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河北省邢台一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省邢台一中高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1) ,离心率 ,则该椭圆的标准程为( )

A.

B.

C.

>D.

2.设命题 p 和命题 q,“p∨q”的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真

)

3.入射光线沿直线 x﹣2y+3=0 射向直线 l:y=x 被直线反射后的光线所在的方程是( A.x+2y﹣3=0 B.x+2y+3=0 C.2x﹣y﹣3=0 D.2x﹣y+3=0 4.下列说法正确的是( ) A.命题“若 x2﹣5x+6=0,则 x=2”的逆命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0” B.命题“若 x=2,则 x2﹣5x+6=0”的否命题是“若 x=2,则 x2﹣5x+6≠0” C.已知 a,b∈R,命题“若 a>b,则|a|>|b|”的逆否命题是真命题 D.若 a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件 5.已知两个平面垂直,下列命题中: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. ) 其中正确命题的个数有( A.1 B.2 C.3 D.4

)

6.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2=﹣2y+3,直线 l 经过点(1,0)且与 ) 直线 x﹣y+1=0 垂直,若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,则△ OAB 的面积为( A.1 B. C.2 D.2

7.已知椭圆

,则以点

为中点的弦所在直线的方程为(

)

A.8x﹣6y﹣7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y﹣12=0 D.4x﹣3y=0

8.设 F1,F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 )

PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

9.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x2+y2=λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范 ) 围是( A.{2}∪(4,+∞) B. C.{2,4} D. (2,+∞) (4,+∞) 10.四面体 ABCD 中,已知 AB=CD= ) 的外接球的表面积为( A.25π B.45π C.50π D.100π 11.下列命题正确的个数是( ) ,AC=BD= ,AD=BC= ,则四面体 ABCD

①命题“?x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”; 2 2

②“函数 f(x)=cos ax﹣sin ax 的最小正周期为 π”是“a=1”的必要不充分条件; ③x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立?(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ? <0”. A.1 B.2 C.3 D.4 12.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形, ) 其中俯视图中椭圆的离心率为(

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 被直线 x+y+3=0 所截得的弦长 为 4,则圆 C 的方程为__________.

14. F2 是椭圆 设 F1、 的面积等于__________.

的两个焦点, 点 P 在椭圆上, 且满足

, 则△ F1PF2

15.已知直线 ax+by+c=0 与圆:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且 =__________.

,则

16.已知椭圆:

,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,

则|

|+|

|的最大值为__________.

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 2 17.设条件 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a≠0) ;条件 q:实数 x 满足 x2+2x﹣8>0,且命 题“若 p,则 q”的逆否命题为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 棱 AA1、CC1 上,且 AE=C1F=2. (1)求三棱锥 A1﹣B1C1F 的体积; (2)求异面直线 BE 与 A1F 所成的角的大小.

,AB=AC=2,AA1=6,点 E、F 分别在

19.已知圆 O:x2+y2=1 与圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 相切于 M 点,求以 M 为圆心,且与圆 C 的半径相等的圆的标准方程. 20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,且经过 M(2,1) ,N(2 点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知定点 Q(0,2) ,P 点为椭圆上的动点,求|PQ|最大值及相应的 P 点坐标. 21.已知⊙M:x2+(y﹣2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. (1)若|AB|= ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程; ,0)两

(2)求证:直线 AB 恒过定点.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,方向向量为

的直线 l 经过椭圆

的右焦

点 F,与椭圆相交于 A、B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 ,求直线 l 的方程; (2)若 k>0,P(6,0)且△ PAB 的面积为 6,求 k 的值; (3)当 k(k≠0)变化时,是否存在一点 C(x0,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0, 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

2015-2016 学年河北省邢台一中高二(上)期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1) ,离心率 ,则该椭圆的标准程为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意得,椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=1,e= = ,从而可得 a=2,b= 出椭圆的标准方程. 【解答】解:由题意得,椭圆的焦点在 y 轴上, 且 c=1,e= = , 故 a=2,b= , , ,从而写

则椭圆的标准方程为

故选 A. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法,属于基础题. 2.设命题 p 和命题 q,“p∨q”的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 )

【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】由于“p∨q”的否定是真命题,可得 p∨q 是假命题,即可判断出 p 与 q 的真假. 【解答】解:∵“p∨q”的否定是真命题,∴p∨q 是假命题,因此 p 与 q 都是假命题. 故选:B. 【点评】本题考查了复合命题的真假判断方法,属于基础题. 3.入射光线沿直线 x﹣2y+3=0 射向直线 l:y=x 被直线反射后的光线所在的方程是( A.x+2y﹣3=0 B.x+2y+3=0 C.2x﹣y﹣3=0 D.2x﹣y+3=0 )

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【分析】光线关于直线对称,y=x 是对称轴,直线 x﹣2y+3=0 在 x、y 轴上的截距互换,即可 求解. 【解答】解:∵入射光线与反射光线关于直线 l:y=x 对称

∴反射光线的方程为 y﹣2x+3=0,即 2x﹣y﹣3=0 故选 C. 【点评】光线关于直线对称,一般用到直线到直线的角的公式,和求直线的交点坐标,解答 即可.本题是一种简洁解法. 4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣5x+6=0,则 x=2”的逆命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0” B.命题“若 x=2,则 x2﹣5x+6=0”的否命题是“若 x=2,则 x2﹣5x+6≠0” C.已知 a,b∈R,命题“若 a>b,则|a|>|b|”的逆否命题是真命题 D.若 a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;定义法;简易逻辑. 【分析】A,B,D 利用定义可直接判断; C 利用原命题和逆否命题为等价命题可判断; 【解答】解:A 命题“若 x2﹣5x+6=0,则 x=2”的逆命题是“若 x=2,则 x2﹣5x+6=0”,故错误; 命题“若 x=2,则 x2﹣5x+6=0”的否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0”,故错误; 命题“若 a>b,则|a|>|b|”是假命题,故逆否命题也是假命题; ∵ab≠0, ∴a≠0 且 b≠0,故正确. 故选 D. 【点评】考查了四种命题和命题间的等价关系,属于基础题型,应牢记. 5.已知两个平面垂直,下列命题中: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. ) 其中正确命题的个数有( A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. ②、③、 【分析】 利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系, 对①、 ④四个选项逐一判断即可 【解答】解:对于①,当两个平面垂直时,一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一 个平面内的任意一条直线,故①错误; 对于②,设平面 α∩平面 β=m,n?α,l?β, ∵平面 α⊥平面 β, ∴当 l⊥m 时,必有 l⊥α,而 n?α, ∴l⊥n, 而在平面 β 内与 l 平行的直线有无数条,这些直线均与 n 垂直,故一个平面内的已知直线必垂 直于另一个平面内的无数条直线,即②正确; 对于③,当两个平面垂直时,?一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面,故③错误; 对于④,当两个平面垂直时,?过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一 个平面,这是面面垂直的性质定理,故④正确;

故选 B. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、 直线与平面的位置关系,考查空间想象能力,属于中档题 6.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2=﹣2y+3,直线 l 经过点(1,0)且与 ) 直线 x﹣y+1=0 垂直,若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,则△ OAB 的面积为( A.1 B. C.2 D.2 【考点】直线与圆的位置关系;三角形的面积公式. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】将圆 C 化成标准方程,得到圆心为 C(0,﹣1) 、半径为 2.由垂直的两直线斜率的 关系算出直线 l 的斜率为 1,可得 l 的方程为 x+y﹣1=0,进而算出圆心 C 到 l 的距离 d= , 再根据垂径定理算出 l 被圆 C 截得的弦长|AB|=2 .最后由点到直线的距离公式算出原点 O 到 AB 的距离,根据三角形的面积公式即可算出△ OAB 的面积. 【解答】解:∵圆 C 的方程为 x2+y2=﹣2y+3,∴化成标准方程,可得 x2+(y+1)2=4, 由此可得圆的圆心为 C(0,﹣1) 、半径为 2. ∵直线 x﹣y+1=0 的斜率为 1 且与直线 l 垂直,直线 l 经过点(1,0) , ∴直线 l 的斜率为 k=﹣1,可得直线 l 的方程为 y=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣1=0. 因此,圆心 C 到直线 l 的距离 d= ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|=2 又∵坐标原点 O 到 AB 的距离为 d'= ∴△OAB 的面积为 S= |AB|×d'= 故选:A = =2 = , . =2 ,

=1.

【点评】本题给出满足条件的直线与圆,求直线被圆截得的弦 AB 与原点 O 构成三角形的面 积.着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识, 属于中档题.

7.已知椭圆

,则以点

为中点的弦所在直线的方程为(

)

A.8x﹣6y﹣7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y﹣12=0 D.4x﹣3y=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;方案型;转化思想;设而不求法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设以点 求出结果. 【解答】解:设以点 则 x1+x2=4,y1+y2=3, 分别把 M(x1,y1) ,N(x2,y2)代入椭圆方程 , 为中点的弦与椭圆交于 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 为中点的弦与椭圆交于 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,利用点差法能

可得



再相减可得(x1+x2) (x1﹣x2)+ ∴4(x1﹣x2)+ ∴k= (y1﹣y2)=0,

(y1+y2) (y1﹣y2)=0,

=﹣ ,

∴点

为中点的弦所在直线方程为 y﹣ =﹣ (x﹣2) ,

整理,得:3x+4y﹣12=0. 故选:C. 【点评】本题考查直线方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,是中档题,解题时 要认真审题,注意点差法的合理运用.

8.设 F1,F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 )

PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件推导出 PF2⊥x 轴,PF2= 椭圆的离心率. 【解答】解:∵线段 PF1 的中点在 y 轴上 设 P 的横坐标为 x,F1(﹣c,0) , ∴﹣c+x=0,∴x=c; ∴P 与 F2 的横坐标相等,∴PF2⊥x 轴, ,PF2= ,从而得到 = ,由此能求出

∵∠PF1F2=30°, ∴PF2= , ,

∵PF1+PF2=2a,∴PF2= tan∠PF1F2= ∴ = = =



,∴e= =



故选:A. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆的简单性 质的灵活运用. 9.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x2+y2=λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范 ) 围是( A.{2}∪(4,+∞) B. C.{2,4} D. (2,+∞) (4,+∞) 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x2+y2=λ 的图象,抓住两个关键点,当圆 O 与 两射线相切时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB,由三角形 AOB 为等 腰直角三角形,利用三线合一得到 OC 为斜边 AB 的一半,利用勾股定理求出斜边,即可求出 OC 的长,平方即可确定出此时 λ 的值;当圆 O 半径为 2 时,两函数图象有 3 个公共点,半径 大于 2 时,恰好有 2 个公共点,即半径大于 2 时,满足题意,求出此时 λ 的范围,即可确定出 所有满足题意 λ 的范围. 【解答】解:根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x2+y2=λ 的图象,如图所示, 当 AB 与圆 O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB, ∵OA=OB=2,∠AOB=90°, ∴根据勾股定理得:AB=2 , ∴OC= AB= ,此时 λ=OC2=2;

当圆 O 半径大于 2,即 λ>4 时,两函数图象恰好有两个不同的公共点, 综上,实数 λ 的取值范围是{2}∪(4,+∞) . 故选 A

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想 是解本题的关键. 10.四面体 ABCD 中,已知 AB=CD= ) 的外接球的表面积为( A.25π B.45π C.50π D.100π ,AC=BD= ,AD=BC= ,则四面体 ABCD

【考点】球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】将四面体补成长方体,通过求解长方体的对角线就是球的直径,然后求解外接球的 表面积. 【解答】解:由题意可采用割补法,考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形, 所以可在其每个面补上一个以 , , 为三边的三角形作为底面,且以分别 x,y,z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为 x,y,z 的长方体,并且 x2+y2=29,x2+z2=34,y2+z2=37, 则有(2R)2=x2+y2+z2=50(R 为球的半径) ,得 R2= ,

所以球的表面积为 S=4πR2=50π. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法,割补法的应用,判断外接球的直径是长 方体的对角线的长是解题的关键之一. 11.下列命题正确的个数是( ) 2 ①命题“?x0∈R,x0 +1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”; ②“函数 f(x)=cos2ax﹣sin2ax 的最小正周期为 π”是“a=1”的必要不充分条件; ③x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立?(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ? <0”. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】 (1)根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确; (2)化简三角函数,利用三角函数的最小正周期判断; (3)用特例法验证(3)是否正确; (4)根据向量夹角为 π 时,向量的数量积小于 0,来判断(4)是否正确. 【解答】解: (1)根据特称命题的否定是全称命题, ∴(1)正确; (2)f(x)=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax,最小正周期是 =π?a=±1,

∴(2)正确; (3)例 a=2 时,x2+2x≥2x 在 x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<2xmax=4, ∴(3)不正确; (4)∵ ,当 θ=π 时, ? <0. ∴(4)错误. ∴正确的命题是(1) (2) . 故选:B

【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的 最小正周期及恒成立问题. 12.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形, ) 其中俯视图中椭圆的离心率为(

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;空间位置关系与距离. 【分析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长,再根据椭圆的性质 a2﹣ b2=c2,和离心率公式 e= ,计算即可. 【解答】解:设正视图正方形的边长为 m,根据正视图与俯视图的长相等,得到俯视图中椭 圆的短轴长 2b=m, 俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径 m,得到俯视图中椭圆的长轴长 2a= m, 则椭圆的焦距 c= 根据离心率公式得,e= = 故选:C. 【点评】本题主要考查了椭圆的离心率公式,以及三视图的问题,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 被直线 x+y+3=0 所截得的弦长 为 4,则圆 C 的方程为(x+1)2+y2=6. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 欲求圆的方程则先求出圆心和半径, 根据圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点, 求出圆心;圆 C 被直线 x+y+3=0 所截得的弦长为 4,求出半径,即可求出圆 C 的方程. 【解答】解:令 y=0 得 x=﹣1,所以直线 x﹣y+1=0,与 x 轴的交点为(﹣1,0) 所以圆心到直线的距离等于 = , = m,

因为圆 C 被直线 x+y+3=0 所截得的弦长为 4, = 所以 r= 所以圆 C 的方程为(x+1)2+y2=6;

故答案为: (x+1)2+y2=6. 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,以及圆的标准方程等基础知识,属于容易题.

14. F2 是椭圆 设 F1、

的两个焦点, 点 P 在椭圆上, 且满足

, 则△ F1PF2

的面积等于 1. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4,又|F1F2|=2 得|PF1|?|PF2|,从而可求得△ F1PF2 的面积. 【解答】解:∵P 是椭圆 上的一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,∠F1PF2= , ,∠F1PF2= ,利用余弦定理可求

∴|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 , 在△ F1PF2 中,由勾股定理得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2﹣2|PF1|?|PF2| =16﹣2|PF1|?|PF2|=16﹣2|PF1|?|PF2|=12, ∴|PF1|?|PF2|=2, ∴S△ F1PF2= |PF1|?|PF2|=1 故答案为:1 【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程,考查勾股定理与三角形的面积,属于中档题. 15.已知直线 ax+by+c=0 与圆:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且

,则

=



【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;综合题. 【分析】直线与圆有两个交点,知道弦长、半径,不难确定∠AOB 的大小,即可求得 的值. 【解答】解:依题意可知角∠AOB 的一半的正弦值, 即 sin 所以:∠AOB=120° 则 ? =1×1×cos120°= . . =

?

故答案为:

【点评】初看题目,会被直线方程所困惑,然而看到题目后面,发现本题容易解答.本题考 查平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系.是基础题.

16.已知椭圆:

,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, .

则|

|+|

|的最大值为

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆方程求得椭圆的半焦距,结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12,再求出 当 AB 垂直于 x 轴时的最小值,则|AF2|+|BF2|的最大值可求. 【解答】解:由椭圆 ,得 a=3,b=2,c= = ,

由椭圆的定义可得:|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12, ∵当且仅当 AB⊥x 轴时,|AB|取得最小值, 把 x=﹣ 代入 ,解得:y=± ,

∴|AB|min= , ∴|AF2|+|BF2|的最大值为 12﹣ = 故答案为: . .

【点评】本题考查了椭圆的定义,考查了椭圆的简单几何性质,关键是明确当 AB 垂直于 x 轴时焦点弦最短,是基础题. 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 2 17.设条件 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a≠0) ;条件 q:实数 x 满足 x2+2x﹣8>0,且命 题“若 p,则 q”的逆否命题为真命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假.

【专题】函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别求出关于集合 A,B 的 x 的范围,结合“若 p,则 q”为真命题,得到 p 是 q 的充 分条件,解出 a 的范围即可. 【解答】解:设 A={x|x2﹣4ax+3a2<0} 当 a>0 时,A=(a,3a) ; 当 a<0 时,A=(3a,a) , 2 B={x|x +2x﹣8>0}={x|x<﹣4,或 x>2} 由于命题“若 p,则 q”的逆否命题为真命题, 所以命题“若 p,则 q”为真命题, ∴p 是 q 的充分条件, ∴A?B, ∴a≥2 或 a≤﹣4, 所以实数 a 的取值范围是 a≥2 或 a≤﹣4. 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查集合的包含关系,是一道基础题.

18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 棱 AA1、CC1 上,且 AE=C1F=2. (1)求三棱锥 A1﹣B1C1F 的体积; (2)求异面直线 BE 与 A1F 所成的角的大小.

,AB=AC=2,AA1=6,点 E、F 分别在

【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)利用直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中的性质,及三棱锥 A1﹣B1C1F 的体积 = = 即可得出.

(2)连接 EC,∵A1E∥FC,A1E=FC=4,可得四边形 A1ECF 是平行四边形,利用其性质可得 A1C∥EC,可得∠BEC 是异面直线 A1F 与 BE 所成的角或其补角,在△ BCE 中求出即可. 【解答】解: (1)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,FC1⊥平面 A1B1C1,故 FC1=2 是三棱锥 A1 ﹣B1C1F 的高. 而直角三角形的 = = = =2. = .

∴三棱锥 A1﹣B1C1F 的体积=

(2)连接 EC,∵A1E∥FC,A1E=FC=4,

∴四边形 A1ECF 是平行四边形, ∴A1C∥EC, ∴∠BEC 是异面直线 A1F 与 BE 所成的角或其补角. ∵AE⊥AB,AE⊥AC,AC⊥AB,AE=AB=AC=2,∴EC=EB=BC=2 ∴△BCE 是等边三角形. ∴∠BEC=60°,即为异面直线 BE 与 A1F 所成的角.



【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、 异面直线所成的角是解题的关键. 19.已知圆 O:x2+y2=1 与圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 相切于 M 点,求以 M 为圆心,且与圆 C 的半径相等的圆的标准方程. 【考点】圆与圆的位置关系及其判定;圆的标准方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】利用圆 O:x2+y2=1 与圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 相切,求出 m,设 M(x,y) ,由 题知, =4 或 =6 ,求出 M 的坐标,即可求以 M 为圆心,且与圆 C 的半径相等的圆 的标准方程. 【解答】解:圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0,可化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25﹣m ∵圆 O:x2+y2=1 与圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 相切, ∴|OC|=1+ =5 或|OC|= ﹣1=5

∴m=9 或 m=﹣11 ∴圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=16 或 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=36 设 M(x,y) ,由题知, =4 或 =6 , 故 M( , )或 M(﹣ ,﹣ ) 故所求圆的方程为(x﹣ )2+(y﹣ )2=16 或(x+ )2+(y+ )2=36. 【点评】本题考查圆的方程,考查圆与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题. 20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,且经过 M(2,1) ,N(2 点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知定点 Q(0,2) ,P 点为椭圆上的动点,求|PQ|最大值及相应的 P 点坐标. ,0)两

【考点】梅涅劳斯定理;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设椭圆 E 的方程为:mx2+ny2=1,m>0,n>0,m≠n.利用方程组求解即可. (2)设 P(x,y)为椭圆上任意一点,由 Q(0,2) ,求出|PQ|的最大值,推出结果. 2 2 【解答】解: (1)设椭圆 E 的方程为:mx +ny =1,m>0,n>0,m≠n. 将 M(2,1) ,N(2 ,0)代入椭圆 E 的方程,得 …

解得 m= ,n= ,所以椭圆 E 的方程为



(2)设 P(x,y)为椭圆上任意一点,由 Q(0,2) , 得 ∵ ∴ 时, , ,

此时 P 点坐标为 【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,考查分析问题解决问 题的能力. 21.已知⊙M:x2+(y﹣2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. (1)若|AB|= ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程;

(2)求证:直线 AB 恒过定点. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)问利用平面几何的知识,根据勾股定理、射影定理可以解决; (2)问设点 Q 的坐标,由几何性质,可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上,线段 AB 是此 圆与已知圆的公共弦,即可得出结论. 【解答】解: (1)设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,得|MP|= ∵|MQ|= ,∴|MQ|=3. =3,得 x=± , , = ,

设 Q(x,0) ,而点 M(0,2) ,由

则 Q 点的坐标为( ,0)或(﹣ ,0) . MQ 2x+ y 2 =0 从而直线 的方程为 ﹣ 或 2x﹣ y+2 =0. (2)证明:设点 Q(q,0) ,由几何性质, 可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方程为 x(x﹣q)+y(y﹣2)=0, 而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦, 即为 qx﹣2y+3=0,

∴直线 AB 恒过定点(0,

) .

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查直线恒过定点,考查平面几何的知识,考查学 生的计算能力,属于中档题.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,方向向量为

的直线 l 经过椭圆

的右焦

点 F,与椭圆相交于 A、B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 ,求直线 l 的方程; (2)若 k>0,P(6,0)且△ PAB 的面积为 6,求 k 的值; (3)当 k(k≠0)变化时,是否存在一点 C(x0,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0, 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;直线的一般式方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)根据椭圆方程,算出右焦点 F 坐标为(3,0) ,结合椭圆上位于 x 轴上方的点 A 满足 算出 A(0,3) ,由此可得直线 l 的斜率 k=﹣1,即可求出直线 l 的方程; (2)设直线 l:y=k(x﹣3) ,与椭圆方程联解消去 y 得(1+2k2)y2+6ky﹣9k2=0,由根与系数 的关系算出 AB 的纵坐标之差的绝对值关于 k 的式子,再根据△ PAB 的面积为 6 建立关于 k 的方程,化简整理得 k4﹣k2﹣2=0,解之得 k=1(舍负) ; (3)设直线 l 方程为 y=k(x﹣3)与椭圆方程联解消去 y 得(1+2k2)x2﹣12k2x+18(k2﹣1)

=0,由根与系数的关系得到

,然后化简 kAD+kBD=0 为关于 x1、y1、

x2、y2 和 x0 的等式,化简整理得 2kx1x2﹣k(x0+3) (x1+x2)+6kx0=0,再将前面算出的 x1+x2 和 x1x2 的表达式代入化简可得 x0=6,由此可得存在一点 C(6,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜 率之和为 0. 【解答】解 (1)∵椭圆方程为 ∴a2=18,b2=9,得 c=

=3,可得 F(3,0)…

∵ 且点 A 在 x 轴的上方,… ∴可得 A 在椭圆上且 ,得 A 是椭圆的上顶点,坐标为 A(0,3) 由此可得 l 的斜率 k=﹣1, 因此,直线 l 的方程为: … ,化简得 x+y﹣3=0…

(2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,直线 l:y=k(x﹣3)… 将直线与椭圆方程联列 消去 x,得(1+2k2)y2+6ky﹣9k2=0… ,…

由于△ >0 恒成立,根据根与系数的关系可得







因此,可得 S△ PAB= 化简整理,得 k4﹣k2﹣2=0,由于 k>0,解之得 k=1… (3)假设存在这样的点 C(x0,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0, 根据题意,得直线 l:y=k(x﹣3) (k≠0) 消去 y,得(1+2k2)x2﹣12k2x+18(k2﹣1)=0…



由于△ >0 恒成立,根据根与系数的关系可得

…(*)…(13 分)





,…(14 分)



=

由此化简,得 2kx1x2﹣k(x0+3) (x1+x2)+6kx0=0,… 将(*)式代入,可得 ,解之得 x0=6,

∴存在一点 C(6,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0.…(16 分)

【点评】本题给出椭圆方程,在直线 l 经过椭圆的右焦点 F 且交椭圆于 A、B 两点且满足 的情况下求直线 l 的方程,并且讨论了 x 轴上是否存在一点 C 使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 的问题.着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与 系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点,属于中档题.


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