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数论第一章--整除


数的整除性
定义 设 a, b ? Z ,b ? 0 ,如果存在 c ? Z ,使得 a ? bc 成立,则称 b 整除 a ,

记作 b a ;不然,则称 b 不整除 a ,记作 b ? | a. 每个非零整数 a 都有约数 1 ,?1 ,a ,?a ,这 4 个数称为 a 的平凡约数,a 的 其他的约数称为非平凡约数. 性质 (1) a b ?

?a ? b ;

(2) a b , b c ? a c ; (3) b ai (i ? 1,2,

, k ) ? b a1x1 ? a2 x2 ?

; ? ak xk (其中 xi 是任意整数)

(4) b a ? bc ac (其中 c 是任意的非零整数) ; (5) b a , a ? 0 ? b ? a ; (6) b a , a ? b ? a ? 0 .

1.已知 a, b, c, d , t ? Z ,且 t 10a ? b , t 10c ? d .求证: t ad ? bc . 2.设 a , b 是两个给定的非零整数,且有整数 x, y ,使得 ax ? by ? 1.求证:若

a n , b n ,则 ab n .
3.已知 a, b, c, d ? Z ,且 a ? c ab ? cd .求证: a ? c ad ? bc . 4.证明:设 a 是奇数,若 a 2n ,则 a n . 5.证明:设 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? 则 d f (b) ? f (c) . 6.已知数列 1,4,8,10,16,19,21,25,30,43 中,相邻若干个数之和 能被 11 整除的数组共有多少个? 7.已知 6 a ? b ? c ,求证: 6 a3 ? b3 ? c3 . 8.已知 n 为大于 2 的整数,求证: 120 n5 ? 5n3 ? 4n .

? a1x ? a0 是整系数多项式,若 d b ? c ,

素数与合数
定义 若整数 a ? 0, ?1 ,并且只有约数 ?1 , ? a ,则称 a 是素数(或质数) ;

不然,则称 a 为合数. 注意:①素数也称为不可约数,它总是指正整数;②由定义知,全体整数可 以分为 1、素数、合数三大类. 定理 (1)任何大于 1 的整数 a 都至少有一个素约数; (2)如果 a 是大于 1 的正整数,则 a 的大于 1 的最小约数必为素数; (3)任何大于 1 的合数 a 必有一个不超过 a 的素约数; (4)素数有无穷多个; (5) 设 A ? {d1, d2 ,

, dk } 是 n 的所有约数的集合,则 B ? {

n n , , d1 d2

,

n } 也是 dk

n 的所有约数的集合.
1.若 n 是奇数,则 8 n2 ?1 . 2.以 d (n) 表示 n 的正约数的个数,例如 d (1) ? 1 , d (2) ? d (3) ? 2 , d (4) ? 3 等 等,问 ? d (k ) 是否为偶数?
k ?1 2015

3.设 a1 ? Z (i ? 1, 2,

, n) ,且 a1 ? a2 ?

? an ? 0 , a1a2

an ? n ,则 4 n .

4.求三个素数,使得它们的积为和的 5 倍. 5.若 n 是合数,则 n 位数 11 1 也是合数.
n个

6.设 a 是自然数,问 a 4 ? 3a 2 ? 9 是素数还是合数? 7.设 p 是 n 的最小素约数, n ? pn1 , n1 ? 1 .证明:若 p ? 3 n ,则 n1 是素数. 8.证明:存在无穷多个正整数 a ,使得 n4 ? a(n ? 1, 2, ) 对任意正整数 n 都是 合数.

带余除法
定理 若 a, b 是 两 个 整 数 , 且 b ? 0 , 则 存 在 两 个 整 数 q 及 r , 使 得

a ? q b? r ( 0 ? r ? b )成立,且 q 和 r 是唯一的.式子中,q 称为 a 被 b 除的商,r 称

为 a 被 b 除的余数. 1.任给的 5 个整数中,必有 3 个数之和能被 3 整除. 2. 设 a0 , a1 ,

, an ? Z , f ( x) ? an xn ?

? a1x ? a0 .已知 f (0) 与 f (1) 都不是 3

的倍数.证明:若方程 f ( x) ? 0 有整数解,则 3 f (?1) . 3.设 3 a2 ? b2 .证明: 3 a ,且 3 b . 4.证明:对于任何整数 m, n ,等式 n2 ? (n ? 1)2 ? m2 ? 2 不可能成立. 5.已知 n 是整数.证明: 3 n(n ?1)(2n ?1) . 6.证明:形如 3n ? 1 的数不可能是完全平方数. 7.已知 9 a2 ? b2 ? c2 .则 9 a2 ? b2 或 9 b2 ? c2 或 9 c2 ? a2 . 8.若 ax0 ? by0 是形如 ax ? by ( x, y 是任意整数, a , b 是两个不全为零的整数) 的数中的最小正数,则 (ax0 ? by0 ) | (ax ? by ) ,其中 x, y 是任意整数.

最大公约数
定义 叫做 a1 , a2 , 整数 a1 , a2 , 若整数 d 是它们中每一个数的因数, 那么 d 就 , ak (k ? 2) ,

, ak 的一个公约数.整数 a1 , a2 ,

, ak 的公因数中最大的一个叫做最大

公因数(或最大公约数) ,记作 (a1 , a2 , 若 (a1, a2 ,

, ak ) .
, ak 互 质 或 互 素 ; 若 诸 (ai , a j ) ? 1 , 即

, ak ) ? 1 , 就 说 a1 , a2 ,

a1 , a2 ,

, ak 中每两个整数都互素,就说它们两两互素.
(1) (a1, a2 ,

性质

, ak ) ? ( a1 , a2 ,

, ak ) ;

(2) (a,1) ? 1 , (a,0) ? a , (a, a) ? a ; (3) (a, b) ? (b, a) ; (4)若 p 是素数, a 是整数,则 (a, p) ? 1或 p a ; (5)若 a ? pb ? r ,则 (a, b) ? (b, r ) . 定理 设 a , b 是任意两个不全为零的整数.

(1)若 m 是任意一个正整数,则 (am, bm) ? (a, b)m ; ( 2 ) 若 ? 是 a, b 的 任 意 一 个 公 约 数 , 则 (
a b , )? 1 . (a ,b ) a ( b, )

? ?

a b ( a, b) .特别地, , )?

?

(

1.证明:若 n ? N * ,则

21n ? 4 是既约分数. 14n ? 3

2.设 a , b 是整数,且 9 a2 ? ab ? b2 ,则 3 (a, b) . 3.证明: 121 ? | n2 ? 2n ? 12 , n ? Z . 4.证明:若 (a, 4) ? (b, 4) ? 2 ,则 (a ? b, 4) ? 4 . 5.证明:若 (a, b) ? 1 , c a ? b ,则 (c, a) ? (c, b) ? 1 . 6.证明:从任意 5 个互素的三位数中,总能选出 4 个数是互素的.

最小公倍数
定义 整数 a1 , a2 ,

, an 的公共倍数称为 a1 , a2 ,

, an 的公倍数, a1 , a2 ,

, an 的

正公倍数中最小的一个叫做 a1 , a2 , 性质

, an 的最小公倍数,记作 [a1 , a2 ,

, an ] .

(1) [a,1] ? a , [a, a] ? a ;

(2) [a, b] ? [b, a] ; (3) [a1, a2 ,

, an ] ? [ a1 , a2 ,

, an ] ;

(4)若 a b ,则 [a, b] ? b . 定理 (1)对任意的正整数 a , b ,有 [a, b] ?
ab ; ( a, b)

(2)设 m, a, b 是正整数,则 [ma, mb] ? m[a, b] ; (3)若 a1 , a2 ,

, an 是 n(n ? 2) 个正整数,记 [a1 , a2 ] ? m2 , [m2 , a3 ] ? m3 ,…, , an ] ? mn .

[mn?2 , an?1 ] ? mn?1 , [mn?1 , an ] ? mn ,则 [a1, a2 ,

1.设 a, b, c 是正整数,则 [a, b, c] ?

abc . (ab, bc, ca)

2.设 a , b 是正整数,则 [a, b](a ? b) ? a[b, a ? b] . 3.设 a , b 是正整数,证明: [a, b] ? (a, b) ? a ? b . 4.证明: [a, b, c] ? abc ? (a, b) ? (b, c) ? (c, a) ? 1. 5.证明:设 (m, a) ? 1 ,则 (m, ab) ? (m, b) . 6.证明:若 a ? 0 , (b, c) ? 1 ,则 (a, bc) ? (a, b)(a, c) .

辗转相除法
定义 设 a 和 b 是整数, b ? 0 ,依次做带余除法:

a ? bq1 ? r1 (0 ? r1 ? b) , b ? r1q2 ? r2 (0 ? r2 ? r1 ) ,
……

rn?2 ? rn?1qn ? rn (0 ? rn ? rn?1 ) , rn?1 ? rn qn?1 ? rn?1 (rn?1 ? 0) ,
且 b ? r1 ? r2 ?

? rn?1 ? rn ? rn?1 ? 0 ,则 (a, b) ? (r1, b) ? ? (rn , rn?1 ) ? (rn?1, rn ) ? (0, rn ) ? rn ,

这一组带余除法叫做辗转相除法. 定理 ( 1 ) 若 a 和 b 是 任 意 两 个 非 零 整 数 , 则 存 在 整 数 x, y , 使 得

a x ? b y? ( a , b )成立;

(2)若 a 和 b 是任意两个非零整数,则 a 与 b 互素 ? 存在整数 x, y ,使得
ax ? by ? 1成立.

1.求 (12345, 678) , (169,121) , (?1859,1573) , (221,391,136) . 2.求 (125,17) ,以及 x, y 使得 125x ? 17 y ? (125,17) .

算术基本定理
定理 (1)设 a 是任意一个大于 1 的整数,则 a 的除 1 以外最小正因数 q 是 一个素数,并且当 a 是合数时, q ? a . (2)若 p 是一素数, a 是任一整数,则 a 能被 p 整除或 p 与 a 互质; (3)设 a1 , a2 , 某一个 ai ; (4)任何大于 1 的正整数 a 可以写成素数之积,即 a ? p1 p2

, an 是 n 个整数, p 是素数,若 p a1a2

an ,则 p 一定能整除

pn ,其中诸 pi

皆为素数; (5)算术基本定理:任何大于 1 的正整数 a 可以唯一地表示成

a ? p1?1 p2?2

pn?n ,其中诸 pi 皆为素数, p1 ? p2 ?

? pn ,诸 ?i 皆为正整数.

我们称 a ? p1?1 p2?2 数等于 (1 ? ?1 )(1 ? ?2 )

pn?n 是 a 的标准分解式.由此可知 a 的不同的正约数个
(1 ? ?n ) .

推论 1:设 a 是一个大于 1 的整数,且 a ? p1?1 p2?2
数,则 a 的正因数 d 可以表示成 d ? p1 1 p2
? ?2

pn?n ,?i (i ? 1, 2,

, n) 是正整

pn ?n ( ?i ? ?i , i ? 1, 2,
? ?2

, n )的形式。

推论 2:设 a 和 b 都是大于 1 的整数,且 a ? p1 1 p2 ( ?i ? 0 , ?i ? 0 , i ? 1, 2,

pn?n , b ? p1?1 p2?2

pn ?n ,

,n) ,则

(a, b) ? p1?1 p2? 2

pn? n , [a, b] ? p1?1 p2?2
,n。
?2

pn?n ,

其中 ? i ? min{?i , ?i } , ?i ? max{?i , ?i } , i ? 1, 2, 而且, a , b 的公约数 d 可以表示成 d ? p1 1 p2 式; a , b 的公倍数 m 可以表示成 m ? p1 1 p2 写出 51480 的标准分解式。
? ?2

?

pn?n ( ?i ? ? i , i ? 1, 2,

, n )的形

pn ?n ( ?i ? ?i , i ? 1, 2,

, n )的形式。

用算术基本定理证明: (a, b)[a, b] ? ab , (a,[b, c]) ? [(a, b),(a, c)] 。 证明:在 1,2,…, 2 n 中任取 n ? 1 个数,其中至少有一个能被另一个整除。
m 设 n 是正整数,证明:当 2 ? 1是素数时,必有 n ? 2 ,其中 m 为非负整数。
n


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