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广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(b卷)(理科) Word版含解析


广东省东莞市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (B 卷) (理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)命题“若 x>2015,则 x>0”的否命题是() A.若 x>2015,则 x≤0 B. 若 x≤0,则 x≤2015 C. 若 x≤2015

,则 x≤0 D.若 x>0,则 x>2015 2. (5 分)若 a∈R,则“a=2”是“(a﹣2) (a+4)=0”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)在△ A BC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,a=4,A=45°,B=60°,则 b= () A.2
2

B. 2

C. 2

D.

4. (5 分)抛物线 y =16x 的准线方程为() A.y=4 B.y=﹣4 C.x=﹣4 5. (5 分)已知等比数列{an},a1=1,a3= ,则 a5=() A.± B. ﹣ C.

D.x=4

D.±

6. (5 分)已知双曲线的渐近线方程是 y=± x,焦点在 x 轴上,焦距为 20,则它的方程为()

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



7. (5 分)已知等差数列{an},a1=1,a3=3,则数列{ A. B. C.

}的前 10 项和为() D.

8. (5 分)设 a>0,b>0.若 A.8 B. 4

是 3 与 3 的等比中项,则 C. 1

a

b

的最小值为() D.

9. (5 分) 如图, 空间四边形 OABC 中, 点 N 为 BC 中点,则 =()

, 点M在

上, 且 OM=2MA,

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)当双曲线 C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点 的椭圆称为双曲线 C 的“伴生椭圆”.则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. (5 分)已知向量 =(2,﹣1,1) , =(t,1,﹣1) ,t∈R,若 ∥ ,则 t=.

12. (5 分)不等式组

表示的平面区域的面积是.

13. (5 分)已知等差数列{an},a1=1,公差 d≠0,若 a1,a2,a6 成等比数列,则 a11=. 14. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x +2x+a≤0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是. (用 区间表示)
2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)在△ A BC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,cosB= 且 ac=35.

(1)求△ ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. 16. (12 分)设命题 p:实数 x 满足(x﹣4a) (x﹣a)<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 2 x ﹣4x+3≤0. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (14 分)某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜,总面积不超过 300 亩,总成本不超过 9 万元.甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩 600 元和每亩 200 元.假设种植这两个品种的蔬菜, 能为该农场带来的收益分别为每亩 0.3 万元和每亩 0.2 万元.问该农场如何分配甲、乙两种蔬 菜的种植面积,可使农场的总收益最大,最大收益是多少万元? 18. (14 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°, AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (Ⅰ)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (Ⅱ)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= ,求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角) 的余弦值.

19. (14 分)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且有 a1=1,Sn+1=an+1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1.

*

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(1, ) ,且椭圆的左、右焦点分别为 F1

(﹣1,0) 、F2(1,0) ,过椭圆的右焦点 F2 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A、B 及 C、D. (1)求椭圆的方程; (2)求 (3)求|AB|+ + 的值; |CD|的最小值.

广东省东莞市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (B 卷) (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)命题“若 x>2015,则 x>0”的否命题是() A.若 x>2015,则 x≤0 B. 若 x≤0,则 x≤2015 C. 若 x≤2015,则 x≤0 D.若 x>0,则 x>2015 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 否命题是既否定题设又否定结论,从而得到答案. 解答: 解:命题“若 x>2015,则 x>0”的否命题是:若 x≤2015,则 x≤0, 故选:C. 点评: 要将命题的否定和否命题区分开来,本题属于基础题. 2. (5 分)若 a∈R,则“a=2”是“(a﹣2) (a+4)=0”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性,从而得到答案, 解答: 解:若 a=2,则(a﹣2) (a+4)=0,是充分条件, 若(a﹣2) (a+4)=0,则 a 不一定等于 2,是不必要条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,是一道基础题. 3. (5 分)在△ A BC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,a=4,A=45°,B=60°,则 b= () A.2 B. 2 C. 2 D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理可得 b= 解答: 解:由正弦定理可得:b= 故选:A. ,代入已知即可求值. = =2 .

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题. 4. (5 分)抛物线 y =16x 的准线方程为() A.y=4 B.y=﹣4 C.x=﹣4 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,则抛物线 y =16x 的准线方程即可得 到. 解答: 解:由抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ , 则抛物线 y =16x 的准线方程为 x=﹣4. 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程的求法,属于基础题.
2 2 2 2 2

D.x=4

5. (5 分)已知等比数列{an},a1=1,a3= ,则 a5=() A.± B. ﹣ C. D.±

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由等比数列的性质可得 a3 =a1?a5,代值计算可得. 解答: 解:∵等比数列{an},a1=1,a3= , ∴a3 =a1?a5,∴ 解得 a5= 故选:C 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题.
2

=1×a5,

6. (5 分)已知双曲线的渐近线方程是 y=± x,焦点在 x 轴上,焦距为 20,则它的方程为()

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设出双曲线的方程,求出渐近线方程,可得 a=2b,a +b =100,解方程即可得到双曲 线的方程. 解答: 解:设双曲线的方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,

2

2

则渐近线方程为 y=
2 2

x,

则有 = ,c=10,a +b =100, 解得 a =80,b =20, 即有双曲线的方程为 ﹣ =1.
2 2

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查运算能力,属于基础 题. 7. (5 分)已知等差数列{an},a1=1,a3=3,则数列{ A. B. C. }的前 10 项和为() D.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式可得 an,再利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1=1,a3=3, ∴1+2d=3,解得 d=1, ∴an=1+(n﹣1)=n. ∴ ∴数列{ = }的前 10 项和= , +…+ =1﹣ = .

故选:A. 点评: 本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于解 出题.
a b

8. (5 分)设 a>0,b>0.若 A.8 B. 4

是 3 与 3 的等比中项,则 C. 1

的最小值为() D.

考点: 基本不等式;等比数列的性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由题设条件中的等比关系得出 a+b=1,代入 等式就可得出其最小值 a b 解答: 解:因为 3 ?3 =3,所以 a+b=1, , 当且仅当 即 时“=”成立,

中,将其变为 2+

,利用基本不

故选择 B. 点评: 本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能 力.

9. (5 分) 如图, 空间四边形 OABC 中, 点 N 为 BC 中点,则 =()

, 点M在

上, 且 OM=2MA,

A.

B.

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由题意,把 , , 三个向量看作是基向量,由图形根据向量的线性运算,将

用三个基向量表示出来,即可得到答案,选出正确选项. 解答: 解:由题意 = = =﹣ =﹣ 又 ∴ + + + = , =﹣ + + + ﹣ + + = , + = + ﹣

故选 B.

点评: 本题考点是空间向量基本定理,考查了用向量表示几何的量,向量的线性运算,解 题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来,本题是向量的基础题. 10. (5 分)当双曲线 C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点 的椭圆称为双曲线 C 的“伴生椭圆”.则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论. 解答: 解:设双曲线 C 的方程为 ﹣ =1,

则 e=

=

,∴b =2a ,

2

2

∴双曲线 C 的“伴生椭圆”方程为:

+

=1,

∴“伴生椭圆”的离心率为

=

=



故选:D. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. (5 分)已知向量 =(2,﹣1,1) , =(t,1,﹣1) ,t∈R,若 ∥ ,则 t=﹣2.

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ∥ ,





解得 t=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

12. (5 分)不等式组

表示的平面区域的面积是 4.

考点: 专题: 分析: 解答: 由

二元一次不等式(组)与平面区域. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,根据图象即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 解得 ,即 A(2,2) ,



,解得

,即 B(2,﹣2) ,

则三角形的面积 S= 故答案为:4



点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的求解,比较基础. 13. (5 分)已知等差数列{an},a1=1,公差 d≠0,若 a1,a2,a6 成等比数列,则 a11=31. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意可得(1+d) =1×(1+5d) ,解得 d 由等差数列的通项公式可得. 解答: 解:∵等差数列{an},a1=1,公差 d≠0,且 a1,a2,a6 成等比数列, 2 2 ∴a2 =a1?a6,代入数据可得(1+d) =1×(1+5d) ,

解得 d=3,或 d=0(舍去) ∴a11=a1+10d=1+10×3=31 故答案为:31 点评: 本题考查等差数列的通项公式,涉及等比数列的通项公式,属基础题. 14. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x +2x+a≤0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是(1, +∞) . (用区间表示) 考点: 特称命题. 专题: 不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 根据题意,写出命题 p 的否定命题,利用 p 与¬p 真假相反得到¬p 为真命题,再应 用判别式求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵命题 p:?x∈R,x +2x+a≤0, 当命题 p 是假命题时, 2 命题¬p:?x∈R,x +2x+a>0 是真命题; 即△ =4﹣4a<0, ∴a>1; ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞) . 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题,也考查了二次不等式恒成立的问 题,是基础题目. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)在△ A BC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,cosB= 且 ac=35. (1)求△ ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由已知可先求 sinB 的值,由 ac=35,即可根据面积公式求 S△ ABC 的值. (2)由已知先求 c 的值,由余弦定理可求 b 的值,从而可求 cosC 的值,即可求出 C 的值. 解答: 解: (1)∵cosB= ,且 B∈(0,π) , ∴sinB= ∴S△ ABC= acsinB= (2)由 ac=35,a=7, 得 c=5,…(7 分) ∴b =a +c ﹣2accosB=49+25﹣2× ∴b=4 ,…(9 分)
2 2 2 2 2

= ,又 ac=35,…(3 分) =14.…(6 分)

=32,

∴cosC=

=

=

…(10 分)

又 C∈(0,π)…(11 分) ∴C= .…(12 分)

点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用,属 于基础题. 16. (12 分)设命题 p:实数 x 满足(x﹣4a) (x﹣a)<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 2 x ﹣4x+3≤0. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)将 a=1 代入,求出 q 为真时 x 的范围,从而求出 p 且 q 为真时 x 的范围; (2) q 是 p 的充分不必要条件,则 B?A,得到不等式组,解出即可. 解答: 解: (1)由(x﹣4a) (x﹣a)<0 得 a<x<4a, 当 a=1 时,1<x<4,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<4, 由 x ﹣4x+3≤0 得 1≤x≤3. 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 1≤x≤3, 若 p∧q 为真,则 1<x≤3,所以实数 x 的取值范围是(1,3], (2)设 A={x|a<x<4a},B={x|1≤x≤3}, q 是 p 的充分不必要条件,则 B?A, 所以 ? <a<1,所以实数 a 的取值范围是( ,1) .
2

点评: 本题考查了复合命题的判断,考查了充分必要条件问题,是一道基础题. 17. (14 分)某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜,总面积不超过 300 亩,总成本不超过 9 万元.甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩 600 元和每亩 200 元.假设种植这两个品种的蔬菜, 能为该农场带来的收益分别为每亩 0.3 万元和每亩 0.2 万元.问该农场如何分配甲、乙两种蔬 菜的种植面积,可使农场的总收益最大,最大收益是多少万元? 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为 x,y 亩,农场的总收益为 z 万元,建立目标函 数和约束条件,利用线性规划进行求解即可. 解答: 解:设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为 x,y 亩,农场的总收益为 z 万元,则…(1 分)

…①…(5 分)

目标函数为 z=0.3x+0.2y,…(6 分)

不等式组①等价于

可行域如图所示,…(9 分) 当目标函数对应的直线经过点 M 时, 目标函数 z 取最小值.…(10 分) 解方程组 得 M 的坐标(75,225)…(12 分) 所以 zmax=0.3×75+0.2×225=67.5.…(13 分) 答:分别种植甲乙两种蔬菜 75 亩和 225 亩,可使农场的总收益最大,最大收益为 67.5 万元. …(14 分)

点评: 本题主要考查线性规划的应用问题,根据条件建立约束条件,利用数形结合是解决 本题的关键. 18. (14 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°, AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (Ⅰ)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (Ⅱ)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= ,求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角) 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.

专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何. 分析: (Ⅰ)连接 AD1,易证 AMC1D1 为平行四边形,利用线面平行的判定定理即可证得 C1M∥平面 A1ADD1; (Ⅱ)作 CP⊥AB 于 P,以 C 为原点,CD 为 x 轴,CP 为 y 轴,CD1 为 z 轴建立空间坐标系, 易求 C1(﹣1,0, ,﹣ 的法向量 ) ,D1, (0,0, ) ,M( , ,0) , =(1,1,0) , =( ,

) ,设平面 C1D1M 的法向量 =(x1,y1,z1) ,可求得

=(0,2,1) ,而平面 ABCD

=(1,0,0) ,从而可求得平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值. C1D1,

解答: 解: (Ⅰ)连接 AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1 为四棱柱,∴CD 又 M 为 AB 的中点,∴AM=1. ∴CD∥AM,CD=AM, ∴AM C1D1,

∴AMC1D1 为平行四边形,∴AD1∥MC1,又 MC1?平面 A1ADD1,AD1?平面 A1ADD1, ∴C1M∥平面 A1ADD1; (Ⅱ)解法一:∵AB∥A1B1,A1B1∥C1D1, ∴面 D1C1M 与 ABC1D1 共面, 作 CN⊥AB,连接 D1N,则∠D1NC 即为所求二面角, 在 ABCD 中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°, ∴CN= , ,CN= ,

在 Rt△ D1CN 中,CD1= ∴D1N=

∴cos∠D1CN=

=

=

解法二:作 CP⊥AB 于 P,以 C 为原点,CD 为 x 轴,CP 为 y 轴,CD1 为 z 轴建立空间坐标 系

则 C1(﹣1,0,

) ,D1, (0,0,

) ,M( ,

,0) ,



=(1,0,0) ,

=(﹣ ,

,﹣

) ,

设平面 C1D1M 的法向量 =(x1,y1,z1) ,



,∴

=(0,2,1) .

显然平面 ABCD 的法向量

=(0,0,1) ,

cos<



>|=

=

=



显然二面角为锐角, ∴平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为 .

点评: 本题考查用空间向量求平面间的夹角,主要考查空间点、线、面位置关系,二面角 等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标运算,推理论证能力和运算求解能力. 19. (14 分)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且有 a1=1,Sn+1=an+1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1.
*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用当 n=1 时,a2=S1+1=a1+1;当 n≥2 时,Sn+1=an+1(n∈N ) ,Sn﹣1+1=an,两 式相减得 an+1=2an,再利用等比数列的通项公式即可得出. (2)由(1)知 ,可得 bn= = ,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和
*

公式,即可得出. 解答: (1)解:当 n=1 时,a2=S1+1=a1+1=2; * 当 n≥2 时,Sn+1=an+1(n∈N ) ,Sn﹣1+1=an, 两式相减得,an=an+1﹣an,即 an+1=2an, 又 a2=2a1, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴ . ,∴bn= , = ,

(2)证明:由(1)知 ∴Tn= +…+



=

+…+

+





=

+

+…+





∴Tn=

…+



=



=



∵Tn+1﹣Tn= ∴Tn+1>Tn, ∴Tn 是递增的,又 T1= , ∴ ≤Tn<1.

=

>0,

点评: 本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式及其前 n 项和公式、递推式的意 义、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(1, ) ,且椭圆的左、右焦点分别为 F1

(﹣1,0) 、F2(1,0) ,过椭圆的右焦点 F2 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A、B 及 C、D. (1)求椭圆的方程; (2)求 (3)求|AB|+ + 的值; |CD|的最小值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过椭圆的定义直接计算可得结论; (2)椭圆的右焦点为 F2(1,0) ,分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论即可; (3)通过 + = ,利用基本不等式计算即得结论.

解答: 解: (1)由椭圆的定义可知: 2a=|MF1|+|MF2|= 由 c=1 得:b= , + =1; + =4,∴a=2,

故椭圆的方程为:

(2)椭圆的右焦点为 F2(1,0) ,分两种情况讨论如下: 1°.当直线 AB 的斜率不存在时,AB:x=1,则 CD:y=0. 此时|AB|=3,|CD|=4,∴ + = ;

2°.当直线 AB 的斜率存在时,设 AB:y=k(x﹣1) (k≠0) ,则 CD:y=﹣ (x﹣1) . 又设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立方程组
2


2 2 2

消去 y 并化简得: (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 由韦达定理可知:x1+x2= ∴|AB|= = ? ,x1?x2= ,

=

?

=





+

=

=



综上所述,

+

为定值 +

; = , + )

(3)解:由(II)知 ∴|AB|+ |CD|=

(|AB|+

|CD|) (

=



+

+







+2

)=



当且仅当 ∴|AB|+

=

,即|AB|=4、|CD|=3 时取等号, .

|CD|的最小值为

点评: 本题考查椭圆与直线方程,利用用韦达定理是解题的关键,需要较强的计算能力, 属于中档题.


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2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)(b卷)解析版

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广东省东莞市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(B卷)_含答案

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