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向量与内心、外心、重心、垂心的交汇


向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1) OA ? OB ?

OC

? 0 ? O 是 ?ABC 的重心.

证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C( x3 , y3 )

x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ?( x ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 ?? OA ? OB ? OC ? 0 ? ? 1 ?( y1 ? y) ? ( y 2 ? y) ? ( y3 ? y) ? 0 ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 3 ? ? O 是 ?ABC 的重心.
证法 2:如图

A

? OA ? OB ? OC ? OA ? 2OD ? 0 ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD
为 2:1

O

E

? O 是 ?ABC 的重心

B

D

C

(2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.

OA? OB ? OB ? OC ? OB(OA ? OC) ? OB ? CA ? 0
? OB ? AC 同理 OA ? BC , OC ? AB ? O 为 ?ABC 的垂心
(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心
B

A

E O

D

C

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
AB AC 、 分别为 AB 、 AC 方向上的单位向量, c b AB AC 平分 ?BAC , ? ? c b bc AB AC ),令 ? ? ? ? AO ? ?( a?b?c c b
证明:?

? AO ?

bc AB AC ( ) ? a?b?c c b 化简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0

? aOA ? bOB ? cOC ? 0
(4)

OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。

典型例题: 例 1:

O

是平面上一定点,

OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? ?0,???
A.外心 B.内心

A、B、C
C.重心

是平面上不共线的三个点,动点 )

P

满足

,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( D.垂心

分析:如图所示 ?ABC , D、E 分别为边 BC、AC 的中点.

? AB ? AC ? 2 AD ? OP ? OA ? 2? AD ? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD ? AP // AD ? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2: ( 03 全国理 4 ) O 是平面上一定点,

A

E

B

D

C

A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P
B )

满足

OP ? OA ? ? (
A.外心 分析:?

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,???

,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( D.垂心

B.内心 分别为

C.重心

AB

AC 、 AB AC AC AC

AB 、 AC 方向上的单位向量,

?

AB AB

?

平分 ?BAC ,

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B .
例 3:

O

是平面上一定点,

A、B、C

是平面上不共线的三个点,动点 ,则点

P

满足

OP ? OA ? ? (
( ) A.外心

AB AB c o s B

?

AC AC c o C s

) , ? ? ?0,???

P

的轨迹一定通过

?ABC 的

B.内心

C.重心

D.垂心
A

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.

(

AB AB cos B AB ? BC AB cos B

? ?

AC AC cosC AC ?BC AC cosC
?

) ? BC

E

=

B

D

C

? AB BC cos B
=

AC BC cosC AC cosC

AB cos B
=?

BC

+

BC

=0

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .

练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 足:

A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满

AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( ) 3 A.2 B. C.3 D.6 2 2.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OA ? OB ? ( ) 1 1 A. B.0 C. 1 D. ? 2 2 B C 面积与凹四边形 ABOC 3. 点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 , 则 ?A
) A.0 B.

面积

之比是(

3 2

C.

5 4

D.

4 3

2

4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5. O 是平面上一定点,

A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB
) D.垂心

2

2

? CA ? OC ? AB
A.外心

2

2

,则 O 是 ?ABC 的( B.内心 C.重心

2

6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH 则实数 m =

? m(OA ? OB ? OC) ,

因为对任意三角形均成立, 故取一个特殊三角形验证即可,如直角三角形 ?A ? 900
???? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OH ? m OA ? OB ? OC
如图

?

?

??? ? ??? ? ? ∵ OC ? OB ? 0

???? ??? ? ∴ OH ? mOA

∴m ? 1

设高 AD,CE,相交于 H,从 B 作直径 BF, 在三角形 AOH 中,向量 OH=OA+AH,(1) AD⊥BC,FC⊥BC,则 FC//AD,同理 FA//CE, 四边形 AHCF 是平行四边形, 向量 AH=FC,FC=FO+OC,

A (H)

FO=OB,代入(1),OH=OA+OB+OC,m=1. 解:作直径 BD,连接 DA、DC,于是有 向量 OB=-向量 OD C B 易知,H 为△ABC 的垂心 O ∴CH⊥AB,AH⊥BC ∵BD 为直径 ∴DA⊥AB,DC⊥BC ∴CH//AD,AH//CD 故四边形 AHCD 是平行四边形 ∴向量 AH=向量 DC 又 向量 DC=向量 OC-向量 OD=向量 OC+向量 OB 于是,得 向量 OH=向量 OA+向量 AH=向量 OA+向量 DC=向量 OA+向量 OB+向量 OC 对比系数,得到 m=1. → → → → AB AC AB AC 1 → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 8.已知 ?ABC 三个顶点 为( ) A.等腰三角形 C.直角三角形
2

)

A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则 ?ABC
B.等腰直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C


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