg 2)2 ? lg 2? ? (lg 2 ? 1)2 = lg2 2 ? lg 2? ? (lg 2 ? 1) lg5 lg5 2 2 4 2
1 1 1 1 1 = lg2 2 ? lg 2? ? lg 2 ? 1 = lg 2(lg 2 ? 2lg5 ? 2) ? 1 = lg 2(lg100 ? 2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 . lg5 4 2 2 4 4
(2)原式= log 2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) 【例 2】若 2a ? 5b ? 10 ,则
2? 1 2

1 1 1 = log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )2 = log2 (4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 2 42 ? 7) = log2 14 . 2 2 2
. (教材 P83 B 组 2 题)
1 1 1 1 ? ? ? ? lg 2 ? g 5 ? lg10 ? 1 a b log 2 10 log 5 10

1 1 ? = a b

解:由 2a ? 5b ? 10 ,得 a ? log 2 10 , b ? log5 10 . 则

【例 3】 方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________;2) x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根, x1 ?x2 的值是 (1) ( 设 则
l( 解: 由 g x ? (1) l g 3? ) 1 x ? 得 lg[ x( x ? 3)] ? lg10 , x( x ?3 1 ) 0 ? 即

.

整理为 x 2 ? 3x ? 10 ? 0 . 解得 x=-5 或 x=2.∵ x>0∴

x=2

(2)设 lg x ? t ,则原方程化为 t 2 ? at ? b ? 0 ,其两根为 t1 ? lg x1 , t2 ? lg x2 . 由 t1 ? t2 ? lg x1 ? lg x2 ? lg( x1 ?x2 ) ? b ? lg10b ,得到 x1 ?x2 ? 10b . 【例 4】 (1)化简:
1 1 1 ? ? ; (2)设 log2 3? 3 4? 4 5? ? 2005 2006? 2006 m ? 4 ,求实数 m 的值. log log ??? log log log 5 7 log 3 7 log 2 7

log 4 log 5 log 2006 log 2 m ? ? ? log 2 m , 解: (1) 原式= log7 5 ? log7 3 ? log7 2 ? log7 (5 ? 3 ? 2) ? log7 30 .(2) 原式左边= log 2 3? 2 ? 2 ? ? ?? 2 log 2 3 log 2 4 log 2 2005 log 2 2006

∴ log2 m ? 4 ? log2 24 ,

解得 m ? 16 . 第 6 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)

自变量是 x; 函数的定义域是 (0, +∞) .2. 由 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象, 可以归纳出对数函数的性质: 定义域为 (0, ??) ,
2

值域为 R;当 x ? 1 时, y ? 0 ,即图象过定点 (1,0) ;当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ??) 上递减,当 a ? 1 时,在 (0, ??) 上递增.

1 【例 1】比较大小: (1) log0.9 0.8 , log0.9 0.7 , log0.8 0.9 ; (2) log 3 2 , log 2 3 , log 4 . 3 解: (1)∵ y ? log0.9 x 在 (0, ??) 上是减函数,且 0.9 ? 0.8 ? 0.7 , ∴ 1 ? log0.9 0.8 ? log0.9 0.7 .
又 log0.8 0.9 ? log0.8 0.8 ? 1 , 所以 log 0.8 0.9 ? log 0.9 0.8 ? log 0.9 0.7 . (2)由 log3 1 ? log3 2 ? log3 3 ,得 0 ? log3 2 ? 1 .又 log2 3 ? log2 2 ? 1 , log4

1 1 ? log4 1 ? 0 ,所以 log4 ? log3 2 ? log2 3 . 3 3

【例 2】求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 (4x) ? 3 . 解: (1)由 log2 (3x ? 5) ? 0 ? log 2 1 ,得 3 x ? 5 ? 1 ,解得 x ? 2 .所以原函数的定义域为 [2, ??) .

1 1 . 所以,原函数的定义域为 (0, ] . 32 32 【例 3】已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的取值范围.
(2) l g 0(4 ) x3? 0 ? ,即 l g 0(4 ) x 3? l g 05 由o 5 o 5 o? .0 . . 5 . 解:∵ x ? [?2, ?1] , ∵ | f ( x) |? 2 , ∴ ∵ | f ( x) |? 2 , ∴
3

,所以 0 ? 4 x ? 0.53 ,解得 0 ? x ?

2 2 0 ? a ?1 ) ? ( 2, ??) . , 解得 0 ? a ? .综上可得,实数 a 的取值范围是 (0, log a 2 ? ?2 2 2 【例 4】求不等式 loga (2 x ? 7) ? log a (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围.

? ?

∴ 1 ? x ? 3 ? 2 当 a ? 1 时, loga 1 ? loga ( x ? 3) ? loga 2 ,即 0 ? f ( x) ? log a 2 .

a ?1 , 解得 a ? 2 .当 0 ? a ? 1 时, loga 2 ? loga ( x ? 3) ? loga 1 ,即 log a 2 ? f ( x) ? 0 . loga 2 ? 2

?2 x ? 7 ? 0 1 ? 解:当 a ? 1 时,原不等式化为 ?4 x ? 1 ? 0 ,解得 ? x ? 4 .当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 4 ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ?

?2 x ? 7 ? 0 ? ,解得 x ? 4 . ?4 x ? 1 ? 0 ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ?

1 所以,当 a ? 1 时,x 的取值范围为 ( , 4) ;当 0 ? a ? 1 时,x 的取值范围为 (4, ??) . 4
第 7 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二) 3. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,口诀是“同增异减” ,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个 函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是: i)求定义域; ii)拆分函数; iii)分别 ( ( ( 求 y ? f (u), u ? ? ( x) 的单调性; iv)按“同增异减”得出复合函数的单调性. ( 【例 1】讨论函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 的单调性. 解:先求定义域,由 3 ? 2 x ? 0 , 解得 x ?

3 3 . 设 t ? 3 ? 2 x, x ? (??, ) ,易知为减函数.又∵ 函数 2 2

3 y ? log0.3 t 是减函数,故函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 在 (??, ) 上单调递增. 2
【例 2】 (05 年山东卷.文 2)下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 ). D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43

B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4

解:在同一坐标系中分别画出 y ? 0.4x , y ? 3x , y ? log4 x 的图象,分别作出当自变量 x 取 3,0.4,0.3 时的函数值.观察 象容易得到: log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 . 故选 C. 【例 3】指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象有何关系? 解:在指数函数 y ? a x 的图象上任取一点 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? a x0 .由指对互化关系,有 log a y0 ? x0 .所以,点 M '( y0 , x0 ) 在对数函 数 y ? log a x 的图象上.因为点 M ( x0 , y0 ) 与点 M '( y0 , x0 ) 关于直线 y ? x 对称, 所以指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数
y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称.

第 8 讲 §2.3 幂函数 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 (0, 0), (1,1) ;在 (0, ??) 上是增函数.(2)当 ? ? 0 时, 图象过定点 (1,1) ;在 (0, ??) 上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大. 【例 1】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性. 解:设 y ? x? ,代入点 (27,3) ,得 3 ? 27? ,解得 ? ?

1 所以 y ? x 3 ,在 R 上单调递增. 3

1

【例 2】已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且
y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点,



6 ?m??m ? 00 2 ?

,解得 2 ? m ? 6 .又 ∵ y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴

m ? 2 为偶数,

即得 m ? 4 . 【例 3】幂函数 y ? xm 与 y ? x n 在第一象限内的图象如图所示,则( A. ?1 ? n ? 0 ? m ? 1 B. n ? ?1, 0 ? m ? 1 C. ?1 ? n ? 0, m ? 1 ). D. n ? ?1, m ? 1

解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,依次是 y ? x n , y ? x?1 ,
y ? x 0 , y ? xm , y ? x1 ,所以有 n ? ?1 ? 0 ? m ? 1 . 选 B.

第 9 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习 ¤例题精讲: 【例 1】若 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) ,则 f ( 证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 a x1 ? a x2 a x1 ? a x2 ? 2 a x1 a x2 ( a x1 ? a x2 )2 ? f( 1 )? ?a 2 ? ? ?0. 2 2 2 2 2

∴ 【例 2】已知函数 f ( x) ?

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (注:此性质为函数的凹凸性) )? 2 2

bx 1 1 (2)若 f (1) ? , log3 (4a ? b) ? log2 4 ,求 a,b 的值. (b ? 0, a ? 0) .(1)判断 f ( x) 的奇偶性; 2 ax ? 1 2 2

解: (1) f ( x) 定义域为 R, f (? x) ? (2)由 f (1) ?

?bx ? ? f ( x) ,故 f ( x) 是奇函数. ax2 ? 1

b 1 a ? 2b ? 1 ? 0 得 a=1,b=1. ? ,则 a ? 2b ? 1 ? 0 .又 log3(4a-b)=1,即 4a-b=3. 由 4a ? b ? 3 a ?1 2

?

【例 3】 (01 天津卷.19)设 a>0, f ( x) ?

ex a (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函 ? 是 R 上的偶函数.(1)求 a 的值; a ex
数.

解: (1)∵ f ( x) ?

e a ? 是 R 上的偶函数,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ∴ a ex

x

1 1 e x a e? x a 1 1 x -x , ? x? ? ? x ? 0 ? ( ? a)ex ? (a ? )e? x ? 0 ? ( ? a)(e x ? e? x ) ? 0 .e -e 不可能恒为“0” ∴ 当 -a=0 时等式恒成 a a a e a e a a
立, ∴a=1. (2)在 (0, ??) 上任取 x1<x2, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ∵
e x1 1 1 1 1 ? x1 ? e x2 ? x2 ? (e x1 ? e x2 ) ? ( x1 ) ? (e x1 ? e x2 )(1 ? x x ) x2 1 a e e e ?e e e2

e>1,x1<x2, ∴ e x ? e x ? 1 ∴ e x e x >1
1 2 1 2

(e x1 ? e x2 )(e x1 e x2 ? 1) <0,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x) 是在 (0, ??) 上的增函数. e x1 e x2

【例 4】已知 1992 年底世界人口达到 54.8 亿. (1)若人口的平均增长率为 1.2%,写出经过 t 年后的世界人口数 y(亿)与 t 的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为 x%,写出 2010 年底世界人口数为 y(亿)与 x 的函数解析式. 如果要使 2010 年的人口数 不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? 解: (1)经过 t 年后的世界人口数为
y ? 54.8 ? (1 ? 1.2?)t ? 54.8 ?1.012t , t ? N * .

(2)2010 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 . 由 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 ? 66.8, 解得 x ? 100 ? (18
66.8 ? 1) ? 1.1 . 54.8

所以,人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内.

必修 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ)

【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函 数名 称 定 义 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数 指数函数

a ?1
y
y ? ax

0 ? a ?1
y ? ax
y

图 象
y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

1
O

1

x0
R

O

x0

定 义域 值 域 过 定点 奇 偶性 单 调性 函 数值 的 变 化情 况
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a
变化 对图 象的 影响 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (2)几个重要的对数恒等式 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga a ? b .
b

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象 越低.

(4)对数的运算性质如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法:

log a M ? log a N ? log a
④a
log a N

M n ③数乘: n loga M ? loga M (n ? R) N

? N ⑤ log ab M n ?

n logb N log a M (b ? 0, n ? R) ⑥换底公式: log a N ? (b ? 0, 且b ? 1) b logb a
【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数

函 数 名 称 定 义
x?1

对数函数

函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
图 象 1
O
(1, 0)
O

0 ? a ?1
y

y

y ? loga x

x?1

y ? loga x

(1, 0)

1

0

x

0

x

定 义域 值 域 过 定点 奇 偶性 单 调性 函 数值 的 变 化情 况
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是增函数 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a
变化 对 图象 的 影响 (7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;③将 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越 靠高.

x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.
?1 (8)反函数的性质①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.②函数 y ? f ( x) 的定义域、 ?1

值域分别是其反函数 y ? f

( x) 的值域、定义域.③若 P(a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.
④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义(2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象 限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过 原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴 与 y 轴. ④奇偶性: ? 为奇数时, 当 幂函数为奇函数, ? 为偶数时, 当 幂函数为偶函数. ? ? 当
q p q p

q (其中 p, q 互质,p 和 q ? Z ) , p

若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则

y ? x 是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下
方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

q p

③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关时,常使用顶点式.③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质
2 ①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ? b , 顶点坐标是 (? b , 4ac ? b ) .

2a

2a

4a

2 ②当 a ? 0 时, 抛物线开口向上, 函数在 ( ??, ? b ] 上递减, [? b , ??) 上递增, x ? ? b 时,f min ( x) ? 4ac ? b ; a ? 0 在 当 当

2a

2a

2a

4a

时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? b ] 上递增,在 [? b , ??) 上递减,当 x ? ?
2a
2a

b 时, 4ac ? b2 f max ( x) ? 2a 4a

.③二次函数
?. |a|

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2 2

(4)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且

x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置: x ? ?
? ④端点函数值符号.
y
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: 2a

a?0
O

y
x??

b 2a

① k<x1≤x2

?

? ? b ?-2a>k

△=b -4ac≥0 af(k)>0

2

k x1
x??

x2
b 2a

k

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

y
a?0
O

f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

② x1≤x2<k

?

? ? b ?-2a<k

△=b -4ac≥0 af(k)>0

2

x1

x2

k
x2
?

k x
b 2a

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

y
a?0
O
y
?

k
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

x1

x2

x

f (k ) ? 0

x1

O

k

③ x1<k<x2

?

af(k)<0
y
? ?

a?0

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

y

x??

b 2a

④k1<x1≤x2<k2

?

? ? ? ?k <-2ba<k ?
1

△=b -4ac≥0 a>0 f(k1)>0 f(k2)>0
2

2

? ? 或? ?k <-2ba<k ?
1

O △=b -4ac≥0 a<0 f(k1)<0 f(k2)<0
2

2

k1
?

k1

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2
y
?

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种

情况是否也符合
a?0

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

y
f ( k1 ) ? 0
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

?a>0)>0 ?f(k ?f(k )<0 ?f(p )<0 ?f(p )>0
1 2 1 2

?a<0)<0 ?f(k 或?f(k )>0 ?f(p )>0 ?f(p )<0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出.
2 (5) 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M , 最小值为

1 (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) m ,令 x0 ? ( p ? q ) . 2
第 1 讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算 ¤例题精讲: 【例 1】求下列各式的值:
n (1) n 3 ? ?) ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (

(2) ( x ? y)2 .【例 2】已知 a 2n ? 2 ? 1 ,求
1 5

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n
4 2

【例 3】化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

2

1

1

1

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a

(a>0,b>0) (3) 81? 9 3 . ;

【例 4】化简与求值: (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2)

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5? 7

? ??? ?

1 2n ? 1 ? 2n ? 1

.

第 2 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一) ¤知识要点:

1 2. 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下性质:定义域为 R,值域为 (0, ??) ; 2 当 x ? 0 时, y ? 1 ,即图象过定点 (0,1) ;当 0 ? a ? 1 时,在 R 上是减函数,当 a ? 1 时,在 R 上是增
函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2 3? x ;
1

1 (2) y ? ( ) 3

5? x



(3) y ?

10x ? 100 . 10x ? 100

1 2 【例 2】求下列函数的值域: (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; 3

(2) y ? 4x ? 2x ? 1

【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

).

【例 4】已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) .(1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.

第 3 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二) ¤知识要点:

1 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,得出这以下结论: (1)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? f (? x) 的图 2
象关于 y 轴对称.(2)指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由下到 大. ¤例题精讲: 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2 2 , 0.2 2 . 【例 2】已知 f ( x) ?

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1

【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x

2

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

第 4 讲 §2.2.1 对数与对数运算(一)
log log 3.得到对数与指数间的互化关系: a ? 0, a ? 1 时, a N ? b ? ab ? N . 4. 负数与零没有对数; a 1 ? 0 , log a a ? 1 当

【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1) 2?7 ?

1 ; 128

(2) 3a ? 27 ;

(3) 10?1 ? 0.1 ; (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
2

【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ;

(3) ln e .

【例 3】求证: (1) loga an ? n ; (2) loga M ? loga N ? loga

M . N

【例 4】试推导出换底公式: log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

第 5 讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)

1 【例 1】化简与求值: (1) (lg 2)2 ? lg 2? ? (lg 2)2 ? lg 2 ? 1 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) . lg5 2

【例 2】若 2a ? 5b ? 10 ,则

1 1 ? = a b

. (教材 P83 B 组 2 题)

.【例 3】 (1)方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根,则 x1 ?x2 的值 是 【例 4】 (1)化简: .

1 1 1 ? ? log log ??? log log ; (2)设 log2 3? 3 4? 4 5? ? 2005 2006? 2006 m ? 4 ,求实数 m 的值. log 5 7 log 3 7 log 2 7

第 6 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一) ¤知识要点: 2. 由 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为 (0, ??) ,值域为 R;当 x ? 1 时, y ? 0 ,
2

即图象过定点 (1,0) ;当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ??) 上递减,当 a ? 1 时,在 (0, ??) 上递增.

1 【例 1】比较大小: (1) log0.9 0.8 , log0.9 0.7 , log0.8 0.9 ; (2) log 3 2 , log 2 3 , log 4 . 3

【例 2】求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 (4x) ? 3 .

【例 3】已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的取值范围.

【例 4】求不等式 loga (2 x ? 7) ? log a (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围.

第 7 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二) 3. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,口诀是“同增异减” ,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个 函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是: i)求定义域; ii)拆分函数; iii)分别 ( ( ( 求 y ? f (u), u ? ? ( x) 的单调性; iv)按“同增异减”得出复合函数的单调性. (

【例 1】讨论函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 的单调性. 【例 2】 下列大小关系正确的是) .A. 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 D.

log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43

【例 3】指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象有何关系?

第 8 讲 §2.3 幂函数 知识要点: 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 (0, 0), (1,1) ;在 (0, ??) 上是增函数.(2)当 ? ? 0 时, 图象过定点 (1,1) ;在 (0, ??) 上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到 大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大. 【例 1】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性.

【例 2】已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且
y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.

【例 3】幂函数 y ? xm 与 y ? x n 在第一象限内的图象如图所示,则( A. ?1 ? n ? 0 ? m ? 1 B. n ? ?1, 0 ? m ? 1 C. ?1 ? n ? 0, m ? 1

).

D. n ? ?1, m ? 1

第 9 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习 【例 1】若 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) ,则 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2

【例 2】已知函数 f ( x) ?

bx 1 1 (2)若 f (1) ? , log3 (4a ? b) ? log2 4 ,求 a,b (b ? 0, a ? 0) .(1)判断 f ( x) 的奇偶性; 2 ax ? 1 2 2
的值.

【例 3】 (01 天津卷.19)设 a>0, f ( x) ?

ex a (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函 ? 是 R 上的偶函数.(1)求 a 的值; a ex
数.

【例 4】已知 1992 年底世界人口达到 54.8 亿. (1)若人口的平均增长率为 1.2%,写出经过 t 年后的世界人口数 y(亿)与 t 的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为 x%,写出 2010 年底世界人口数为 y(亿)与 x 的函数解析式. 如果要使 2010 年的人口数 不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?


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