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2013年全国高中数学联赛试题加试


2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、(本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 AB 内一点, E , F 为线段 AB 上两点,满足 AE ? EF ? FB .连接 PE , PF 并延长,与圆 ? 分别相交于点 C , D .求证:

E F? C D A C B D ? ?

.

>
二、(本题满分 40 分)给定正整数 u, v .数列 {an } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

? a2 m ? a m ? u , ? ? a2 m ?1 ? am ? v.
记 Sm ? a1 ? a2 ? ? ? am ( m ? 1, 2,? ).证明:数列 {S n } 中有无穷多项是完全平方数.

三、(本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加,其中 m, n ? 2 为给定的整 数.每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分, 未答对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排 列为 p1 ? p2 ? ? ? pn ,求 p1 ? pn 的最大可能值.

四、(本题满分 50 分)设 n, k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2k 个不被 n 整除的整
k

数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


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