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江苏省泰州市姜堰市溱潼中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷(1月份) Word版含解析


江苏省泰州市姜堰市溱潼中学 2014-2015 学年高一上学期月考数 学试卷(1 月份)
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.sin105°=. 2.函数 f(x)=lg(2x﹣3)的定义域为. 3.函数 f(x)=3cos(2x﹣ )的最小正周期为.

4.若点 A(x,y)是 30

0°角终边上异于原点的一点,则 的值为.

5.化简:

+



=.

6.已知△ ABC 为边长 3 的正三角形,则

?

=.

7.若 A(1,﹣3) , =(3,4) ,

=2 ,则点 B 坐标为.

8.函数 y=2sin(2x+

)的单调递减区间为.

9.已知

=(1,2) , =(2,x) ,若

,则 x=.

10.若 cos(α﹣

)=

,α∈(



) ,则 sinα=.

11.已知 与 的夹角为 120°,

=1,

=3,则

=.

12. 将函数 y=2sinx 的图象先向右平移

个单位, 再将得到的图象上各点的横坐标变为原来

的 (纵坐标保持不变) ,得到函数 y=f(x)的图象,则 f(x)=.

13.在△ OAB 中,延长 BA 到点 C 使得 交于点 E,设 = , = ,则向量

=

,在 OB 上取点 D,使

=

,DC 与 OA

可用 , 表示为.

14.若方程

sinx+cosx=a+1 在[0,π]上有根,则 a 范围为.

二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知 =(1,1) , =(2,3) ,当 k 为何值时, (1)k +2 与 2 ﹣4 垂直? (2)k +2 与 2 ﹣4 平行?平行时它们是同向还是反向?

16.A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ∠AOB=θ 且 sinθ= . (1)求 B 点坐标; (2)求 的值.

17.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (﹣π<φ<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= (1)求 φ; (2)用“五点法”画出函数 y=f(x)在一个周期内的简图. (要求列表、描点、连线) ; (3)求函数 y=f(x)的单调增区间.



18.如图,A、B 是单位圆 O 上的点,C、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点,△ ABO 为正 三角形. (1)若点 A 的坐标为 (2)若∠AOC=x(0<x< 求出 y 的最大值. ,求 cos∠BOC 的值; ) ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并

19. (16 分)已 (1)求 ? 值

?

=0,|

|=3,|

|=4

(2)若 D 为 BC 中点,求

?

值 ? 值.

(3)若点 G 为△ ABC 的重心,求

20. (16 分)已知函数 f(x)=a﹣

是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

江苏省泰州市姜堰市溱潼中学 2014-2015 学年高一上学 期月考数学试卷(1 月份)
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.sin105°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 利用 105°=90°+15°,15°=45°﹣30°化简三角函数使之成为特殊角的三角函数,然后 利用两角和与差的正弦余弦公式进行求解. 解答: 解:sin105°=sin(90°+15°)=cos15°=cos(45°﹣30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° = .

故答案为:



点评: 本题考查三角函数的诱导公式,是基础题.

2.函数 f(x)=lg(2x﹣3)的定义域为( ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

对数函数的定义域. 函数的性质及应用. 根据对数函数的真数大于 0,求出 x 的取值范围,即是定义域. 解:由对数的真数大于 0,可得 2x﹣3>0,

解得 x> ,故函数的定义域为( ,+∞) , 故答案为: ( ,+∞) 点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应根据对数函数的真数大于 0,求出定 义域,是基础题.

3.函数 f(x)=3cos(2x﹣

)的最小正周期为 π.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用 y=Asin(ωx+?)的周期为| 解答: 解:函数 y=3cos(2x﹣ 故答案为:π. 点评: 本题考查了三角函数周期的求法; 利用三角函数 y=Asin (ωx+?) 的周期为 T=| 求,属于基本知识的考查. | |求. =π.

)的最小正周期为 T=

4.若点 A(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则 的值为



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据三角函数的定义, 是 300°角的正切值,求解即可. 解答: 解:点 A(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则 的值就是:tan300°= 以 =tan300°=﹣tan60°= 所

故答案为:﹣

点评: 本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,诱导公式的应用,考查计算能力.

5.化简:

+



=



考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的加法与减法运算法则,进行化简即可. 解答: 解: = = = ﹣ ﹣ . . + ﹣ =( + )﹣

故答案为:

点评: 本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题,是基础题目. 6.已知△ ABC 为边长 3 的正三角形,则

?

=﹣ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义,注意夹角为 π﹣B,运用公式计算即可得到. 解答: 解: =﹣3×3×cos60° =﹣9× =﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查平面向量的数量积的定义,考查向量夹角的概念,属于基础题和易错题. ? =| |?| |?cos(π﹣B)

7.若 A(1,﹣3) , =(3,4) ,

=2 ,则点 B 坐标为(7,5) .

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设出 B 的坐标,利用已知条件求解即可. 解答: 解:A(1,﹣3) , =(3,4) , =2 ,

设 B(m,n) ,则(m﹣1,n+3)=(6,8) , 所以 m=7,n=5. 即 B 点的坐标为: (7,5) . 故答案为: (7,5) . 点评: 本题考查斜率的坐标运算,斜率的平行体积的应用,是基础题. ],k∈Z.

8.函数 y=2sin(2x+

)的单调递减区间为[k

,k

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 令 2k 间. 解答: 解:令 2k 所以函数 y=2sin(2x+ 故答案为:[k ,k ≤2x+ ≤2k ,可解得 k ,k ≤ x≤ k ],k∈Z. ,k∈Z. ≤2x+ ≤2k ,即可可解得函数 y=2sin(2x+ )的单调递减区

)的单调递减区间为[k ],k∈Z.

点评: 本题主要考查了三角函数的图象与性质, 正弦函数的单调性, 属于基本知识的考查.

9.已知

=(1,2) , =(2,x) ,若

,则 x=﹣1.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 =2+2x=0,解之即可. ,

解答: 解:∵ =(1,2) , =(2,x) ,且 故 =2+2x=0,解得 x=﹣1,

故答案为:﹣1 点评: 本题考查向量垂直的充要条件,属基础题.

10.若 cos(α﹣

)=

,α∈(



) ,则 sinα=



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由角的范围和同角三角函数的基本关系可得 sin(α﹣ 弦公式可得 sinα=sin[(α﹣ 解答: 解:∵α∈( 又∵cos(α﹣ )= , )+ ]= sin(α﹣ ∈(0, )= )+ cos(α﹣

)= ,由两角和与差的正 ) ,代值计算可得.

)+ cos(α﹣ ) , = , )

) ,∴α﹣

,∴sin(α﹣ ]=

∴sinα=sin[(α﹣ = 故答案为:

)+ =

sin(α﹣

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题.

11.已知 与 的夹角为 120°,

=1,

=3,则

=7.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;两向量的和或差的模的最值. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据数量积的运算把条件代入 向量模. 解答: 解:由题意得, =25+9﹣10×1×3×cos120°=49, ∴ =7, =25 化简求值,再开方后就是所要求的

故答案为:7. 点评: 本题考查了利用向量的数量积求向量的模问题,属于基础题.

12. 将函数 y=2sinx 的图象先向右平移

个单位, 再将得到的图象上各点的横坐标变为原来 ) .

的 (纵坐标保持不变) ,得到函数 y=f(x)的图象,则 f(x)=2sin(2x﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 令 y=g(x)=2sinx,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得 f(x)=2sin(2x ﹣ ) .

解答: 解:∵y=2sinx,将函数 y=2sinx 的图象先向右平移 为 2sin(x﹣

个单位,得到函数的解析式

) ,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标保持不变) ,得到 ) ,

函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x﹣ ∴f(x)=2sin(2x﹣ 故答案为:2sin(2x﹣ ) . ) .

点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查正弦函数的单调性质,考查运算 求解能力,属于基本知识的考查. 13.在△ OAB 中,延长 BA 到点 C 使得 交于点 E,设 = , = ,则向量

=

,在 OB 上取点 D,使 .

=

,DC 与 OA

可用 , 表示为 2 ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的三角形法则,得 解答: 解: =2( =2 ﹣ . . = =2 ﹣ = ,向量的数乘运算,化简即得到.

)+

=2 ﹣

故答案为:2 ﹣

点评: 本题考查平面向量的加减运算和数乘, 考查平面向量的基本定理及运用, 考查运算 能力,属于基础题. 14.若方程 sinx+cosx=a+1 在[0,π]上有根,则 a 范围为[﹣2,1].

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由

sinx+cosx=a+1 得:a=

sinx+cosx﹣1=2sin(x+

)﹣1,利用正弦函数的单

调性质可求得 x∈[0,π]时,a 的取值范围. 解答: 解:∵a= ∵x∈[0,π], ∴x+ ∈[ , ], )﹣1∈[﹣2,1]. sinx+cosx﹣1=2( sinx+ cosx)﹣1=2sin(x+ )﹣1,

∴2sin(x+

)∈[﹣1,2],2sin(x+

∴a∈[﹣2,1]. 故答案为:[﹣2,1]. 点评: 本题考查两角和的正弦,考查正弦函数在闭区间上的最值,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知 =(1,1) , =(2,3) ,当 k 为何值时, (1)k +2 与 2 ﹣4 垂直? (2)k +2 与 2 ﹣4 平行?平行时它们是同向还是反向?

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的坐标运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出; (2)利用向量共线定理即可得出. 解答: 解: (1) =k(1,1)+2(2,3)=(4+k,6+k) , =2(1,1)﹣4

(2,3)=(﹣6,﹣10) , 由 得: ∴当 k=﹣ (2)由 k=﹣1. 此时 =(3,5)=﹣ (﹣6,﹣10)=﹣ , . 时, . ,得﹣6(6+k)+10(4+k)=0,化为 4k+4=0,解得: ,得:﹣6(4+k)﹣10(6+k)=0,化为﹣16k﹣84=0,解

∴它们方向相反. 点评: 本题考查了向量的坐标运算法则和向量垂直与数量积的关系、 向量共线定理, 属于 基础题.

16.A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ∠AOB=θ 且 sinθ= . (1)求 B 点坐标; (2)求 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 根据角 θ 的终边与单位交点为 (cosθ, sinθ) , 结合同角三角函数关系和 sinθ= , 可得 B 点坐标; (2)由(1)中结论,结合诱导公式化简 案. 解答: 解: (1)∵点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限. 设 B 点坐标为(x,y) , 则 y=sinθ= . x=﹣ 即 B 点坐标为: =﹣ , ,代入可得答

(2)∵

=

=

=



点评: 本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用,诱导公式,难度不大,属于基 础题.

17.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (﹣π<φ<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= (1)求 φ; (2)用“五点法”画出函数 y=f(x)在一个周期内的简图. (要求列表、描点、连线) ; (3)求函数 y=f(x)的单调增区间. 考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的对称轴即可求 φ; (2)用“五点法”画出函数 y=f(x)在一个周期内的简图. (要求列表、描点、连线) ; (3)根据正弦函数的单调性即可得到结论.



解答: 解(1)∵x= ∴sin(2×

是函数 y=f(x)的图象的对称轴, +φ=kπ+ …. ) ,k∈Z.

+φ)=±1.∴

∵﹣π<φ<0,∴φ=﹣ (2)f(x)=sin(2x﹣ 列表: 2x﹣ x sin(2x﹣ ) , 0

π



0

1

0

﹣1

0

函数的在区间[

]上的图象如下图所示:

(3)由(1)知 φ=﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣

,因此 y=sin(2x﹣ ,k∈Z.

) .

≤2kπ+

得函数 y=sin(2x﹣

)的单调增区间为[kπ+

,kπ+

],k∈Z.….

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质以及利用五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象,其中描出五个关键点的坐标是解答本题的关键. 18.如图,A、B 是单位圆 O 上的点,C、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点,△ ABO 为正 三角形. (1)若点 A 的坐标为 (2)若∠AOC=x(0<x< 求出 y 的最大值. ,求 cos∠BOC 的值; ) ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并

考点: 在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值;平面直角坐标系与曲线方程. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)根据△ ABO 为正三角形求得∠BOA,利用点 A 的坐标求得 sin∠AOC 和 cos∠AOC,进而利用两角和公式求得 cos∠BOC. (2)利用余弦定理分别求得 AC 和 BD,进而根据△ ABO 为正三角形求得 AB,CD 可知, 四边相加得到 y 的函数解析式, 利用两角和公式化简整理后, 利用 x 的范围和正弦函数的性 质求得函数的最大值. 解答: 解: (1)∵△ABO 为正三角形, ∴∠BOA=60°, ∵点 A 的坐标为 ∴tan∠AOC= , ∴sin∠AOC= ,cos∠AOC= , ∴cos∠BOC=cos(∠AOC+60°)=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°= . ,

(2) 由余弦定理可知 AC= ( ﹣ ) ,

=2sin , BD=

=2sin

AB=OB=1,CD=2, ∴ = = = ∴当 x= ,0<x< 时,ymax=5.

点评: 本题主要考查了三角函数的最值, 数学模型的应用. 考查了学生分析问题和解决问 题的能力.

19. (16 分)已 (1)求 ? 值

?

=0,|

|=3,|

|=4

(2)若 D 为 BC 中点,求

?

值 ? 值.

(3)若点 G 为△ ABC 的重心,求

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的三角形法则,再由向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平 方,即可计算得到; (2)运用中点的向量的表示和向量的平方即为模的平方,计算即可得到; (3)运用三角形的重心的性质,得到 为模的平方,计算即可得到. 解答: 解: (1) = ﹣ ? = = ,再由中点的向量表示,结合向量的平方即

=0﹣9=﹣9; = ( ) , )= ( )

(2)若 D 为 BC 中点,则 = ( = )?( =﹣ ;

(3)点 G 为△ ABC 的重心, 则 则 = = ? = = ( ( + )?( )= ( ﹣ + ) , ﹣ )

)= (

= .

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算和性质, 考查中点的向量表示和三角形的重心的 性质,考查运算能力,属于基础题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=a﹣ 是奇函数(a∈R) .

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)试判断函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 奇函数;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 综合题;待定系数法. 分析: (Ⅰ)先将函数变形,再由奇函数探讨 f(﹣x)=﹣f(x) ,用待定系数法求解. (Ⅱ)用定义求解,先在区间上任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号,要注意变 形到位. 2 (Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数.将 f(t ﹣(m 2 2 ﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 对任意 t∈R 恒成立,转化为 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任 意 t∈R 恒成立.再用判别式法求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得:f(x)= ∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x) 即

∴a﹣2=﹣a,即 a=1 即

(Ⅱ)设 x1,x2 为区间(﹣∞,+∞)内的任意两个值,且 x1<x2, 则 , ,

∵f(x1)﹣f(x2)=

=

<0

即 f(x1)<f(x2)∴f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数. (Ⅲ)由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)知,f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,且是奇函数. 2 2 ∵f(t ﹣(m﹣2)t)+f(t ﹣m﹣1)<0 2 2 2 ∴f(t ﹣(m﹣2)t)<﹣f(t ﹣m﹣1)=f(﹣t +m+1) 2 2 ∴t ﹣(m﹣2)t<﹣t +m+1 2 即 2t ﹣(m﹣2)t﹣(m+1)<0 对任意 t∈R 恒成立. 2 2 只需△ =(m﹣2) +4×2(m+1)=m +4m+12<0, 解之得 m∈?(16 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,单调性的判断与证明以及用判别式求解恒成立问题.


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