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安徽省芜湖一中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


芜湖一中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 A.2

2 ? ai ?a ? R ? 是纯虚数, i 是虚数单位,则 a 的值是( 1? i
B.1 C.-1 )

r />) D. -2

2.下列函数中,是偶函数且在区间 (0, ??) 上是减函数的为( A. y ?

1 x

B. y ? x2

C. y ?

1 x2


D. y ? ( )

1 2

x

? 1 x ?( ) , x ? 0 3.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 3) 的值为( ? ? f ( x ? 1), x ? 0
A.

1 24

B.

1 6

C.

4 3

D. 12

4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为

? 的是( y ? 0.7 x ? 0.35 ,则下列结论错误 ..

) 4 5 4 B. t 的取值必定是 3.15 6 4.5

x y

3 2.5

t

A.产品的生产能耗与产量呈正相关 C.回归直线一定过点 ?4.5,3.5?

D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 5.在平面直角坐标系 xOy 中,满足 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 的点 P( x, y ) 的集合对应的平面图形
2 2

的面积为

? 2 2 2 ; 类似 的, 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 满足 x ? y ? z ? 1 ,x ? 0, y ? 0, z ? 0 4
) D.

的点 P( x, y, z ) 的集合对应的空间几何体的体积为( A.

? 8

B.

? 6

C.

? 4

? 3

6.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错 误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
1

1 1 7.设 a,b∈(0,+∞),则 a+ ,b+ (

b

a

) B.都不小于 2 D.至少有一个不小于 2

A.都不大于 2 C.至少有一个不大于 2 8.已知曲线 C 的参数方程为?

?x= 2cos t, ?y= 2sin t

(t 为参数), C 在点(1,1)处的切线为 l ,以坐标原 )

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为( A. ? cos?+? sin?=2 C. ?cos?+? sin?= 2 B. ? cos? ? ? sin?=2 D. ?cos? ? ? sin?= 2

9. [ n ]表示不超过 n的最大整数.若 S1=[ 1 ]+[ 2 ]+[ 3 ]=3,

S2=[ 4 ]+[ 5 ]+[ 6 ]+[ 7 ]+[ 8 ]=10, S3=[ 9 ]+[ 10 ]+[ 11 ]+[ 12 ]+[ 13 ]+[ 14 ]+[ 15 ]=21,?则 Sn=( 2 A.n(n+2) B.n(n+3) C.(n+1) -1 D.n(2n+1)

)

10.函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图 象是( )

y 1 x O

y 1 O x

y 1 x O

y 1 x O

y x -1 O 1

A

B

C

D

11. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上递减, 且 f ( ) ? 0, 则满足 f (log 1 x) ? 0 的 x 的
4

1 2

集合为(

) B. ( ?? , ) ? ( 2,?? ) D. ( ,1) ? (1,2)

A. (0, ) ? ( 2,?? ) C. ( ,1) ? (2,?? )

1 2

1 2

1 2

1 2

12.偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? cos

?x
2

? 1 ,若函数


g ( x) ? f ( x) ? loga x 有且仅有三个零点,则实数 a 的取值范围是(
A. ? , ?

?1 1? ?5 3?

B. ?

?1 1? , ? ?4 2?

C. ? 2, 4 ?

D. ? 3,5?

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知集合 M ? {0,1,3} , N ? {x | x ? 3a, a ? M } ,则 M ? N ? 14.函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为 15.在极坐标系中,点 P ? 2, . .

? ? 11? ? ? 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离等于____________ . 6 6 ? ?
.

16.已知函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ?1 ,若 f (a) ? ? 2 ,则 a =

三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(8 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如 下: API [0, 50] (50,100] (100, 150] (150,200] (200,250] (250,300] >300

空气 中度 重度 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 质量 重污染 污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 (1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的关系式 为: ?0,0≤w≤100,

S=?4w-400,100<w≤300,

?

? ?2 000,w>300,

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 2×2 列联表, 并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 重度污染 总计 供暖季 非供暖季 总计 100

n(ad ? bc)2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k0 )
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

3

18. (10 分)已知函数 f ( x) ? a ?

1 是定义在 (?1,1) 上的奇函数 2 ?1
x

(1)求 a 的值; (2)试判断函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上的单调性并证明; (3)若 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 , 求 x 的取值集合.

2 ? 2 ? 2 ? 19.(10 分)已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 ? ; sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2

sin 2 20? ? sin 2 80? ? sin 2 140? ?

通过观察上述三个等式的规律,请你写出对任意角度 ? 都成立的一般性的命题,并给予证明.

3 2

20. (10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知在极坐标系中, A(3 3, ), B(3, ) ,圆 C 的方程为 ? ? 2 cos?

?

?

2

3

(1)求在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的标准 方程; .. (2)已知 P 为圆 C 上的任意一点,求 ?ABP 面积的最大值.

21. (10 分)已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R . (1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; 取值范围.

(3) 若存在实数 a ? ?1, 2? 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a ) ? 0 有三 个不相等的实数根, 求实数 t 的

4

芜湖一中高二年级 2015-2016 学年第二学期期中考试 数学(文)答案 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 1-6、ACCBBC 7-12、DADBAA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 13. {0,1,3,9} ; 14. (?2,1] ; 15. 3 ? 1 ; 16. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分. 17. (本小题满分 8 分) 解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A, 39 由 200<S≤600,得 150<w≤250,频数为 39,所以 P(A)= . ??????4 分 100 (2)根据题中数据得到如下列联表: 非重度污染 重度污染 总计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 总计 85 15 100 2 100×(22×7-63×8) K2 的观测值 k= ≈4.575>3.841, 85×15×30×70 所以有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关. ??????8 分 18. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意可得解得 f (0) ? a ? (2) 由(1)可知 f ( x) ?

1 1 ? 0, 解得 a ? ??(3 分) 2 ?1 2
0

1 1 ? x . 函数 f (x)在区间 (?1,1) 上为增函数. 2 2 ?1 1 2 1 1 1 ) -( ? x2 ) 2 ?1 2 2 ?1
x1

( ? 证明如下:任取-1<x1<x2<1,则 f (x1)-f (x2)=

=
x x

1 1 2 x1 -2 x2 = . 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

∵-1<x1<x2<1,∴ 2 1 -2 2 ? 0, 2 1 ? 1 ? 0, 2 2 ? 1 ? 0 ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)< f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上为增函数.??(6 分) (3) f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ? f ( x ? 1) ? ? f ( x) 因为 f ( x) 为奇函数,所以 ? f ( x) ? f (? x) ,??(7 分) 则不等式可变形为 f ( x ? 1) ? f (? x) ,因为 f ( x) 在 ?? 1,1? 上为增函数,

5

所以可得

? ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 1 ? ??1 ? x ? 1 ? ??1 ? x ? 1 ? 0 ? x ?.????(9 分) 2 ?x ?1 ? ?x ? 1 ? ?x ? ? 2

所以得取值集合为 ? x 0 ? x ?

? ?

1? ? .??????(10 分) 2?

19. (10 分)解:一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 2

事实上,证明一:左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 2 2 2

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? ? ? = ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? sin 2? sin 120 ? cos 2 cos 240 ? sin 2? sin 240? ] 2 2
= =

3 3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2
2

(将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
?
2 2

?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?
20. (本小题满分 10 分)

3 等均正确.) 2

解: (1)由 ? ? 2 cos? ,可得: ? 2 ? 2? cos? ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 x 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为: (x - 1 )? y ?1
2 2

??????4 分

(2)在直角坐标系中 A(0, 3 3),B( ,

3 3 3 ) 2 2

所以 AB ?

3 3 3 ( ? 0) 2 ? ( ? 3 3) 2 ? 3 ,直线 AB 的方程为: 3x ? y ? 3 3 2 2

6

所以圆心到直线 AB 的距离 d ?

3 ?3 3 4

? 3 ,又圆 C 的半径为 1,

所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 3 ? 1 故 ?ABP 面积的最大值为 S ? ( 3 ? 1 ) ?3 ?

1 2

3 3 ?3 2

??????10 分

21. (本小题满分 10 分)解: (1)函数 y ? f ( x) 为奇函数. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ?2 x , x ? R , ∴ f (? x) ? ? x | ? x | ?2 x ? ? x | x | ?2 x ? ? f ( x) ∴函数 y ? f ( x) 为奇函数; (2) f ( x) ? ? ?????3 分

? x 2 ? (2 ? 2a) x
2

( x ? 2a ) ,当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ; ?? x ? (2 ? 2a) x ( x ? 2a)

当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;∴当 a ? 1 ? 2a ? a ? 1 时, y ? f ( x) 在 R 上是增 函数,即 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数; ??????6 分

(3)方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f ( x) ? tf (2a) 的解. 由 a ? ?1, 2? 知 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, a ? 1) 上单调增,在 ( a ? 1, 2a ) 上单调减, 在 (2a, ??) 上单调增,∴当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ? 1) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不 相等的实数根;即 4a ? t ? 4a ? (a ? 1) 2 ,∵ a ? 1 ∴ 1 ? t ? 设 h( a ) ?

1 1 (a ? ? 2) . 4 a

1 1 (a ? ? 2) ,∵存在 a ? ?1, 2? 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数 4 a 1 1 根, ∴ 1 ? t ? h(a) max ,又可证 h(a ) ? (a ? ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4 a 9 9 ∴ h(a) max ? ∴ 1 ? t ? ;??????10 分 8 8
7


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