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课件-1(正弦定理与余弦定理)


1.1 正弦定理、余弦定理

1.1 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 ? tan A A ? B ? 90? a ?b ? c b
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B

A c a b

C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

即正弦定理,定理对任意三角形均成立.

利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系?

1.1 正弦定理、余弦定理
? 为向量a 与b 的夹角. 向量的数量积 a ? b ?| a || b | cos? , B 如何构造向量及等式?
在锐角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 90? ? A , j 与 CB j 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB

j ? ( AC ? CB ) ? j ? AB 怎样建立三角形中边和角间的关系?
a c ?  a sin C ? c sin A 即 sin A ? sin C

A

C

?    j AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C ) ? j AB cos(90? ? A)

b c 同理,过C作单位向量j 垂直于CB ,可得 sin B ? sin C

1.1 正弦定理、余弦定理
a b c ?    ? ? sin A sin B sin C

在钝角三角形中,怎样将三角形的边用向量表示?怎样引 入单位向量?怎样取数量积? 在钝角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 A ? 90? , j 与CB B 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB .
a b c   ? ? 同样可证得: sin A sin B sin C

j A C

1.1 正弦定理、余弦定理
正弦定理 相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比

正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两 边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。

1.1 正弦定理、余弦定理
例题讲解 例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30? ,求b(保 留两个有效数字). b c ? 解:∵ 且 sin B sin C

B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105?

c ? sin B 10 ? sin 105? ?  b ? ? ? 19 sin C sin 30?

1.1 正弦定理、余弦定理
例题讲解
? 例2 在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 4 2 , B ? 45 ,求 a b a sin B 1 ? sin A ? ? 解:由 得 sin A sin B b 2
A 。

∵ ∴

在 ?ABC 中 a ? b A 为锐角

?  A ? 30?

1.1 正弦定理、余弦定理
例题讲解
?B ? 45?, ?C ? 60?, a ? 2( 3 ? 1) ,求 例3 在 ?ABC 中,

?ABC 的面积S.
解: ? ?A ? 180? ? ( B ? C ) ? 75? A
2 2( 3 ? 1)( h ) a sin B 2 ?4 ? ∴由正弦定理得 b ? sin A 三角形面积公式 B 6? 2 C 4 1 1 1 1 ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin3A S ?ABC ? aha 1 1 2 24 ? ( ) ? 6 ? 2 3 ? S ?2 ab sin C ? 2 ? 2( 3 ? 1) ? ABC ? 2 2 2

1.1 正弦定理、余弦定理
练习: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

(2)在 ?ABC 中,若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

,则 ?ABC 是( D )

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

1.1 正弦定理、余弦定理
练习: (3)在任一 ?ABC 中,求证: a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

证明:由于正弦定理:令 a ? k sin A, B ? k sin B, c ? k sin C
代入左边得:

左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B) ? 0 =右边
∴ 等式成立


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