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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(19)(文科 综合卷一)


2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十九 文科 综合卷一) 数学 十九) (文科 ? 综合卷一 十九
一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的。 1.已知集合 A = {x | x ? 4 x + 3 > 0}, B = {x |
2

A.{x|1<x<2 } C.{x|1<x<2,或 x>3 }

x ≤ 0}, 那么集合A ∩ B 等于 x?2 B.{x|0≤x<1 }

D.{x|0≤x<1,或 x>3 } D. ±

2 2 2. 若直线 x ? y + a = 0 与圆 x + y = 2 相切,则 a 的值为

A. ± 4 B. ± 2 2 C. ± 2 3.若命题 p 是命题 q 的必要不充分条件,则命题 ?p 是命题 ?q 的 A.不充分也不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件

2

D.充分不必要条件

4.设α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件是 A.n⊥α,n⊥β, m⊥α C.α⊥γ,β⊥γ, m⊥α B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ D.α⊥β,α∩β=l,m⊥l

5.已知向量 a = ( 2,2), b = ( ?5, m), c = (3,4) ,若 | a + b |≤| c | ,则实数 m 的取值范围是 A.[-4,6]
3 2

B.[-6,4]

C.[-2,6]

D.[-6,2] D.与 a 值有关 D.1400

6.函数 f ( x ) = x + 3 x + 3x ? a 的极值个数是 A.2
0

B.1
0

C.0 C.1300

7.直线 ? x cos 40 + y sin 40 + 1 = 0 的倾斜角是 A. 400 B. 500

8.已知已知 k ∈ Z , AB = ( k ,1), AC = ( 2,4), 若 | AB |≤ 4, 则?ABC 是直角三角形的概率是 A.

1 7
n

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

2 ? ? 9.若二项式 ? 3x 2 ? 3 ? (n ∈ N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 x? ?
A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知一个全面积为 24 的正方体,内有一个与每条棱都相切的球,此球的体积为

1

A.

4π 3

B. 4 3π

C.

24 6π 3

D.

8 2π 3

11.数列 {an } : an = n 2 + λ n(n ∈ N * ) 是一个单调递增数列,则实数 λ 的取值范围是 A. ( ?3, +∞ )

? 5 ? B. ? ? , +∞ ? ? 2 ?

C. ( ?2, +∞ )

D. ( 0, +∞ )

12.若对任意实数 x 都有 f ( x ) > 0 ,且 log 2 f ( x ? 3) = 1 + log 2 f ( x ? 4) ,已知 f (1) = 2 ,则

f (10) 的值为
A.1024 题号 答案 B.512 C.256 D.128

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在试题的横线上)

y2 = 1 离心率为 2 ,则实数 k 的值是____________. 13.已知双曲线 x ? k
2

14.已知集合 A = {x |1 ≤ x ≤ 7, x ∈ N } ,从中任取两个不同的元素,其和为偶数的概率是 _______. (只能用最简数字作答) 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边长为 a, b, c ,若 a cos B = b cos A ,则 ?ABC 的形状是 _____________三角形. 16.若函数 f ( x ) 是定义在实数集上的奇函数,且 f ( x ? 2) = ? f ( x) ,给出下列结论: 这些结论中正确的有____________. (必须填写序号)

① f ( 2 ) = 0 ;② f ( x ) 以 4 为周期;③ f ( x ) 的图象关于 y 轴对称;④ f ( x + 2) = f (? x) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π ? ? ? 3π π ? 17.本题满分 12 分) ( 已知向量 a = ? 3 ? cos 2( x + ), ?2 2 ? , b = (1,sin x + cos x ) , ∈ ? ? x , ?, 4 ? ? ? 4 4?
且a ?b =

8 ,求 sin 2 x 的值. 9

2

18. (本题满分 12 分)甲、乙两人进行投篮游戏,投篮者若投中则继续投篮,否则由对方投篮, 第一次由甲投篮;已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为 (1)求第三次由甲投篮的概率; (2)求乙至多投篮两次的概率。

2 1 、 ,在前 4 次投篮中 3 2

19. (本题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足: a1 = 1 , an +1 ? an + an +1 ? an = 0 。 (1)证明数列 {

1 } 为等差数列,并求 an ; an 1 3 ≤ Sn < 。 3 4

(2)设 bn = an ? an + 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证:

20. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD 是正三 角形,且 平面 PAD⊥底面 ABCD. (1)求证:AB⊥平面 PAD (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角的大小; (3)设 AB=1,求点 D 到平面 PBC 的距离.

(1)若 f ( x ) 在[0,2]上是增函数, x = 2 是方程 f ( x ) = 0 的一个实根,求证: f (1) ≤ ?2 ; (2)若 f ( x ) 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ? x 3 + ax 2 + b(a, b ∈ R ) .

22. (本题满分 14 分)已知直线 l 过椭圆 E: x 2 + 2 y 2 = 2 的右焦点 F ,且与 E 相交于 P, Q 两点. (1)设 OR =

1 (OP + OQ ) ( O 为原点) ,求点 R 的轨迹方程; 2
1 1 的值. + | PF | | QF |
y P

(2)若直线 l 的倾斜角为 600 ,求

o Q

F

x

3

2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十九 文科 综合卷一) 数学 十九) (文科 ? 综合卷一 参考答案 十九
一、选择题: 1.B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.D 11.A 12.A 二、填空题 13.1 14.

3 7

15.等腰

16.①②④

三、解答题

π ? ? 17.解: a ? b = ? 3 ? cos 2( x + ), ?2 2 ? ? (1,sin x + cos x ) 4 ? ? π ? ? = ? 3 ? cos 2( x + ) ? ? 1 ? 2 2 ? ( sin x + cos x ) ...............................2 分 4 ? ?
= ? cos 2( x + = 2sin 2 ( x +

π
4

) ? 4sin( x +

π
4

)+3

π
4

) ? 4sin( x +
2

π
4

)+2

π ? ? = 2 ?sin( x + ) ? 1? .....................................................5 分 4 ? ?
8 π 9 π 1 ? ? ∵ a ? b = ,∴ 2 ?sin( x + ) ? 1? = ,即 sin( x + ) = ……………………………8 分 9 4 8 4 3 ? ?
2

π ? π π? ? 3π π ? 又 x ∈ ?? , ? ? x + ∈ ?? , ? 4 ? 2 2? ? 4 4?
∴ cos( x +

π
4

) = 1 ? sin 2 ( x +

π
4

)=

2 2 ……………………………………………10 分 3

于是 sin 2 x = ? cos(2 x +

π
2

) = 1 ? cos 2 ( x +

π

7 ) = ? ………………………………12 分 4 9

18. 解: (1)记“甲投篮投中”的事件为 A , “乙投篮投中”的事件为 B , 则 P ( A) =

2 1 , P( B) = 3 2 18
………………………………………6 分

∴其概率为 P = P( A) P( A) + P( A) P ( B) = 11

(2)解法一:乙至多投篮两次,分三种情况:①乙一次也没有投篮;②乙只投篮一次;③乙投篮
4

两次 对①其概率为 P = P ( A)i P ( A)i P ( A) = ( ) ………………………………………8 分 1
3

2 3

对②其概率为 P2 = P ( A)i P ( A)i P ( A) + P ( A)i P ( A)i P ( B ) + P ( A)i P ( B )i P ( A)

2 2 1 2 1 1 1 1 2 10 = × × + × × + × × = …………………………………10 分 3 3 3 3 3 2 3 2 3 27
对③其概率为 P3 = P ( A)i P ( A)i P ( B ) + P ( A)i P ( B )i P ( A) + P ( A)i P ( B )i P ( B )

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 × × + × × + × × = 3 3 2 3 2 3 3 2 2 4

∴乙至多投篮两次的概率为 P = P1 + P2 + P3 =

8 10 1 11 + + = 27 27 4 12

……………………12 分

解法二:考虑对立面,即乙投篮三次的概率为 ?

1 1 1 1 ? = ………………………………9 分 3 2 2 12

∴乙至多投篮两次的概率为 P = 1 ?

1 11 = ……………………………………12 分 12 12

19. 解: (1)证明:∵ an +1 ? an + an +1 ? an = 0 ,且数列 {an } 各项均为正数, ∴ 1 ? 1 = an ? an +1 = 1 (常数)………………………………………2 分 an +1 an an an +1 ∴数列 {

1 1 } 为等差数列,首项 = 1 ,公差 d = 1 , an a1
∴ an = ∴ bn =

∴ 1 = 1 + (n ? 1) ×1 = n , an (2)∵ bn = an ? an + 2 , ∴ S n = b1 + b2 + ? + bn = ∵ n ∈ N ,∴ S n <
*

1 ( n ∈ N * ) …………………5 分 n

1 1 1 1 1 ? = ( ? ) n n+2 2 n n+2

1 1 1 1 (1 + ? ? ) ……………………………8 分 2 2 n +1 n + 2

1 1 3 × (1 + ) = , 2 2 4

∵函数 f ( x ) =

1 1 1 1 1 (1 + ? ? ) 在 (0,+∞) 上是增函数,∴ S n ≥ S1 = , 3 2 2 x +1 x + 2
5

1 3 综上所述: ≤ S n < 。…………………………………………………………12 分 3 4
20. 解法一:

? ? (1)证明: 平面PAD ∩ 底面ABCD = AD ? ? AB ⊥ 平面PAD …………………2 分 AB ⊥ AD, AB ? 底面ABCD ? ?
又 AB ? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD……………3 分 (2)解:取 AD 的中点 F,连结 AF,CF ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PF⊥AD, ∴PF⊥平面 BCD ………………………5 分 ∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, ∴所以∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角………7 分 在 ?PCF中, tan PCF =

平面PAD ⊥ 底面ABCD

PF 15 = CF 5 15 ………………8 分 5

即直线 PC 与底面 ABCD 所成的角的大小是 arctan (3)解:设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,

∵VD ? PBC = VP ? BCD'

∴ S ?PBC ? h = S ?BCD ? PF ………………10 分 ∴ S ?PBC = 7 4

在△PBC 中,易知 PB=PC= 2

又 S ?BCD =

1 3 , PF = , 2 2

1 3 × 21 ∴h = 2 2 = ………………11 分 7 7 4 21 ……………………………………12 分 7

即点 D 到平面 PBC 的距离为 解法二:

(1)证明:建立空间直角坐标系 D—xyz,如图 不妨设 A(1,0,0)则 B(1,1,0) ,P(

1 3 ,0, ) 2 2

1 3 AB = (0,1,0), PA = ( ,0,? ) ………………2 分 2 2
6

由 AB ? PA = 0得AB ⊥ PA 由 AB⊥AD,∴AB⊥平面 PAD ………………………3 分

(2)解:取 AD 的中点 F,连结 AF,CF ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PF⊥AD, ∴PF⊥平面 BCD ∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, ∴所以∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角…………………………7 分 易知 C(0,1,0) ,F( ………………………5 分

1 ,0,0) 2

1 3 1 ∴ CP = ( , ?1, ), CF = ( , ?1, 0) 2 2 2

∴ cos CP, CF =

CP ? CF 10 = 4 | CP | ? | CF | 10 ……………………8 分 4

∴直线 PC 与底面 ABCD 所成角的大小为 arccos (3)解:设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,

∵VD ? PBC = VP ? BCD'

∴ S ?PBC ? h = S ?BCD ? PF ………………10 分 ∴ S ?PBC = 7 4

在△PBC 中,易知 PB=PC= 2

又 S ?BCD

1 3 = , PF = , 2 2

1 3 × 21 ∴h = 2 2 = ………………11 分 7 7 4 21 ……………………………………12 分 7

即点 D 到平面 PBC 的距离为

21.解: (1) f '( x) = ?3x 2 + 2ax ..............................................2 分 由题可知 f '( x) = ?3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立.

?3 x 2 + 2ax ≥ 0 ? 2ax ≥ 3 x 2
当 x = 0 时此式显然成立, a ∈ R ; 当 x ∈ (0, 2] 时有 2a ≥ 3 x 恒成立,易见应当有 2a ≥ 6 ? a ≥ 3 , 可见 f '( x) = ?3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立,须有 a ≥ 3 .................4 分 又 f (2) = 0 ? b = 8 ? 4a

? f (1) = a + b ? 1 = 7 ? 3a ≤ ?2 ........................................6 分
7

(2)设 P ( x, f ( x )), Q ( y, f ( y )) 是 f ( x ) 图象上的两个不同点,则

f ( x) ? f ( y) x? y

<1 ?

(? x3 + ax 2 + b) ? (? y 3 + ay 2 + b) < 1 .........................7 分’ x? y

? ?( x 2 + y 2 + xy ) + a ( x + y ) < 1 ? x 2 + ( y ? a ) x + ( y 2 ? ay + 1) > 0 ............................8 分
此式对于 x 恒成立,从而 ? < 0 ? 3 y 2 ? 2ay ? a 2 + 4 > 0 .......................10 分 此式对于 y 也恒成立,从而 ? ' < 0 ? a 2 < 3 ? a ∈ (? 3, 3) ...................12 分 注:用导数方法求解略,按相应步骤给分. 22.解: (1) 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), R ( x, y )

x1 + x2 ? ?x = 2 1 1 ? OR = (OP + OQ) ? ( x, y ) = [( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )] ? ? ..........1 分 2 2 ? y = y1 + y2 ? ? 2
由 x2 + 2 y 2 = 2 ?

x2 + y 2 = 1 ,易得右焦点 F (1,0) ......................2 分 2

当直线 l ⊥ x 轴时,直线 l 的方程是: x = 1 ,根据对称性可知 R (1,0) ........3 分 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 1) 代入 E 有 (2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0

? = 8k 2 + 8 > 0

x1 + x2 =

4k 2 ....................................................5 分 2k 2 + 1 x= x1 + x2 2k 2 = 2 2 2k + 1 y = k ( x ? 1)

于是 R ( x, y ) :

消去参数 k 得 x 2 + 2 y 2 ? x = 0 而 R (1,0) 也适上式,故 R 的轨迹方程是 x 2 + 2 y 2 ? x = 0 ..................8 分 (2)设椭圆另一个焦点为 F ' , 在 ?PF ' F 中 ∠PFF ' = 1200 ,| F ' F |= 2, 设 | PF |= m ,则 | PF ' |= 2 2 ? m 由余弦定理得 (2 2 ? m) 2 = 22 + m 2 ? 2 ? 2 ? m ? cos1200 ? m = 同理,在 ?QF ' F ,设 | QF |= n ,则 | QF ' |= 2 2 ? m 也由余弦定理得 (2 2 ? n) 2 = 22 + n 2 ? 2 ? 2 ? n ? cos 600 ? n = 于是

2 .............10 分 2 2 +1

2 .............12 分 2 2 ?1

1 1 1 1 2 2 +1 2 2 ?1 + = + = + = 2 2 ..........................14 分 | PF | | QF | m n 2 2

8


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