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高三复习不等式的基本性质与基本不等式课件


不等式
不等关系与不等式

要点梳理
1.两个实数比较大小的基本方法 作差法

?a ? b ? 0 ? a > b ? ?a ? b ? 0 ? a = b( a, b ? R); ?a ? b ? 0 ? a < b ?

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2.不等式的

基本性质
加法特性 (1) a>b,b>c? ? a>c (2)a>b ? a+c>b+c (3) a>b,c>d ? a+c>b+d (4)a>b,c<d? ? a-c>b-d

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乘法特性:

a>b,c>0? ? _______; ac>bc
a>b,c<0? ac<bc ? ________; a>b>0,c>d>0? ? _______; ac>bd a>b>0(n∈N+)? ? an>bn; a>b>0(n∈N+,n≥2) ? ?
n

a ? b.

n

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基本不等式

要点梳理
1.基本不等式 ab ? a ? b (1)基本不等式成立的条件:____________. a>0,b>0 (2)等号成立的条件:当且仅当______ a=b 时取等号.
2

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2.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥ _______( a,b∈R). 2ab b a (2) ? ≥____( 2 a,b同号). a b a?b 2 ) (a,b∈R). (3) ab ? ( 2 2 2 a ?b a?b 2 (4) ?( ) (a,b∈R). 2 2

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3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____ x=y 时,x+y

p 有最 ___值是2 ______. (简记:积定和最小) 小
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当____ x=y 时,xy有最
p2 ____ (简记:和定积最大) 大 值是______. 4

4.利用基本不等式的三要素

使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在 前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不 等式求最值,这三个条件缺一不可.
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题型分类
题型一 比较大小

深度剖析

【例1】比较下列各组中两个代数式的大小: (1)(x-3)2与(x-2)(x-4); (2)当x>1时,x3与x2-x+1.

作差,通过分解因式判断差的符号. 思维启迪 解 (1)(x-3)2-(x-2)(x-4)
=x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0,

∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

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(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1

=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
∵x>1,∴x3-(x2-x+1)>0, ∴当x>1时,x3>x2-x+1. 探究提高 (1)作差法步骤:作差——变形——判 断差的符号.作商法的步骤:作商——变形——判断

商与1的大小.
(2)两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式 分解、配方、有理化等,也可以等价转化为易于比较

大小的两个代数式来达到目的.

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知能迁移1

(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R; 1 (2)设a∈R,且a≠0,试比较a与 的大小. a 解 (1)(x6+1)-(x4+x2)

=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当x=±1时,x6+1=x4+x2; 当x≠±1时,x6+1>x4+x2.

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2 1 a (2)a ? ? ? 1 ? (a ? 1)( a ? 1) a a a 当-1<a<0或a>1时, a ? 1 ; a 1 当a<-1或0<a<1时, a ? ; a 当a=±1时, a ? 1 . a

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题型二

不等式的性质

【例2】使不等式a>b成立的充要条件是 1 1 2 2 A.a >b B. ? a b 1 1 C.lg a>lg b ? 2 a 2b

( D )

D.

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探究提高

特殊值法是判断命题真假时常用到的

一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试可 以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特 殊值使命题不成立,则该命题为假命题. 说明一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不 能用特殊值法肯定一个命题,只能利用所学知识严 密证明

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知能迁移2

已知a、b、c∈R,则下列推理:

a b ① 2 ? 2 ? a ? b; c c 1 1 3 3 ②a >b ,ab>0 ? ? ; a b 1 1 2 2 ③a >b ,ab>0 ? ? ; a b

1 ? log a (1 ? a) ? log b . ④0<a<b<1? 1? a 其中正确的个数是





A.1

B.2

C.3

D.4

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由 a ? b 可知c2>0, c2 c2 a b 2 ? 2 ? c ? 2 ? c 2 , 即a>b,∴①正确. c c 由a3>b3,ab>0可得a>b,ab>0, 解析
即a>b>0或b<a<0,
1 1 ? ? , ∴②正确. a b

由a2>b2,ab>0可得a>b>0或a<b<0, a>b>0时 1 ? 1 , 但a<b<0时, a b 1 1 故③不正确. ? , a b
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∵0<a<b<1,∴loga(1+a)>logb(1+a),
1 又 ? log b (1 ? a ) ? log b ? log b (1 ? a 2 ) ? 0, 1? a 1 ? log b (1 ? a ) ? log b , 1? a 1 ? log a (1 ? a ) ? log b , 故④正确. 1? a 答案 C

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题型三

不等式性质的应用

【例3】已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的
取值范围. 思维启迪 将2a+3b用a+b和a-b表示出来,再利用不 等式的性质求解2a+3b的范围.

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探究提高 由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)

的取值范围,可利用待定系数法解决,即设g(x1,y1)
=pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1),用恒等变形求得p,q,再利用 不等式的性质求得g(x1,y1)的范围.

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知能迁移3

已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的

取值范围是_________.

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巩固练习:设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2

的取值范围.

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题型四

利用基本不等式求最值

【例】求下列各题的最值.

2 5 (1)已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 z ? ? 的最 x y
小值;

12 (2)x>0,求 f ( x) ? ? 3x 的最小值; x 4 (3)x<3,求 f ( x) ? ? x 的最大值; x ?3
(4)x∈R,求 f ( x ) ? sin2 x ? 1 ?

5 的最小值. 2 sin x ? 1

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思维启迪 不等式.

(1)由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本

12 (2)由x>0, ? 3x ? 36 是常数,故可直接利用基本 x
不等式.

4 (3)由于 ? x 不是常数,故需变形. x ?3 4 f ( x) ? ? x ? 3 ? 3, 又x-3<0,故需变号. x ?3
(4)虽然 (sin2 x ? 1) ?

5 ? 5(常数),但利用基 2 sin x ? 1

本不等式时,等号取不到,所以利用函数的单调性.

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探究提高 利用基本不等式求最值问题,基本方法 是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注 意元的范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”的技

巧,特别要注意等号能否取到.

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1 9 知能迁移2 (1)已知x>0,y>0,且 ? ? 1, 求x+y x y 的最小值; 1 1 ? (2)已知整数x,y满足x+3y=1,求 的最小值。 x y (3)已知x< 5 , 求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值; 4 4x ? 5 (4)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

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题型五 利用基本不等式解应用题 【例】(12分)某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,

水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低, 并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求 出最低总造价.
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