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吉林省2013年高考复习质量监测文科数学试卷


吉林省 2013 年高考复习质量监测文科数学试卷
第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数 z1 = i , z2 = 1 + i, 那么复数 z1?z2 在复平面上的对应点所在象限是 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2)已知集合 A=﹛x︱-1<x< A(0,

1 log 1 x >0﹜,则 A∩B 为 ﹜,B=﹛x︱ 2 2
C (-1,!) D ¢

1 ) 2

B (0,1)

(3)命题“ ?x ? 0, x 2 ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? 0, x 2 ? 0 (C) (B) ?x ? 0, x 2 ? 0 (D) ?x ? 0, x 2 ? 0

?x ? 0, x 2 ? 0

(4)下列函数中,既是奇函数,又在 R 上是增函数的是 A y =

x

2 3

B y =- x ︱x︱

C y = 2 +2

x

-x

D y = 2 -2

x

-x

(5)双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率是 2,则渐近线方程为 a2 b2
B x ± 3 y=0 C x ± 3y = 0
2 2

A

3x ± y = 0

D

3x ± y = 0

(6) 直线 kx – y + 3 = 0 与圆(x -3) +( y - 2 ) = 4 相交于 A,B 两点,若︱ AB︱≥2 3 ,则实数 k 的取值范围是 A (- ∞,-

3 ) 4

B [-

3 , 0] 4

C [0,+ ∞]

D (- ∞, -

3 )∪[0, +∞] 4

(7) 在区间[0,10]上任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,10]上的概率为 A

?
40

B

?
20

C

? 10

D

? 4

(8) 已知三棱锥 S—ABC 的四个顶点都在半径为 1 的球面上,底面 ABC 是正三角形,

SA = SB = SC,且平面 ABC 过球心,则三棱锥 S-ABC 的体积是

A

3 3 4

B

3 3

C

3 4

D

3 12

(9) 将函数 y = 3 sin2x 的图象向右平移 横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再将所得图象的所有点的 4

1 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为 2
C y =

A y = 3 sinx (10)函数 f(x)=

B

y = - 3 cosx

3 sin4x

D y =- 3 cos4x

2?x 的图象大致为 2?x ? 1

11、已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示,则它的俯视图可能是

(12)已知函数 f(x)= ?

?| lg x |, 0 ? x ? 3 设方程 f(x) =2-x + b (b ? R)的四个不等实 f (6 ? x),3 ? x ? 6, ?

根从小到大依次为 x1 ,x2, x3 ,x4, 对于满足条件的任意一组实根,下列判断中正确的个 数为

①0 < x1?x2 < 1 36 A 1

② (6 - x3 )?(6-x4)>1

③ 9 < x3?x4 < 25 ④ 25 < x3?x4 <

B 2

C 3

D 4

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、设单位向量 a,b 的夹角为 60°,则∣a + 2b∣= .

? x ? y ? 2 ? 0, ? 14 若实数 x,y 满足 ? x ? 4, , 则 x-y 的最大值为 ? y ? 5, ?
15、若执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值为 16 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且





3 ? ? 3 <B< ,acosB-bcosA = c,则 tan2B?tan A 的最大值 5 4 2
为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。

17、(本小题满分 12 分) 在等差数列﹛an﹜中,a1 + a2 +a3 = 6, a5 = 5. (I)求数列﹛an﹜的通项公式: (II)设 bn =

1 ( n ? N * ),求数列﹛bn﹜的前 n 项和 Sn。 a n ? a n ?1

18、(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 A-BCC1B1 中,等边三角形 ABC 所在 平面与正方形 BCC1B1 所在平面互相垂直,BC = 2,M,D 分别为 AB1,CC1 中点。 (I)求证:BD ⊥AB1


(II)求三棱锥 M-ABD 的体积。

19、(本小题满分 12 分) 某电视台 2012 年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动,过程分为初赛、复赛和 决赛,经初赛进入复赛的 40 名选手被平均分成甲、乙两个班,由组委会聘请两位导师各 负责一个班进行声乐培训。下面是根据这 40 名选手参加复赛时获得的 100 名大众评审的 支持票数制成的茎叶图:

赛制规定:参加复赛的 40 名选手中,获得的支持票数排在前 5 名的选手可进入决赛, 若第 5 名出现并列,则一起进入决赛;另外,票数不低于 95 票的选手在决赛时拥有“优 先挑战权”。 1、从进入决赛的选手中随机抽出 3 名,求其中恰有 1 名拥有“优先挑战权”的 概率; 2、电视台决定,复赛票数不低于 85 票的选手将成为电视台的“签约歌手” ,请填

写下面的 2?2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成 为‘签约歌手’与选择的导师有关? 甲班 签约歌手 末签约歌手 合计 下面临界值表仅供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 乙班 合计

参考公式:K2=

n(ad ? bc) 2 ],其中 n = a +b +c +d (a ? b)(c ? d )a ? c)(b ? d )

20、(本小题满分 12 分)如图,已知点 A(0,1) ,点 P 在圆 C:x2 + (y +1 )2 = 8 上, 点 M 在 AP 上,点 N 在 CP 上,且满足 AM = MP,NM ⊥AP,设点 N 的轨迹为曲线 E。 (I)求曲线 E 的方程; (II) 过原点且斜率为 k(k>0)的直线交曲线 E 于 G,F 两点,其中 G 在第一象限,它 在 y 轴上的射影为点 Q,直线 FQ 交曲线 E 于另一点 H,证明:GH ⊥ GF。

21、 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x) =x2 + bx - a?lnx. (I) 在点(1,f(1))处的切线与 y 轴垂直,1 是函数 f(x)的一个零点,求 f(x)的 单调区间; (II) 若对任意 b 属于[ - 2 ,- 1 ], 及任意 x 属于(1 ,e )(e 为自然对数的底数), 使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。 22、(本小题满分 10 分) 选修 4-1: 几何证明选讲 如图,已知 ABCD 为直角三角形,其中∠B =∠C = 90°, 以 AD 为直径作⊙O 交 BC 于 E,F 两点。证明: (I) BE = CF (II) AB ?CD = BE ?BF

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P(0,

1 ) ,且倾斜角为 150°.以 O 为极点,x 2
2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos? ? 0 =0 (θ 为参 数, ? > 0).

I 、写出直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程: II、设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 ︱PA︱ ?︱PB︱的值。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲 已知 f(x) = ︱ax + 1︱ (a ? R),不等式 f(x) >5 的解集为﹛x︱x>2 或 x<-3﹜. (I)求 a 的值; (II) 若不等式 f(x) –f(

x ) ≤k 在 R 上有解,求 k 的取值范围。 2

吉林省 2013 年高考复习质量监测 评分说明:

-文科数学试题答案及评分参考

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题 (1) (B) (2) (A) (3) (B) (4) (D) (5) (D) (6) (B)

(7) (A) (8) (C) (9) (D) (10) (A) (11) (C) (12) (C) 二、填空题 (13) 7 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设数列{ an }公差为 d. ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 , ∴? (14)6 (15)5 (16)-512

?3a1 ? 3d ? 6 ? a1 ? 1 ?? , ∴ an ? n , ?d ? 1 ? a1 ? 4d ? 5

即数列{ an }的通项公式为 an ? n . ???????????????????6 分 (Ⅱ)∵ bn ?
1 2

1 1 1 1 ? ? ? , ????????????????8 分 an an ?1 n ? (n ? 1) n n ? 1
1 1 2 3 1 1 3 4 1 n 1 ) n ?1

∴ Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

? 1?


1 n ? . ???????????????????????12 n ?1 n ?1

(18)解: (Ⅰ)证明:取 BC 中点 O ,连结 AO, OB1 .

A C M D O B B1 C1

?△ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .
?平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ,
平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 ? BC , AO ? 平面 ABC ,

? AO ⊥ 平面 BCC1 B1 ,
∴ AO ? BD .????????????????????????????4 分
CC ∵正方形 BCC1 B1 中, O ,D 分别为 BC , 1 的中点,∴ OB1 ? BD .

又 AO ? OB1 ? O ,? BD ⊥平面 AOB1 ,

? BD ⊥ AB1 . ????????????????????????????7 分
1 1 1 1 1 3 (Ⅱ)连结 DB1 ,则 VM ? ABD ? VB1 ? ABD ? VA? BDB1 ? ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ? . 2 2 2 3 2 3

∴三棱锥 M ? ABD 的体积为 分 (19)解:

3 .????????????????????12 3

(Ⅰ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ????2分 为拥有“优先挑战权”的选手编号为 1,2,3,其余 3 人编号为 A,B,C. 被选中 3 人的编号所有可能的情况共 20 种,列举如下: 123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC, 23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC, 3AB,3AC,3BC, ABC,????????????????????????????????4 分

其中拥有“优先挑战权”的选手恰有 1 名的情况共 9 种,如下: 1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC, ∴所求概率为 P ? 分
9 . ?????????????????????????6 20

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表: 甲班 签约歌 手 未签约 歌手 合计 20 20 40 17 10 27 3 乙班 10 合计 13

??????????????????9 分

根据列联表中的数据,得到 k ?

40(3 ? 10 ? 10 ? 17)2 ? 5.584 ? 5.024, 13 ? 27 ? 20 ? 20

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有 关. ???????????????????12 分

(20)解: (Ⅰ)NM 为 AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|, 又∵|CN|+|NP|= 2 2 ,∴|CN|+|NA|= 2 2 >2.
? 1) ∴动点 N 的轨迹是以点 C (0 , 1) , A(0 , 为焦点的椭圆,?????????3 分

且长轴长 2a ? 2 2 ,焦距 2c ? 2 ,∴ a ? ∴曲线 E 的方程为

2 , c ? 1, b 2 ? 1 ,

y Q G O F x

x2 ?

y2 ? 1 .??????????????????????5 分 2

y A M P N O C x

(Ⅱ)设 G(x1,kx1),H(x2,y2),则 F(-x1,-kx1),Q(0,kx1), 直线 FQ 的方程为 y=2kx+kx1, 将其代入椭圆 E 的方程并整理可得 (2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-2=0. 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得 -x1+x2= ?

2 x1 4k 2 x1 ,即 x2 ? . 2 ? 4k 2 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 FQ 上,

所以 y2-kx1=2kx2= 分

4kx1 .??????????????????????9 2 ? 4k 2

于是 GF =(-2x1,-2kx1),

??? ?

???? 4kx1 4k 2 x1 =(x2-x1,y2-kx1)=( ? , ). GH 2 2 ? 4k 2 2 ? 4 k
而 GH ? GF 等价于 GF ? GH ? 分 (21)解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? b ?
'

??? ???? ?

4(2 ? 2)k 2 x12 ? 0 .?????????????12 2 ? 4k 2

a , x

∵ f ' (1) ? 0 , f (1) ? 0 ,∴ a ? 1 , b ? ?1 .?????????????????3 分 ∴ f ?( x) ? 2 x ? 1 ?
1 , x

' ∴令 f ( x) ? 0 ,得 f ( x) 的增区间 ?1, ?? ? , ' 令 f ( x) ? 0 ,得 f ( x) 的减区间 ? 0,1? . ??????????????????5

分 (Ⅱ)根据题意,对任意 b ? ? ?2, ?1? ,及任意 x ? (1, e) ,使得 f ( x) ? 0 成立, 即 x2 ? bx ? a ln x ? 0 成立, 令 g (b) ? xb ? x ? a ln x , b ? [?2, ?1] ,则 g (b) 是关于 b 的一次函数且为增
2

函数,? g (b) max ? g (?1) ? x ? x ? a ln x ? 0 在 (1, e) 上恒成立,
2

即a ? 分

x2 ? x 在 (1, e) 上恒成立,?????????????????????7 ln x

令 h( x) ?

(2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) x2 ? x , x ? (1, e) , h?( x) ? , ln 2 x ln x
2x ?1 1 ? 1 ? 2ln x ? 1 ? , x x

令 ? ( x) ? (2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) , ? ? ? x ? ? 2ln x ? 设 r ( x) ? 2ln x ? 1 ?

1 2 1 , r ? ? x ? ? ? 2 ? 0 ,所以 r ? x ? 为增函数,所以 x x x

r ? x ? ? r ?1? ? 0 ,
所以 ? ? ? x ? ? 0 , ? ( x) 为增函数,所以 ? ? x ? ? ? (1) ? 0 , 所以 h?( x) ? 0 , h( x) 为增函数,所以 h ? x ? ? h(e) ? 所以 a ? e2 ? e . 分 (22)证明: (Ⅰ)过 O 作 OG⊥EF,则 GE=GF,OG∥AB. ∵O 为 AD 的中点,∴G 为 BC 的中点. ∴BG=CG, ∴BE=CF. ????????????5 分 (Ⅱ)设 CD 与⊙O 交于 H,连 AH,∵∠AHD=90°, ∴AH∥BC, ∴AB=CH.∵CD?CH=CF?CE, ∴AB?CD=BE?BF. ?????????????????????????10 分 (23)解: (Ⅰ)由已知得,
? 3 t, ?x ? ? ? 2 (t为参数) , ???????????????3 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 ? 1 t , ? ? 2 2

e2 ? e ? e2 ? e ,????11 分 ln e

??????????????????????????12

O ? A B E G F

D H C

分 圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 . ??????????????????

5分
? 3 t, ?x ? ? ? 2 (t为参数) 代入 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 , (Ⅱ)将 ? 1 1 ?y ? ? t , ? ? 2 2
1 整理得 4t 2 ? (2 ? 4 3)t ? 1 ? 0 ,设方程两根分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? , 4

根据参数 t 的几何意义,得点 P 到 A ,B 两点的距离之积为 | t1t2 |? 分 (24)解: (Ⅰ)由|ax+1|>5 得 ax ? 4 或 ax ? ?6 . 又 f(x)>5 的解集为{x| x ? 2 或 x ? ?3 }, 当 a>0 时, x ?
4 6 或 x ? ? ,得 a=2. a a

1 . ?????10 4

当 a≤0 时,经验证不合题意. 综上, a ? 2 . 分 ?????????????????????????????5

? ?? x, x≤ ? 1, ? 1 x ? (Ⅱ)设 g(x)=f(x)- f ( ) ,则 g ? x ?=??3x ? 2, ? 1 ? x ? ? , 2 2 ? 1 ? x≥ ? , ? x, ? 2
则函数 g ( x) 的图象如下:
1 由图象可知,g(x)≥ ? , 2 1 故原不等式在 R 上有解时,k≥ ? . 2 1 即 k 的取值范围是 k≥ ? . ?????????????????????10 分 2
y

1
? 1 2

-1

O
?

1 2

x


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