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安徽省宿松县凉亭中学2016届上学期高三第三次月考数学试卷(文)


2016 届安徽省宿松县凉亭中学高三上学期第三次月考 文科数学试题
说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)满分 150 分,考试时间 120 分 钟. 2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ卷的答题表(答题卡)中. 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四

个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

) C. ? 2i ) D. 2i

A. ?2

B. 2

2.命题“ ?x0 ? (0, ?), lnx 0 ? x0 ?1 ”的否定是( A. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ? 1 C. ?x ? (0, ?),lnx ? x ? 1 3.已知 a ? 0.2 A. a ? b ? c
0.3

B. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ? 1 D. ?x ? (0, ?),lnx ? x ? 1

, b ? log0.2 3 , c ? log0.2 B. a ? c ? b

4 ,则 a, b, c 的大小是(
D. c ? b ? a )



C. b ? c ? a

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 63 ,则 M 处的条件 为( A. k ? 64? B. k ? 64? C. k ? 32? D. k ? 32?

5.将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移

? 个单位,所得到 8


的函数图象关于 y 轴对称,则 ? 的一个可能取值为( A.

3? ? ? B. C. 0 D. ? 4 4 4 6.设 Sn 是公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 0 ,
若 S5 ? S9 ,则当 Sn 最大时, n ? ( A. 6 B. 7 C. 10 ) D. 9

7.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m.n,有下列四个命题:

第 1 页

①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 )

②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n .

C.2

D.3

?x ? y ? 4 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
A. 8 B. 4 C. 2 D. ?1



9.设三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱垂直于底面 AB ? AC ? 2, ?BAC ? 90?, AA 1 ?2 2, 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( A. 4? B. 8? C. 12? )

D. 16?

10.在 ?ABC 中 AB ? AC ? AB ? AC , AB ? 3, AC ? 4 则 BC 在 CA 方向上的 投影是( A. 4 ) B. 3 C. ?4 D. 5

??? ? ????

??? ? ????

??? ?

??? ?

11.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O , F ? 2 5 ,0 为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足

?

?

OP ? OF 且 PF ? 4 ,则椭圆 C 的方程为(
x2 y2 ? ?1 A. 25 5
C.


P

y

x2 y2 ? ?1 B. 30 10
D.

F

O

x

x2 y2 ? ?1 36 16

x2 y2 ? ?1 45 25

12 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f '? x? , 当 x ? 0 时

f ?? x? ?

f ? x? 1 1 1 1 ? 0 ,若 a ? f ( ) , b ? ?2 f (?2) , c ? ( ln ) f ( ln ) ,则 a, b, c 的 2 2 2 2 x
) B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

大小关系是( A. a ? b ? c

第 2 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在 ?ABC 中, AB ? 则 ?C ? _______. 14.圆心在直线 x ? 2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则该圆的标准方程 _______. 15 . 函 数 y ? l o g x ? 3) ? 1a( ? a ( 且 a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 0

3 , AC ? 1 , ?B ? 30? , ?ABC 的面积为

3 , 2

mx ? ny ? 1 ? 0 ,上,其中 mn ? 0 ,则

1 1 ? 的最小值为_______ m n

16.设 f ( x) ? ln x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0,4) 上有三个零点,则实数 a 的取 值范围是_______.

三.解答题:本大题共 5 小题,每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = ( I ) 求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量(单位: 度) , 以 ?160,180? , ?180, 200? ,?200, 220? ,

9 . 2

?220, 240? , ?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分布直方图如图.
(I)求直方图中 x 的值; (II)求月平均用电量的众数和中位数;

第 3 页

(III)在月平均用电量为 ? 220, 240? , ? 240, 260? , ? 260, 280? , ? 280,300? 的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取多少 户?
19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是 ? O 的直径,点 C 是 ? O 上的动点, PA 垂直于 ? O 所在的 平面 ABC ( I ) 证明:平面 PAC 丄平面 PBC ; (II) 设 PA ?

3, AC ? 1 ,求三棱锥 A ? PBC 的高.

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? (y?1)2 ? 4 和 圆 C2 : ( x ? 4)2 ? (y? 5)2 ? 4 (I)若直线过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线的方程; (II) 设 P 为平面直角坐标系上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对相互垂直的直线

l1和l2 ,它们分别与圆 C1和C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的
弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 ( e 是自然对数的底数), h( x) ? 1 ? x ? x ln x . ex

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程; (Ⅱ)求 h( x) 的最大值; (III)设 g ( x) ? xf '( x) ,其中 f '( x ) 为 f ( x) 的导函数. 证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e .
?2

请在第 22.23.24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分,解答时请写清题号.

第 4 页

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图 AB 是 ? O 直径,AC 是 ? O 切线,BC 交 ? O 与点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是 ? O 切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 x? t ? ? 2 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 直线的参数方程是 ? (是参数) , 以原点 O 2 ?y ? t?4 2 ? 2 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos( ? ? (Ⅰ)判断直线与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

?
4

).

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

第 5 页

文科数学试题答案 一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D

C

A

B
第Ⅱ卷

B

B

D

A

D

C

C

D

( 非选择题,共 90 分)

二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 60 0 14. (x - 2)2 + (y+3)2 = 5 15. 3 + 2 2 16. (

ln 2 1 , ) 2 e

三、解答题: 17.解:(I)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得 a1 ? 2d ? 2 , 3a1 ? 得 a1 + 2d = 2, a1 + d = 即 an =

3? 2 9 d ? .化简 2 2

3 1 n- 1 , 解得 a1 =1,d = , 故通项公式 an =1+ , 2 2 2

n +1 . ???6 分 2 15+1 b = 8 .设 {bn } 的公比为 q,则 q 3 = 4 = 8 ,从而 q = 2 . 2 b1

(II)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 =

故 {bn } 的前 n 项和 Tn =

b1 (1 - q n ) = 2n - 1 . ???12 分 1- q

18. 解 : ( I ) 由 ? 0 . 0 0? 2

0.00 ?9 5 0? .011 0 ? x. 0 ? 125
??3 分

得 : ? 0.0 00 25 ? 0 5? 0 .?

20

1

x ? 0 . 0 0 7所以直方图中 5 x 的值 0.0075 .
(II)月平均用电量的众数是

220 ? 240 ? 230 ; 2

因为 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.45 ? 0.5 , 所以月平均用电量的中位数在 ? 220, 240? 内,设中位数为 a , 由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.0125? ? a ? 220? ? 0.5 得:

a ? 224 ,所以月平均用电量的中位数是 224 .

?7 分

( III)月平均用电量为 ? 220, 240? 的用户有 0.0125 ? 20 ?100 ? 25 户,月平均用电量为

?240, 260? 的 用 户 有 0.0075 ? 20 ?100 ? 15 户 , 月 平 均 用 电 量 为 ?260, 280? 的 用 户 有

第 6 页

0.005 ? 20 ?100 ? 10 户, 月平均用电量为 ? 280,300? 的用户有 0.0025 ? 20 ?100 ? 5 户, 抽
取比例 ?

11 1 ? , 25 ? 15 ? 10 ? 5 5

所以月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取 25 ? 19.解:

1 ? 5 户. 5

----12 分

20.解: (I) 直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0 ---------------------------6 分 (II)设点 p 的坐标为(m,n),直线 l1 , l2 的方程分别设为:

1 m 1 y ? n ? k (x ? m), y? n ? ? (x ? m) , kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? ? 0 k k k

4 m ? ?5? n? ?3k ? 1 ? n ? km k k ? 由题意得 2 1 k ?1 ?1 k2
化简得 (2 ? m? n) k ? m? n ? 3, 或(m-n+8)k=m+n-5 关于 k 的方程有无穷多解,

? 2-m ? n ? 0 ?m ? n ? 8 ? 0 5 1 3 13 或? ,得点 p 的坐标为 ( , ? )或(- , ) --12 分 ? 2 2 2 2 ?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 5 ? 0
ln x ? 1 1 ,得 f (1) ? , x e e

21.解:(Ⅰ)由 f ( x ) ?

???????1 分

第 7 页

1 ? x ? x ln x ,所以 k ? f '(1) ? 0 ????3 分 xe x 1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? . e f '( x) ?

???4 分 ?5 分

(Ⅱ) h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .所以 h '( x) ? ? ln x ? 2 .

令 h '( x) ? 0 得, x ? e?2 .因此当 x ? (0, e?2 ) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ??) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减. ?????7 分

所 以 h( x) 在 x ? e?2 处 取 得 极 大 值 , 也 是 最 大 值 . h( x) 的 最 大 值 为

h(e?2 ) ? 1 ? e?2 . ????8 分
(Ⅲ)证明:因为 g ( x) ? xf '( x) ,所以 g ( x ) ? 等价于

1 ? x ? x ln x , x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 x e

1 ? x ? x ln x ? ex (1 ? e?2 ) .

????????????9 分

由(Ⅱ)知 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e ?2.
x 只需证明 x ? 0 时, e ? 1 成立,这显然成立.

?10 分

所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? e x (1 ? e?2 ) ,因此对任意 x ? 0 g ( x) ? 1 ? e?2 .?12 分 22.解:(Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB,

∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°, ∴DE 是圆 O 的切线. ???????????5 分
( Ⅱ ) 设 CE=1 , AE= x , 由 已 知 得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x , 由 射 影 定 理 可 得 ,
2

AE 2 ? CE?BE ,∴ x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°. ???10 分
23.解:(Ⅰ)直线的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,曲线 C 的直角坐标系下的方程为

(x ?

2 2 2 2 2 2 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 ) ? (y ? ) ? 1 ,圆心 ( 2 2 2 2

第 8 页

d?

5 2 2

? 5 ? 1 所以直线与曲线 C 的位置关系为相离.?5 分

(Ⅱ)设 M (

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) , 2 2
2 sin(? ?

则 x ? y ? cos ? ? sin ? ?

?
4

? )? ? ? ? 2, 2 ? .??10 分

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1,等价于

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 , ? 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |

2 ? x ? 2} . 3

??????????5 分

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a ,所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积为 3

2 ( a ? 1) 2 . 3 2 2 由题设得 ( a ? 1) >6,解得 a ? 2 .所以 a 的取值范围为(2,+∞). 3

?10 分

第 9 页


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