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浙江省嘉兴市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省嘉兴市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.请从 A,B,C,D 四个选项中,选出一个符 合题意的正确选项,不选,多选,错选均的零分) 1.sin240°的值为( ) A. B. C.﹣ D.﹣ ,则 是它的( )

2.已知数列{an}的通项公式为 an= A.第 4 项

B.第 5 项 C.第 6 项

D.第 7 项 )

3.要得到函数 y=cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移 个单位 个单位

)的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( B.向左平移 D.向右平移 个单位 个单位

4.已知等差数列{an}满足 a3=1,a5=5,Sn 是其前 n 项的和,则 S7=( ) A.8 B.15 C.21 D.25 5. B 两点, 如图, 已知圆 O1 与 O2 相交于 A、 △AO2B 为正三角形, |AO2|=2 , 且|O1O2|=4, 则阴影部分的面积为( )

A.

B.

C.

D. ) D.﹣ )

6.sin215°﹣cos215°的值为( A. B. C.﹣

7.已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn.若 S3= ,则 S6 等于( A. B. C.63 D.

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( ) A. B. C. D. ,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f

9.已知函数 f(x)=3﹣sin

A.150 B.200 C.250 D.300
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10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,BC 边上的高为 h,且 h=a, 则 + + A. 的最大值是( B.2 C. ) D.2

二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 11.已知 θ∈(0, ) ,且 sinθ= ,则 tanθ= . (用弧度制表示) . . .

12.已知角 α 的终边与 x 轴正半轴的夹角为 30°,则 α= 13.已知数列{an}满足 a1=5,an+1=2an+3,则 a3= 14.已知 f(x)=3sin(x+ ) ,则 y=f(x)图象的对称轴是

15.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S9 是 S3 与 S6 的等差中项,且 a2+a5=2am,则 m= . 16.已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 则 f(x)= . )的部分图象如图所示,|MN|=5,

17.△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acosC+csinA=0,则(1+tanA) ?(1+tanB)= . 18.已知数列{an}满足 an+1=2+an(n∈N*) ,a2=3a5,其前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈ * N ,总有 Sn≥Sk 成立,则|ak|+|ak+1|+…+|a15|= . 三、解答题(共 4 小题,满分 36 分) 19.已知 =3.

(1)求 tanθ 的值; (2)求 sin2θ﹣cos2θ 的值. 20.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=2,cosB= . (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=4,求 b、c 的值. 21.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,n?an+1=Sn+n2+n,n∈N*. (1)求证:{ }是等差数列;

(2)求数列{2n﹣1?an}的前 n 项和 Tn.

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22.已知函数 f(x)=

sin2x﹣sin(x+

)sin(x﹣

)﹣1,x∈R.

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 F(x)=cos(2x﹣ 实数 m 的取值范围. )+3|f(x)+1|﹣m,x∈[﹣ , ]有三个零点,求

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2015-2016 学年浙江省嘉兴市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.请从 A,B,C,D 四个选项中,选出一个符 合题意的正确选项,不选,多选,错选均的零分) 1.sin240°的值为( ) A. B. C.﹣ D.﹣

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 【解答】解:sin240°=sin=﹣sin60°=﹣ 故选:D. ,

2.已知数列{an}的通项公式为 an= A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】令 an= 【解答】解:令 an= =

,则

是它的(



D.第 7 项

,解出即可得出. = ,

化为:n2+n﹣30=0,n∈N*. 解得 n=5. 则 是它的第 5 项.

故选:B.

3.要得到函数 y=cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移 个单位 个单位

)的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( B.向左平移 D.向右平移 个单位 个单位



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:将函数 y=cos2x 的图象向左平移 (2x+ )的图象, 个单位,可得函数 y=cos2(x+ )=cos

故选:B.

第 4 页(共 14 页)

4.已知等差数列{an}满足 a3=1,a5=5,Sn 是其前 n 项的和,则 S7=( A.8 B.15 C.21 D.25



【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由等差数列的性质可得:a1+a7=a3+a5,再利用求和公式即可得出. 【解答】解:由等差数列的性质可得:a1+a7=a3+a5=6, S7= 故选:C. 5. B 两点, 如图, 已知圆 O1 与 O2 相交于 A、 △AO2B 为正三角形, |AO2|=2 则阴影部分的面积为( ) , 且|O1O2|=4, = =21.

A.

B.

C.

D.

【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】设 O1O2 与 AB 相交于 C,则 CO2=3,CO1=1,∠AO1B=120°,BO1=2,即可求出 阴影部分的面积. 【解答】解:设 O1O2 与 AB 相交于 C,则 CO2=3,CO1=1,∠AO1B=120°,BO1=2, ∴阴影部分的面积为 故选:A. 6.sin215°﹣cos215°的值为( A. B. C.﹣ ) D.﹣ = ,

【考点】二倍角的余弦. 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式,求得要求式子的值. 【解答】解:sin215°﹣cos215°=﹣( cos215°﹣sin215°)=﹣cos30°=﹣ 故选:C. ,

7.已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn.若 S3= ,则 S6 等于( A. B. C.63 D.



【考点】等比数列的前 n 项和.

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【分析】 由等比数列的求和公式可得 S3= 代入计算可得答案. 【解答】解:由题意可得 S3=

= , 可解得 a1, 而 S6=



= ,解得 a1= ,

故 S6= 故选 B

=

=

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( ) A. B. C. D.

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】利用正弦定理,求出 sinB,确定 B 的范围,即可求得 cosB 的值. 【解答】解:∵a=15,b=10,A=60°, ∴由正弦定理可得 ∴sinB= ∴cosB=± =±

∵a=15,b=10,A=60°, ∴0°<B<A<60° ∴cosB= 故选 C.

9.已知函数 f(x)=3﹣sin

,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f

A.150 B.200 C.250 D.300 【考点】函数的值. 【分析】通过讨论 x 的奇偶性结合三角函数的性质求出结果即可. 【解答】解:x 为偶数时,f(x)=3, x 为奇数时,f(1)+f(3)=f(5)+f(7)=…=f(97)+f(99)=6, ∴S100=f(1)+f(2)+…+f 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,BC 边上的高为 h,且 h=a,则 + + A. B.2 C. D.2 的最大值是( )

【考点】余弦定理.

第 6 页(共 14 页)

【分析】 由余弦定理化简可得 + + 解得 + + =2sinA+2cosA=2

=

+2cosA, 利用三角形面积公式可得 a2=bcsinA, ) ,利用正弦函数的图象和性质即可得解其最

sin(A+

大值. 【解答】解:由余弦定理可得:b2+c2=a2+2bccosA, 故 + + = = = a2, = +2cosA,

而 S△ ABC= bcsinA= 故 a2=bcsinA, 所以: + + =

+2cosA=2sinA+2cosA=2

sin(A+

)≤2



故选:B. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 11.已知 θ∈(0, ) ,且 sinθ= ,则 tanθ= .

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得 cosθ 的值,可得 tanθ 的值. 【解答】解:∵θ∈(0, ∴cosθ= 则 tanθ= = , = , ) ,且 sinθ= ,

故答案为: .

12.已知角 α 的终边与 x 轴正半轴的夹角为 30°,则 α=

2kπ±

, (k∈Z) (用弧度制

表示) . 【考点】象限角、轴线角. 【分析】由已知,分别求出角 α 的终边落在第一,四象限时,角 α 的终边与 x 轴的正半轴 所成的夹角,即可得解. 【解答】解:∵角 α 的终边与 x 轴正半轴的夹角为 , , (k

∴当角 α 的终边落在第一象限时, 则 α 的终边与 x 轴的正半轴所成的夹角是 α=2kπ+ ∈Z) . 当角 α 的终边落在第四象限时,则 α 的终边与 x 轴的正半轴所成的夹角是 α=2kπ﹣ ∈Z) .

, (k

第 7 页(共 14 页)

∴综上可得:α=2kπ± 故答案为:2kπ±

, (k∈Z) .

, (k∈Z) .

13.已知数列{an}满足 a1=5,an+1=2an+3,则 a3= 29 . 【考点】数列递推式. 【分析】由递推公式可知当 n=2 时求得 a2,当 n=3 时即可求得 a3 的值. 【解答】解:a1=5,an+1=2an+3, a2=2a1+3=10+3=13, a3=2a2+3,=26+3=29, 故答案为:29.

14.已知 f(x)=3sin(x+

) ,则 y=f(x)图象的对称轴是 x=kπ+

,k∈Z .

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性求得 y=f(x)图象的对称轴方程. 【解答】解:对于 f(x)=3sin(x+ 可得 y=f(x)图象的对称轴是 x=kπ+ 故答案为:x=kπ+ ,k∈Z. ) ,令 x+ ,k∈Z, =kπ+ ,求得 x=kπ+ ,

15. S9 是 S3 与 S6 的等差中项, 设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, 且 a2+a5=2am, 则 m= 8 . 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】S9 是 S3 与 S6 的等差中项,可得:2S9=S3+S6,对 q 分类讨论,利用等比数列的通 项公式、求和公式即可得出. 【解答】解:∵S9 是 S3 与 S6 的等差中项,∴2S9=S3+S6, 若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但 a1≠0,即得 S3+S6≠2S9,与题设矛盾,q≠1. 又依题意 S3+S6=2S9 可得: 整理得 q3(2q6﹣q3﹣1)=0. 由 q≠0 得方程 2q6﹣q3﹣1=0. (2q3+1) (q3﹣1)=0, ∵q≠1,q3﹣1≠0, ∴2q3+1=0,∴q3=﹣ ,q6= . ∵a2+a5=2am,∴a2+ ∴1+q3=2qm﹣2, ∴qm﹣2= =q6,
第 8 页(共 14 页)

+

=2×



=2



∴m﹣2=6. 则 m=8. 故答案为:8.

16.已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 则 f(x)= 2sin( x+ ) .

)的部分图象如图所示,|MN|=5,

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A, 由特殊点的坐标求出 φ 的值, 由周期以及|MN|=5 求出 ω,可得函数的解析式. 【解答】解:根据 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 2sinφ=1,sinφ= ,∴φ= ,f(x)=2sin(ωx+ ) . )的部分图象,可得 A=2,

再根据|MN|=

=5,可得 φ=



故 f(x)=2sin( 故答案为:2sin(

x+ x+

) , ) .

17.△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acosC+csinA=0,则(1+tanA) ?(1+tanB)= 2 . 【考点】两角和与差的正切函数;正弦定理. 【分析】利用正弦定理求得 tanC=﹣1,C= ,利用两角和的正切公式求得 tanA+tanB=1

﹣tanAtanB,从而得到要求式子的值. 【解答】解:△ABC 中,∵acosC+csinA=0,∴由正弦定理可得 sinAcosC+sinCsinA=sinA (cosC+sinC)=0, ∵sinA≠0,∴cosC+sinC=0,∴tanC=﹣1,∴C= ∴A+B= , 即 A= ﹣B, ∴tanA=tan ( = ﹣B) . , 即 tanA+tanB=1﹣tanAtanB,

则(1+tanA)?(1+tanB)=1+(tanA+tanB)+tanAtanB=1+(1﹣tanAtanB)+tanAtanB=2,
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故答案为:2. 18.已知数列{an}满足 an+1=2+an(n∈N*) ,a2=3a5,其前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈ * N ,总有 Sn≥Sk 成立,则|ak|+|ak+1|+…+|a15|= 82 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】 数列{an}满足 an+1=2+an (n∈N*) , 可得数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a2=3a5, 可得 an=2n﹣13.由 an≥0,可得当 n=6 时,Sn 取得最小值,k=6.去掉绝对值符号利用等差 数列的通项公式及其性质即可得出. 【解答】解:∵数列{an}满足 an+1=2+an(n∈N*) ,∴数列{an}是公差为 2 的等差数列,又 a2=3a5,∴a1+2=3(a1+4×2) a = 11 a ,解得 1 ﹣ ,∴ n=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13. 由 an≥0,解得 n≥7,n≤6 时,an<0.因此当 n=6 时,Sn 取得最小值, ∵对于任意的 n∈N*,总有 Sn≥Sk 成立, ∴k=6. ∴|ak|+|ak+1|+…+|a15|=﹣a6+a7+…+a15=9a11﹣a6=9×(2×11﹣13)﹣(2×6﹣13)=82. 故答案为:82. 三、解答题(共 4 小题,满分 36 分) 19.已知 =3.

(1)求 tanθ 的值; (2)求 sin2θ﹣cos2θ 的值. 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】 (1)分子分母同时除以 cosθ,利用同角三角函数基本关系式即可计算得解. (2)利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式化简所求,结合 tanθ=2 即可计算得解. 【解答】 (本题满分为 8 分) 解: (1)∵ ∴ =3. =3,解得 tanθ=2.

(2)∵sin2θ﹣cos2θ= 又∵tanθ=2, ∴sin2θ﹣cos2θ= = .

=



20.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=2,cosB= . (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=4,求 b、c 的值. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理,

第 10 页(共 14 页)

(1)由

,我们易求出 B 的正弦值,再结合 a=2,b=4,由正弦定理易求 sinA 的值;

(2)由△ABC 的面积 S=4,我们可以求出 c 值,再由余弦定理可求出 b 值. 【解答】解: (I)∵ 由正弦定理得 .





(II)∵ ∴ .



∴c=5 由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB, ∴ 21.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,n?an+1=Sn+n2+n,n∈N*. (1)求证:{ }是等差数列;

(2)求数列{2n﹣1?an}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等差关系的确定. 【分析】 (1)要证{ }是等差数列,即证 ﹣ 为常数,运用 an+1=Sn+1﹣Sn,化简已

知条件,即可得到; (2)由等差数列的通项公式,可得 an=2n,2n﹣1?an=n?2n,再由数列的求和方法:错位相减 法,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和. 【解答】解: (1)证明:由 a1=2,n?an+1=Sn+n2+n, 可得 n(Sn+1﹣Sn)=Sn+n2+n, 即有 nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1) , 两边同除以 n(n+1) ,可得 = 可得{ +1,即 ﹣ =1,

}是首项为 2,公差为 1 的等差数列; =2+n﹣1=n+1,

(2)由(1)可得

即有 Sn=n(n+1) , 则 n?an+1=Sn+n2+n=2n(n+1) , 即 an+1=2(n+1) ,即有 an=2n,2n﹣1?an=n?2n, 前 n 项和 Tn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n, 2Tn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1,
第 11 页(共 14 页)

两式相减可得,﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1 = ﹣n?2n+1,

化简可得,Tn=(n﹣1)?2n+1+2. 22.已知函数 f(x)= sin2x﹣sin(x+ )sin(x﹣ )﹣1,x∈R.

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 F(x)=cos(2x﹣ )+3|f(x)+1|﹣m,x∈[﹣ , ]有三个零点,求

实数 m 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用诱导公式、二倍角的正弦公式,两角和的正弦公式化简解析式,由正弦函 数的减区间求出 f(x)的单调递减区间; (2)由(1)化简 F(x)的解析式,将 F(x)有三个零点转化为对应的方程有三个不同的 解,由 x 的范围求出 2x+ 的范围,设 t= ,令 g(t)=sint+3|sint|,再转化为函数 g

(t)的图象与直线 y=m 有三个交点,化简 g(t)的解析式后由正弦函数的图象画出图象, 由条件和图象求出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意得,f(x)= = = 由 , ∴f(x)的单调递增区间是 (2)由(1)得,f(x)= ∴F(x)=cos(2x﹣ 因此,F(x)在 x∈[﹣ 等价于方程 cos(2x﹣ 根, 由 得, , )+3| , )+3| , |﹣m, ]上有三个零点, |﹣m=0 在 x∈[﹣ , ]上有三个不同的 ; sin2x﹣ sin(2x﹣ sin2x+ sin2x﹣1= )﹣1 , 得, sin2x﹣cos(x﹣ )sin(x﹣ )﹣1

第 12 页(共 14 页)

设 t=

,则

, , |﹣m=0 在 x∈[﹣ , ]上有三个不同的根,

令 g(t)=sint+3|sint|,且 ∴方程 cos(2x﹣ )+3|

等价于函数 g(t)的图象与直线 y=m 由三个不同的交点,

又函数 g(t)=sint+3|sint|=

的图象如图所示:

由图得,实数 m 的取值范围是[1,2].

第 13 页(共 14 页)

2016 年 8 月 20 日

第 14 页(共 14 页)


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