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题型突破练——压轴题专练


题型突破练——压轴题专练
压轴题专练(一) 建议用时:40 分钟 1.[2015· 辽宁三校联考(二)]设 F 是抛物线 C∶y2=4x 的焦点,P 是 C 上一点, 斜率为-1 的直线 l 交 C 于不同两点 A, B(l 不过 P 点), 2 且△PAB 重心的纵坐标为-3. (1)记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值; 1 1 (2)

求|FA|+|FB|的最大值. 解 (1)设直线 l 的方程为:y=-x+b,将它代入 C∶y2=4x 得: x2-2(b+2)x+b2=0,当 Δ=16(b+1)>0 时,令 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2(b+2),x1x2=b2,y1+y2=-(x1+x2)+2b=-2(b+2)+ 2b=-4, 2 因为△PAB 重心的纵坐标为-3.所以 y1+y2+yp=-2,所以,yp =2,xp=1. y1-2 y2-2 ?y1-2??x2-1?+?y2-2??x1-1? k1+k2= + = ,(y1-2)(x2 x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? -1)+(y2-2)(x1-1) = [-x1+(b-2)](x2-1)+[-x2+(b-2)](x1-1) =-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2(b-2) =-2b2+2(b-1)(b+2)-2(b-2) =0,所以 k1+k2=0. x1+x2+2 2?b+3? 1 1 1 1 (2)|FA|+|FB|= + = = 2 , x1+1 x2+1 x1x2+?x1+x2?+1 b +2b+5 由 Δ=16(b+1)>0 得 b>-1,又 l 不过 P 点,则 b≠3. 令 t=b+3,则 t>2 且 t≠6. 1 1 2t + = 2 |FA| |FB| ?t-3? +2?t-3?+5

2t =2 = t -4t+8 ?

2 8? ≤ ?t+ ?-4 2 t? ?

2+1 2 = 2 , 8 t· t -4

2+1 8 1 1 当 t= t ,即 t=2 2,b=2 2-3 时, + 的最大值为 |FA| |FB| 2 . 1 1 2.[2015· 德阳二诊]已知函数 f(x)=xln x-x+2x2-3ax3,f′(x) 为函数 f(x)的导函数. (1)若 F(x)=f(x)+b,函数 F(x)在 x=1 处的切线方程为 2x+y-1 =0,求 a、b 的值; (2)若 f′(x)≤-x+ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若曲线 y=f(x)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线, 求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)F(x)=xln x-x+2x2-3ax3+b,

F′(x)=ln x+x-ax2, ∵切点为(1,-1),切线斜率为 k=-2,

?- a+b=- ? ?F?1?=-1 2 ? ∴ ?? 3 ? F ′ ? 1 ? =- 2 ? ?1-a=-2
1 故 a=3,b=2. (2)f′(x)=ln x+x-ax2,

1

1

?a=3 ?? 1 ?b=2



ln x+2x f′(x)≤-x+ax 恒成立?当 x>0 时,a≥ 2 恒成立. x +x ln x+2x 令 G(x)= 2 (x>0),则 a≥G(x)max, x +x G′(x)=
?1 ? ? +2??x2+x?-?ln x+2x??2x+1? ?x ?

?x2+x?2

?2x+1??x-1+ln x? =- , ?x2+x?2

令 g(x)=x-1+ln x(x>0),g(x)在(0,+∞)递增,且 g(1)=0, ∴当 x∈(0,1)时,x-1+ln x<0,G′(x)>0, 当 x∈(1,+∞)时,x-1+ln x>0,G′(x)<0, ∴G(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, ∴x=1 时,G(x)max=1, ∴a≥1. (3)f′(x)=ln x+x-ax2,令 g(x)=f′(x)=ln x+x-ax2(x>0), -2ax2+x+1 1 g′(x)=x +1-2ax= . x 令 h(x)=-2ax2+x+1(x>0), 当 a≤0 时,h(x)>0, ∴g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)递增,不适合. 当 a>0 时,h(x)的 Δ=1+8a>0,设方程 h(x)=0 的二根为 x1、 1 x2,则 x1· x2=-2a<0,不妨设 x1<0<x2, ∴当 x∈(0,x2)时,g′(x)>0, 当 x∈(x2,+∞)时,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,x2)递增,在(x2,+∞)递减,
2 2 ?-2ax2 ?-2ax2 +x2+1=0 +x2+1=0 ? ? ∴? ?? 2 ?g?x2?>0 ? ? ?ln x2+x2-ax2>0

① ②

x2+1 2 由①得:ax2 = 2 代入②整理得: 2ln x2+x2-1>0③ ∵函数 u(x)=2ln x+x-1 在(0,+∞)递增,u(1)=0, ∴由③得:x2>1, x2+1 ? 1 1? 1 由①得:2a= x2 =?x +2?2-4,
2

?

2

?

1 ∵0<x <1,∴0<2a<2,
2

∴0<a<1. 3.选做题

(1)[选修 4-1:几何证明选讲]如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切 线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明: ①BE=EC; ②AD· DE=2PB2. (2)[选修 4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系 xOy 中,曲线
? ?x=2cosα C1 的参数方程为? (α 为参数),M 为 C1 上的动点,P 点 ?y=2+2sinα ?

→ =2OM → ,点 P 的轨迹为曲线 C . 满足OP 2 ①求 C2 的参数方程; π ②在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 θ=3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. (3) [选修 4-5:不等式选讲]已知函数 f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈ R). ①当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; ②若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 解 (1)证明:①∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD 为 等腰三角形. 连接 AB,则∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α, ∵∠ PAB+∠ BCE=∠ PAB+∠ BAD =∠ PAD=∠ PDA =∠ DEB +∠DBE,

∴β+α=β+∠DBE,即 α=∠DBE,即∠BCE=∠DBE,所以 BE=EC. ②∵AD· DE=BD· DC,PA2=PB· PC,PD=DC=PA, BD· DC=(PA-PB)PA=PB· PC-PB· PA=PB· (PC-PA), PB· PA=PB· 2PB=2PB2.
?x y? (2)①设 P(x,y),则由条件知 M?2,2?.由于 M 点在 C1 上,所以 ? ?

x ? ?2=2cosα ?y ? ?2=2+2sinα

?x=4cosα ? ,即? . ? ?y=4+4sinα

从而 C2 的参数方程为
? ?x=4cosα ? (α 为参数). ?y=4+4sinα ?

②曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ. π π 射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin3, π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. (3)①当 m=5 时,f(x)≤12 即|x-5|+|x+6|≤12, 当 x<-6 时,得-2x≤13, 13 13 即 x≥- 2 ,所以- 2 ≤x<-6; 当-6≤x≤5 时,得 11≤12 成立,所以-6≤x≤5; 当 x>5 时,得 2x≤11, 11 11 即 x≤ 2 ,所以 5<x≤ 2 . 11? ? ? 13 故不等式 f(x)≤12 的解集为?x?- 2 ≤x≤ 2 ? .
? ? ?

②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|,

由题意得|m+6|≥7, 则 m+6≥7 或 m+6≤-7, 解得 m≥1 或 m≤ -13, 故 m 的取值范围是(-∞,-13]∪[1,+∞). 压轴题专练(二) 建议用时:40 分钟 x2 y2 1.如图,F 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 是椭圆的 1 两个顶点,椭圆的离心率为2,点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C,F 三点确定的圆 M 恰好与直线 x+ 3y+3=0 相切.

(1)求椭圆的方程; (2)过 F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l 交椭圆于 P, Q 两点, 在 x 轴上是否存在点 N,使得 NF 恰好为△PNQ 的内角平分线,若存 在,求出点 N 的坐标,若不存在,请说明理由. 解 (1)由题意可知 F(-c,0), 1 ∵e=2,∴b= 3c,即 B(0, 3c), ∵kBF= 3c = 3, 0-?-c?

3 又∵kBC=- 3 ,∴C(3c,0), 圆 M 的圆心坐标为(c,0),半径为 2c,

由直线 x+ 3y+3=0 与圆 M 相切可得 x 2 y2 ∴椭圆的方程为 4 + 3 =1. (2)假设存在满足条件的点 N(x0,0)

|c+3| 1+? 3?2

=2c,∴c=1.

由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x+1)(k≠0), 设 P(x1,y1),Q(x2,y2) ∵NF 为△PNQ 的内角平分线, y1 y2 ∴kNP=-kNQ,即 =- , x1-x0 x2-x0 ∴ k?x1+1? -k?x2+1? = ?(x1+1)(x2-x0)=-(x2+1)(x1-x0).∴x0 x1-x0 x2-x0

x1+x2+2x1x2 = . x1+x2+2

?y=k?x+1? 又?x2 y2 ? 4 + 3 =1

,∴3x2+4k2(x+1)2=12.

∴(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0. 4k2-12 8 k2 ∴x1+x2=- ,x x = . 3+4k2 1 2 3+4k2 8k2-24 8 k2 - + 3+4k2 3+4k2 ∴x0= =-4, 8 k2 2- 3+4k2 ∴存在满足条件的点 N,点 N 的坐标为(-4,0). 2.已知函数 f(x)=ln (ax+1)+x3-x2-ax. 2 (1)若 x=3为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; b (3)若 a=-1 时,方程 f(1-x)-(1-x)3=x 有实根,求实数 b 的 取值范围.



(1)f′(x)=

a +3x2-2x-a ax+1

x [3ax2+?3-2a?x-?a2+2?] = . ax+1 2 2 ∵x=3为 f(x)的极值点,∴f′(3)=0.
?2? 2 2 ∴3a?3?2+3(3-2a)-(a2+2)=0 且3a+1≠0, ? ?

∴a=0. 又当 a=0 时,f′(x)=x(3x-2), 2 从而 x=3为 f(x)的极值点成立,所以 a=0. (2) 因 为 f(x) 在 [1 , + ∞) 上 为 增 函 数 , 所 以 x[3ax2+?3-2a?x-?a2+2?] ≥0 在[1,+∞)上恒成立. ax+1 若 a=0,则 f′(x)=x(3x-2),∴f(x)在[1,+∞)上为增函数不成 立; 若 a≠0,由 ax+1>0 对 x>1 恒成立知 a>0. 所以 3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0 对 x∈[1, +∞)恒成立, 令 g (x ) 1 1 =3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为 x=3-2a, 1 1 1 因为 a>0,所以3-2a<3,从而 g(x)在[1,+∞)上为增函数, 1- 5 1+ 5 所以只要 g(1)≥0 即可,即-a2+a+1≥0,所以 2 ≤a≤ 2 , 1+ 5 又因为 a>0,所以 0<a≤ 2 . b (3)若 a=-1 时,方程 f(1-x)-(1-x)3=x 可得 ln x-(1-x)2+(1 b -x)=x, 即 b=xln x-x(1-x)2+x(1-x)=xln x+x2-x3 在 x>0 上有解, 即求函数 g(x)=xln x+x2-x3 的值域.

1 b=x(ln x+x-x2),令 h(x)=ln x+x-x2,由 h′(x)=x+1-2x= ?2x+1??1-x? , x ∵x>0,∴当 0<x<1 时,h′(x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函 数; 当 x>1 时,h′(x)<0,从而 h(x)在(1,+∞)上为减函数. ∴h(x)≤h(1)=0,而 h(x)可以无穷小, ∴b 的取值范围为(-∞,0].

3. 选做题 (1)[选修 4-1:几何证明选讲] 如图所示,AB 为圆 O 的直径,CD 为圆 O 的切线,切点为 D, AD∥OC. ①求证:BC 是圆 O 的切线; ②若 AD· OC=2,试求圆 O 的半径. (2)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种
? ?x= 2cosθ 坐标系中取相同的单位长度.设圆 C:? (θ 为参数)上的点 ?y= 2sinθ ?

π? ? 到直线 l:ρcos?θ-4?= 2k 的距离为 d.
? ?

①当 k=3 时,求 d 的最大值;

②若直线 l 与圆 C 相交,试求 k 的取值范围. (3)[选修 4-5:不等式选讲] 设 f(x)=|x-3|+|2x-4|. ①解不等式 f(x)≤4; ②若对任意实数 x∈ [5,9],f(x)≤ax-1 恒成立,求实数 a 的取 值范围.



(1)①证明:如图,连接 BD、OD.

∵CD 是圆 O 的切线,∴∠ODC=90° . ∵AD∥OC,∴∠BOC=∠OAD. ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∴∠BOC=∠DOC. 又∵OC=OC,OB=OD,∴△BOC≌△DOC. ∴∠OBC=∠ODC=90° ,即 OB⊥BC. ∴BC 是圆 O 的切线. ②由①知∠OAD=∠DOC,∴Rt△BAD∽Rt△COD, AD OD ∴ AB =OC . AD· OC=AB· OD=2r×r=2,∴r=1. π? ? π π (2)①由 l:ρcos?θ-4?=3 2,得 l:ρcosθcos4+ρsinθsin4=3 2,
? ?

整理得 l:x+y-6=0.

则 d=

| 2cosθ+ 2sinθ-6| = 2 8 =4 2. 2

π? ? ? ? ?2sin?θ+ ?-6? 4? ? ? ? 2

∴dmax=

②将圆 C 的参数方程化为普通方程得 x2+y2=2,直线 l 的极坐 标方程化为普通方程得 x+y-k=0. ∵直线 l 与圆 C 相交,∴圆心 O 到直线 l 的距离 d< 2, 即 |-k| < 2,解得-2<k<2. 2

(3)①当 x<2 时,f(x)=7-3x≤4,得 1≤x<2; 当 2≤x≤3 时,f(x)=x-1≤4,得 2≤x≤3; 11 当 x>3 时,f(x)=3x-7≤4,得 3<x≤ 3 .
? ? 11 ? 综上可得不等式 f(x)≤4 的解集为?x?1≤x≤ 3 ?. ? ? ?

②∵x∈[5,9],∴f(x)≤ax-1 即 3x-7≤ax-1, 6 6 7 ∴a≥3-x,即 a≥3-9=3. 压轴题专练(三) 建议用时:40 分钟 1 1.已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为2,右 焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A,B 两点的直线 l:y=kx+m(k∈R), → +2OB → |=|OA → -2OB → |成立?若存在,求出实数 m 的取值范围, 使得|OA 若不存在,请说明理由. 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),半焦距为 c.

c 1 依题意 e=a=2,由右焦点到右顶点的距离为 1,得 a-c=1.解

得 c=1,a=2.所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 4 + 3 =1. → +2OB → |=|OA → -2OB → |成立.理由如下: (2)存在直线 l,使得|OA

?y=kx+m, 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化简得 3+4k2>m2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4m2-12 8km 则 x1+x2=- ,x x = . 3+4k2 1 2 3+4k2 → +2OB → |=|OA → -2OB → |成立, 若|OA → +2OB → |2=|OA → -2OB → |2,等价于OA →· → =0. 即|OA OB 所以 x1x2+y1y2=0, x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, 4m2-12 8km (1+k )· +m2=0, 2 -km· 3+4k 3+4k2
2

化简得,7m2=12+12k2.
?7 ? 7 将 k2=12m2-1 代入 3+4k2>m2 中,3+4?12m2-1?>m2,解得 ? ?

3 m2>4. 12 又由 7m2=12+12k2≥12,m2≥ 7 , 12 2 2 从而 m2≥ 7 ,m≥7 21或 m≤-7 21. 2 ? ? ?2 ? 所以实数 m 的取值范围是?-∞,-7 21?∪?7 21,+∞?.
? ? ? ?

2.已知 f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x).
?1 ? (1)若 h(x)的单调减区间是?2,1?,求实数 a 的值; ? ?

(2)若 f(x)≥g(x)对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值 范围; 1? ? (3)设 h(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1∈?0,2?,若 h(x1)-h(x2)>
? ?

m 恒成立,求 m 的最大值. 解 (1) 由 题 意 得 h(x) = x2 - ax + ln x , (x > 0) , 则 h′(x) = 2x2-ax+1 (x>0), x
?1 ? 要使 h(x)的单调减区间是?2,1?, ? ? ?1? 则 h′(1)=h′?2?=0,解得 a=3; ? ?

2x2-3x+1 ?2x-1??x-1? 另一方面当 a=3 时 h′(x)= = (x>0), x x
?1 ? 由 h′(x)<0 解得 x∈?2,1?, ? ? ?1 ? 即 h(x)的单调减区间是?2,1?. ? ?

综上所述 a=3. (2)由题意得 x2-ax≥ln x(x>0), ln x ∴a≤x- x (x>0). ln x 设 φ(x)=x- x (x>0), x2+ln x-1 则 φ′(x)= . x2 ∵y=x2+ln x-1 在(0,+∞)上是增函数,且 x=1 时,y=0. ∴当 x∈(0,1)时 φ′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时 φ′(x)>0, ∴φ(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数. ∴φmin=φ(1)=1,∴a≤φmin=1,即 a∈(-∞,1]. (3)由题意得 h(x)=x2-ax+ln x(x>0), 2x2-ax+1 则 h′(x)= (x>0), x

∴方程 2x2-ax+1=0(x>0)有两个不相等的实根 x1,x2,且 x1 1? ? ∈?0,2?.
? ?

1 1 又∵x1x2=2,∴x2=2x ∈(1,+∞),
1 2 且 ax1=2x2 1+1,ax2=2x2+1, 2 2 2 而 h(x1)-h(x2)=(x2 1-ax1+ln x1)-(x2-ax2+ln x2)=[x1-(2x1+1)

x1 2 1 2 2 2 2 +ln x1]-[x2 -(2x2 +1)+ln x2]=x2 = x 2-x1+ln 2- 2-ln 2x2 (x2> x2 4 x2 1). 1 设 φ(x)=x2-4x2-ln 2x2(x>1), ?2x2-1?2 则 φ′(x)= 2x3 >0(x>1), ∴φ(x)在(1,+∞)内是增函数, 3 ∴φ(x2)>φ(1)=4-ln 2, 3 即 h(x1)-h(x2)>4-ln 2, 3 3 ∴m≤4-ln 2,∴m 的最大值为4-ln 2. 3.选做题 (1)[选修 4-1:几何证明选讲] 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,∠BAD=60° ,∠ABC=90° , BC=3,CD=5.求对角线 BD、AC 的长.

(2)[选修 4-4:坐标系与参数方程]

?x=2t, 已知直线 l 的参数方程为? 3 ?y=1+ 2 t
? ?

1

(t 为参数),曲线 C 的极

π? ? 坐标方程为 ρ=2 2sin?θ+4?,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P. ①求曲线 C 的直角坐标方程; 1 1 ②求|PA|+|PB|的值. (3)[选修 4-5:不等式选讲] 已知实数 m,n 满足:关于 x 的不等式|x2+mx+n|≤|3x2-6x-9| 的解集为 R. ①求 m,n 的值; ②若 a, b, c∈R+, 且 a+b+c=m-n, 求证: a+ b+ c≤ 3. 解 (1)如图,延长 DC,AB 交于点 E.

∵∠BAD=60° ,∴∠ECB=60° , ∵∠ABC=90° ,BC=3,CD=5, ∴∠EBC=90° ,∴∠E=30° , ∴EC=2BC=2×3=6,∴EB= 3BC=3 3, ∴ED=DC+EC=5+6=11, ∵EC×ED=EB×(EB+AB), 13 3 则 6×11=3 3×(3 3+AB),解得 AB= 3 ,

∴AC=

32+?

?13 3?2 14 3 ?= 3 . ? 3 ?

∵∠EDB=∠EAC,∠E=∠E, BD BE ∴△EDB∽△EAC,∴AC =CE, 14 3 3 ×3 3 AC· BE ∴BD= CE = =7. 6 π? ? (2)①利用极坐标公式,把曲线 C 的极坐标方程 ρ=2 2sin?θ+4?
? ?

化为 ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ, ∴普通方程是 x2+y2=2y+2x, 即(x-1)2+(y-1)2=2. ②∵直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P,

? 把直线 l 的参数方程? 3 y = 1 + ? 2t
1)2+(y-1)2=2 中,得 t2-t-1=0,
? t2=-1, ?t1· ∴? ? ?t1+t2=1,

1 x=2t,

代入曲线 C 的普通方程 (x-

1 1 1 1 ∴|PA|+|PB|=|t |+|t |
1 2

|t1-t2| = |t t | = ?t1+t2?2-4t1t2 1 2 = 12-4×?-1?= 5. (3)①由于解集为 R,那么 x=3,x=-1 都满足不等式,即有
? ?|9+3m+n|≤0 ? , ?|1-m+n|≤0 ? ?9+3m+n=0 ? 即? ,解得 m=-2,n=-3, ?1-m+n=0 ?

经验证当 m=-2,n=-3 时,不等式的解集是 R. ②证明:a+b+c=1,a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca, ∴( a+ b+ c)2=a+b+c+2 ab+2 bc+2 ca≤3(a+b+c) =3, 1 故 a+ b+ c≤ 3(当且仅当 a=b=c=3时取等号). 压轴题专练(四) 建议用时:40 分钟 x2 y2 1.已知抛物线 y =4 2x 的焦点为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右
2

焦点,且椭圆的长轴长为 4,左右顶点分别为 A,B,经过椭圆左焦 点的直线 l 与椭圆交于 C、D(异于 A,B)两点. (1)求椭圆标准方程; (2)求四边形 ADBC 的面积的最大值; (3)若 M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆上的两动点,且满足 x1x2+2y1y2 → =OM → +2ON → (其中 O 为坐标原点),是否存在两 =0,动点 P 满足OP 定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,若存在求出该定值,若不存在 说明理由.



(1)由题设知:因为抛物线 y2=4 2x 的焦点为( 2,0),

所以椭圆中的 c= 2,又由椭圆的长轴为 4,得 a=2, ∴b2=a2-c2=2,

x2 y2 ∴椭圆的标准方程为: 4 + 2 =1. (2)解法一: ∵直线 l 斜率不为零, ∴设直线 l 方程为: x=my- 2, 代入椭圆方程得:(m2+2)y2-2 2my-2=0,设 C(x1,y1),D(x2,y2), A(-2,0),B(2,0), 2 2m ?y +y =m +2 ? 2 则有:? y y =- , m +2 ? ?Δ=?2 2m? +8?m +2?=16m +16>0
1 2 2 1 2 2 2 2 2

1 1 1 1 SADBC = S △ ABC + S △ ABD = 2 |AB||y1| + 2 |AB||y2| = 2 |AB|· |y1 - y2| = 2 ×4× ?y1+y2?2-4y1y2= 2
? 2 2m ?2 8 m2+1 2 ? 2 ? +4× 2 = 2 = m +2 m +2 ?m +2?

1 ≤4, m +1+ 2 m +1
2

8

当且仅当 m2+1=

1 ,即 m=0 时等号成立. m2+1

四边形 ADBC 的面积的最大值为 4. 解法二:当直线 l 斜率不存在时,l 的方程为:x=- 2,此时 SADBC=4. 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为:y=k(x+ 2)(其中 k≠0)即 1 x=k y- 2代入椭圆方程得: (2k2+1)y2-2 2ky-2k2=0, 设 C(x1, y1), D(x2,y2),A(-2,0),B(2,0), 2k ?y +y =22k + 1 ? ?y y =- 2k 2k +1 ? ?Δ=?2 2k? +8?2k +1?k =k ?16k +16?>0
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 SADBC = S △ ABC + S △ ABD = 2 |AB||y1| + 2 |AB||y2| = 2 |AB|· |y1 - y2| = 2 ×4× ?y1+y2?2-4y1y2= 2
? 2 2k ?2 8 k4+k2 2 k2 ? 2 ? +4× 2 = = 2k +1 2k2+1 ?2k +1?

8 1 k2+1+ 1 1 k2+1

<4 ,

综上所述:四边形 ADBC 的面积的最大值为 4. → =OM → +2ON → ,可得 (3)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),由OP
? ?x=x1+2x2 ? ① ?y=y1+2y2 ?

又因为 x1x2+2y1y2=0②
2 2 ∵M、N 是椭圆上的点,∴x1+2y1 =4,x2+2y2 =4, 2 2 由①②可得:x2+2y2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x1 +2y2 2)+4(x2+ 2 2y2 )=20,

x2 y2 ∴x +2y =20 即点 P 的轨迹方程为20+10=1
2 2

由椭圆的定义存在两定点 F1,F2 使得|PF1|+|PF2|=4 5. 2.[2015· 南宁适应性测试(二)]设函数 f(x)=(1+x)2-2ln (1+x). (1)若关于 x 的不等式 f(x)-m≥0 在[0,e-1](e 是自然对数的底 数)上有实数解,求实数 m 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-x2-1,若关于 x 的方程 g(x)=p 至少有一个解, 求 p 的最小值; 1 1 1 (3)证明不等式:ln (n+1)<1+2+3+…+n(n∈N*). 解 2 (1)f′(x)=2(1+x)- . x+1 1 2 ,∴f′(x)=2(1+x)- 在[0,e-1] x+1 x+1

∵当 x≥0 时,1+x≥ 上有 f′(x)≥0,

f(x)=(1+x)2-2ln (1+x)在[0,e-1]上单调递增,

f(x)max=f(e-1)=e2-2. ∵关于 x 的不等式 f(x)-m≥0 在[0,e-1]上有实数解, ∴f(x)max≥m,即 m≤e2-2. (2)∵g(x)=f(x)-x2-1=2x-2ln (1+x),
? 1 ? ∴g′(x)=2?1-x+1?. ? ?

∴在(-1,0)上 g′(x)<0,在(0,+∞)上 g′(x)>0,g(x)min=g(0) =0. ∵关于 x 的方程 g(x)=p 至少有一个解,∴p≥0,p 的最小值为 0. (3)证明:由(2)可知 g(x)≥0 在(-1,+∞)上恒成立, ∴ln (1+x)≤x,当且仅当 x=0 时等号成立. 1? 1 ? 1 令 x=n,n∈N*,x∈(0,1),有 ln ?1+n?<n,即 ln (n+1)-ln n ? ? 1 <n, 1 1 1 取 n=1,2,3…,所得不等式相加得 ln (n+1)<1+2+3+…+n(n ∈N*). 3.选做题 (1)[选修 4-1:几何证明选讲] 在 Rt△ABC 中,∠B=90° ,AB=4,BC=3,以 AB 为直径作圆 O 交 AC 于点 D. ①求线段 CD 的长度; ②点 E 为线段 BC 上一点,当点 E 在什么位置时,直线 ED 与圆 O 相切,并说明理由.

(2)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为

?x=- 5+ 22t, ? 2 y = 5 + ? 2t

(t 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,

取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ①求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; 1 ②将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的2,再将所得曲线 向左平移 1 个单位,得到曲线 C1.求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的 最小值. (3)[选修 4-5:不等式选讲] 1 4 已知 a+b=1,对?a,b∈(0,+∞),a+b≥|2x-1|-|x+1|恒成 立,求 x 的取值范围. 解 (1)

①连接 BD, 在直角三角形 ABC 中, 易知 AC=5, ∠BDC=∠ADB

=90° , 所以∠BDC=∠ABC,又因为∠C=∠C, 所以 Rt△ABC∽Rt△BDC, CD BC BC2 9 所以 BC =AC,所以 CD= AC =5. ②当点 E 是 BC 的中点时,ED 与⊙O 相切; 证明:连接 OD,∵DE 是 Rt△BDC 的中线,∴ED=EB, ∴∠EBD=∠EDB,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB, ∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90° , ∴ED⊥OD,∴ED 与⊙O 相切. (2)①曲线 C 的直角坐标方程为: x2+y2=4x, 即: (x-2)2+y2=4, 直线 l 的普通方程为 x-y+2 5=0. 1 ②将曲线 C 上的所有点的横坐标缩为原来的2,得 y2 (2x-2) +y =4,即(x-1) + 4 =1.
2 2 2

y2 再将所得曲线向左平移 1 个单位,得 C1:x + 4 =1.
2

? ?x=cosθ 又曲线 C1 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=2sinθ ?

设曲线 C1 上任一点 P(cosθ,2sinθ), 则 dp→l = |cosθ-2sinθ+2 5| |2 5- 5sin?θ-φ?| = ≥ 2 2 10 2

1? ? ?其中tanφ= ?, 2? ? 10 ∴点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 . (3)∵a>0,b>0 且 a+b=1,
?1 4? 1 4 b 4a 2 ∴a+b=(a+b)?a+b?=5+a+ b ≥9, (当且仅当 b=2a, 即 b=3, ? ?

1 a=3时等号成立.)

1 4 故a+b的最小值为 9, 1 4 因为对 a,b∈(0,+∞),使a+b≥|2x-1|-|x+1|恒成立, 所以|2x-1|-|x+1|≤9, 当 x≤-1 时,2-x≤9,∴-7≤x≤-1; 1 1 当-1<x<2时,-3x≤9,∴-1<x<2; 1 1 当 x≥2时,x-2≤9,∴2≤x≤11, ∴-7≤x≤11.


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