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5.利用错位相减法解决数列求和的答题模板


考情分析
数列求和是高考的重点,题型以解答题为主,主要考察 等差、等比数列的的求和公式,错位相减法及裂项相消法 求和;数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起, 考 查内容较为全面,在考查基本运算、基本能力的基础上又 注重考查学生分析问题、解决问题的能力。

“大题规范解答———得全分”系列之(五)
利用错位相减法解决数列求和的答题模板
[教你快速规范审题] [教你准确规范解题]
[教你一个万能模版]

【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 ,且Sn的最大值为8. 已知数列?an ?的前n项和 S n ? ? n ? kn , k ? N 2

(1)确定常数k,求

an

? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2

[教你快速规范审题] 【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 S ? ? n ? kn , 已知数列?an ?的前n项和 n k ? N * ,且Sn的最大值为8. 2

(1)确定常数 k ,求an

? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2
第(1)问 【审题规范】第1步:审条件,挖解题信息

1 观察条件: S n ? ? n 2 ? kn 及 Sn 的最大值为8 2

??????? ?
Sn是关于n的二次函数

当 n =k 时,Sn 取得最大值
返回

[教你快速规范审题] 【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 S ? ? n ? kn , 已知数列?an ?的前n项和 n k ? N * ,且Sn的最大值为8. 2

(1)确定常数 k ,求an

? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2
第(1)问 【审题规范】第2步:审结论,明解题方向

观察所求结论: 求 k 的值及 an

应建立关于k的方程 ?????? ?Sn的最大值为8,即Sk =8

1 可求Sn的表达式 k =4. ????? ? S n ? ? n 2 ? 4n 2

[教你快速规范审题] 【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 S ? ? n ? kn , 已知数列?an ?的前n项和 n k ? N * ,且Sn的最大值为8. 2

an (1)确定常数 k ,求


? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2
第(1)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
注意公式的使用条件 根据已知条件,可利用an与Sn 的关系求通项公式 ???????

9 7 验证n =1时,an是否成立 a ? 9 ? n. an =S n ? S n ?1 ? ? n(n ? 2) a1 ? S1 ? ??????? ? n 2 2 2

[教你快速规范审题流程汇总]
第(1)问 【审题规范】第1步:审条件,挖解题信息

1 观察条件: S n ? ? n 2 ? kn 及 Sn 的最大值为8 2
Sn是关于n的二次函数 ??????? ?

当 n =k 时,Sn 取得最大值

第(1)问 【审题规范】第2步:审结论,明解题方向

观察所求结论: 求 k 的值及an

应建立关于k的方程 ?????? ?Sn的最大值为8,即Sk =8

1 可求Sn的表达式 k =4. ????? ? S n ? ? n 2 ? 4n
第(1)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
注意公式的使用条件 根据已知条件,可利用an与Sn 的关系求通项公式 ???????

2

9 7 验证n =1时,an是否成立 a ? 9 ? n. an =S n ? S n ?1 ? ? n( n ? 2) a1 ? S1 ? ??????? ? n 2 2 2

[教你快速规范审题]

【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 已知数列?an ?的前n项和 S n ? ? n ? kn , k ? N * ,且Sn的最大值为8. 2

(1)确定常数 k ,求an

9 ? 2a n } 的前n项和 Tn . (2)求数列{ n 2
第(2)问 【审题规范】第1步:审条件,挖解题信息

an ? 观察条件:

9 9 ? 2 an n 9 ? 2 an ? ? n 及数列? ? ? ? ?????? ? 2n n 2 2 n ?1 2 ? ?

? 9-2a ? 可化简数列? n n ? ? 2 ?

[教你快速规范审题] 【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 * ,且S 的最大值为8. S ? ? n ? kn , 已知数列?an ?的前n项和 n n k ? N 2

(1)确定常数 k ,求an

? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2
第(2)问 【审题规范】第2步:审结论,明解题方向

观察所求结论:求数列 {

9 ? 2a n } 的前n项和 Tn n 2
n 2
n -1

?????? ?

分析通项

的特点

可利用错位相减法求和.

[教你快速规范审题]

【典例】 (2012江西高考 · 满分12分)
1 2 * ,且S 的最大值为8. 已知数列?an ?的前n项和 S n ? ? n ? kn , n k ? N 2

(1)确定常数 k ,求an

? 9 ? 2 an ? (2)求数列? ? 的前n项和 Tn . n ? ? 2
第(2)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口

2 Tn =1+ + 条件具备,代入求和: 2

3 n ?1 n + ? + + 22 2 n -2 2 n ?1

? ① ??????
等式两边同乘以2

3 n ?1 n 2Tn =2+2+ + ? + n ?3 + n ? 2 2 2 2

② ???? ? ②-①:
错位相减

2Tn ? Tn =2+1+

1 1 n + ? + n ? 2 ? n ?1 2 2 2

? 4?

1 2
n?2

?

n n?2 ? 4 ? n ?1 . n ?1 2 2

[教你快速规范审题流程汇总]
第(2)问 【审题规范】第1步:审条件,挖解题信息
可化简数列? n n ? 9 9 ? 2 an ? n 9 ? 2 a ? n ? 2 ? an ? ? n 及数列? ? 观察条件: ? ?????? ? 2n n 2 2 n ?1 ? ? 2 ? 9-2a ?

第(2)问 【审题规范】第2步:审结论,明解题方向
可化简数列? n n ? 9 9 ? 2 an ? n 9 ? 2 a n? ? 2 ? a ? ? n ? n 观察条件: 2 及数列? n ? ?????? ? 2n 2 n ?1 2 ? ? ? 9-2a ?

第(2)问 【审题规范】第3步:建联系,找解题突破口
2 Tn =1+ + 条件具备,代入求和: 2 3 n ?1 n + ? + n -2 + n ?1 2 2 2 2



等式两边同乘以2 ?????? ?
1 1 n + ? + n ? 2 ? n ?1 2 2 2

3 n ?1 n 2Tn =2+2+ + ? + n ?3 + n ? 2 2 2 2

② ???? ? ②-①:
错位相减

2Tn ? Tn =2+1+

? 4?

1 2n ? 2

?

n n?2 ? 4 ? . 2n ?1 2n ?1

返回

[教你准确规范解题]
1 2 解: (1)当n =k ? N 时,Sn = ? n ? kn取得最大值, 1 2 1 22 (1) 当 n =k ? N 时, S = ? n? ? knn 取得最大值, n (1)当n=k ? N时, S2 = ? kn取得最大值, n 1 2 2 21 即8=S k1= 2? 2 k 1? 2k ? k 2 , 即8=S k = ? k 1? 2 k2 ? 2 k , 1 22 易忽视条件 2 2 ? k , 即 8= S k ? k 2k = ? 故k =8,k =4. 2 故k 2 =8,k =4.2 n ? 2. 2
*

故k =16,k =4.

……………… 3分

9 从而an ? Sn ? S n ?1 ? ? n(n ? 2). 2
7 9 又a1 ? S1 = ,所以an = ? n. 2 2
……………… 6分

返回

[教你准确规范解题]
9 ? 2 an n ? (2)因为 2n 2 n ?1
2 3 n ?1 n 所以Tn =1+ + 2 +? + n -2 + n ?1 , ① ……………… 7分 2 2 2 2
3 n ?1 n 2 T =2+2+ + ? + + n ? 2 ,② 所以 n n ?3 2 2 2

1 1 n ②-①: 2Tn ? Tn =2+1+ + ? + n ? 2 ? n ?1 2 2 2
? 4? 1 2n ? 2
2

错位相减时,易 漏项.

?

n n?2 ? 4 ? . n ?1 n ?1 2 2

……………… 11分

n?2 ?Tn ? ? 4 ? n ?1 .

……………… 12分 返回

[教你一个万能模版]

利用错位相减法求数列的前 n 项和,一般可用以下几步解答: 第一步:将数列?cn ? 写成两个数列的积的形式 cn =anbn ,其中

?an ? 为等差数列, ?bn ?为等比数列;
第二步:写出数列 ?cn ? 的前

n

项和

Sn =c1 +c2 +?+cn =a1b1 +a2b2 +?+anbn
Sn =c1 +c2 +?+cn =a1b1 +a2b2 +?+anbn 的两边同乘以公比 q , 第三步:
得 qSn =qa1b1 +qa2b2 +?+qanbn
第四步:两式错位相减得 (q ? 1)Sn 第五步:等式两边同时除以 q ? 1 ,得 Sn . 第六步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 如本题错位 相减时,是否有漏项.
返回



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