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吉林省四平市第一高级中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷


四平市第一高级中学 2014-2015 学年度下学期期末考试
高二数学试卷(文科)
考生注意: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 150 分,共 4 页,考试时间 120 分 钟,考试结束后,只交答题卡。 2、客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上,主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的。 1、复数<

br />
(选择题,满分 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

2 ?i ? 1 ? 2i
B. ? i C. 2( 2 ? i)

( D. 1 ? i ( B. r ? 1 表明两个变量正相关



A. i

2、下面对相关系数 r 描述正确的是 A. r ? 0 表明两个变量负相关 C. r 只能大于零 3、下列推理正确的是 A.把 a(b ? c) 与 a
x? y



D. | r | 越接近于 0 ,两个变量相关关系越弱 ( 类比,则有 a
x? y



? ax ? a y

B.把 a(b ? c) 与 tan(x ? y ) 类比,则有 tan(x ? y) ? tan x ? tan y C.把 a(b ? c) 与 a 类比,则有 a
xy

xy

? ax ? ay

D.把 a(b ? c) 与 a ? (b ? c ) 类比,则有 a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c 4、曲线 y ? x ? 2x 在 (1,?1) 处的切线方程为
3

? ? ?

? ? ?

? ? ? ?
( )

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

5、用反证法证明命题: “ a, b, c, d ? R , a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,且 ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 中至少有一个复数”时的假设为 A. a, b, c, d 中至少有一个正数 C. a, b, c, d 全都大于等于零 B. a, b, c, d 全为正数 D. a, b, c, d 中至多有一个负数 ( )

6、在如下的 2? 2 列联表中,若分类变量 X 和 Y 有关系,比值相差大的应该是





a c 与 a?b c?d a c B. 与 c?d a?b a c C. 与 a?d b?c a c D. 与 b?d a?c
A. A. 11 B. 22

开始

Y1

X1 a

X2
b

总计

a?b

S ? 0, T ? 1 S ?T2 ?S
S ? 10 ?
T ?T ?2

Y2
总计

c

d

c?d

a?c

b?d

a?b?c?d
( D. 41 )

7、右边程序框图运行之后输出的 W 值为 C. 39

W ? S ?T

8、复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? 3 |? 10 ,则复数 z 对应点的集合表示的 图形是 A.直线 9、已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x ) ? B.圆 C.椭圆 ( D.双曲线 )

输出W 结束
( )

2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N * ) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2
B. f ( x ) ?

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x ) ?

1 x ?1

D. f ( x ) ? ( D. a ? ?

2 2x ?1


10、设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax, x ? R 有大于零的极值点,则 A . a ? ?1 11、已知 f ( x) ? B. a ? ?1 C. a ? ?

y
O
A.

1 2 ? x ? sin( ? x) , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,则 f ?( x ) 的图象为 ( 4 2

1 e

1 e



y

y

O

y
O
C.

x
B.

x

x

O
D.

x

12、已 知 y ? f ( x) 为 R 上 的 连 续 可 导 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ?( x) ?

f ( x) ? 0 ,则函数 x
( )

g ( x) ? f ( x) ?
A. 1

1 的零点的个数为 x B. 2

C. 0

D. 0 或 2

第Ⅱ卷

(非选择题,满分 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡相应的位置上) 13、复数

2i 的共轭复数是__________。 1? i

14、右表是降耗技术改革后生产甲产品的过程中记录的产 量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对 应数据,根据表中数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

m

7 6 8 2 15、将正整数 1,2,3,? 按照如图的规律排列,则 200 应在第______列。 1 5 3 9 4 2 10 16、若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1)
内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是__________。

? ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 m 的值为_________。 y

15 14 13 12 11
? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题 10 分) 已知复数 z ? (1 ? i)a 2 ? 3a ? 2 ? i(a ? R) 。 (1)若 z ? z ,求 | z | ; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的取值范围。

18、 (本小题 12 分) 请考生在以下两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 (Ⅰ)选修 4 ?1 几何证明选讲 如图,已知 PA 是⊙ O 的切线, A 是切点,直线 PO 交⊙ O 于 B 、 C 两点, D 是 OC 的 中点,连接 AD 并延长交⊙ O 于点 E ,若 PA ? 2 3 , ?APB ? 30 ? 。 (1)求 ?AEC 的大小; (2)求 AE 的长。 (Ⅱ)坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 x O y中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为

? x ? 3 cos? ( ? 为参数) 。 ? ? y ? sin ?
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 ( 4,

?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值及此时 Q 的坐标。

19、 (本小题 12 分) 淘宝卖家在某商品的所有买家中,随机选择男女买家各 50 名进行调查,他们的评分等级 如下表: 评分等级 女(人数) 男(人数) [0,1] 2 3 (1,2] 7 9 (2,3] 9 18 (3,4] 20 12 (4,5] 12 8

规定:评分等级在 [0,3] 内为不满意该商品,在 (3,5] 内为满意该商品。完成下列 2? 2 列 联表并帮助卖家判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该商品与性别有关 系? 满意该商品 不满意该商品 总计 女 男 总计 参考数据:

P( K 2 ? k ) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K 2 ? 20、 (本小题 12 分)

n(ad ? bc) ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

证明:若 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 ,则

b 2 ? ac ? 3。 a

21、 (本小题 12 分) 请考生在以下两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 A (Ⅰ)选修 4 ?1 几何证明选讲 E 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 ? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M 。 O (1)求证: DE 是圆 O 的切线; M (2)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB 。 (Ⅱ)坐标系与参数方程 B D 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴

C

? 3 x? t?m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) 。 1 ?y ? t ? 2 ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)设点 P ( m,0) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,且 | PA | ? | PB |? 1 ,求 m 的值。
22、 (本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x(k ? R) 。
3 2

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 [k ,?k ] 上的最小值 m 和最大值 M 。

四平市第一高级中学 2014-2015 学年度下学期期末考试
高二数学(文科)试卷参考答案
一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 13. ? 1 ? i 三、解答题 17、【解】 由题意知 z ? (1 ? i)a 2 ? 3a ? 2 ? i ? a 2 ? 3a ? 2 ? (1 ? a 2 )i 。 (1)由 z ? z 知, 1 ? a ? 0 ,故 a ? ?1 。 当 a ? 1 时, | z |? 0 ;当 a ? ?1 时, | z |? 6 。??????????? 5?
2

2 D

3 D

4 A 14. 3

5 C

6 A

7 B 15. 20

8 C

9 B

10 A

11 A

12 C

16. [1, )

3 2

(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于 0 ,即 ? 即?

2 ? ?a ? 3a ? 2 ? 0 , 2 ? 1 ? a ? 0 ?

?a ? 2或a ? 1 ,所以 ? 1 ? a ? 1 。??????????????? 10? ?? 1 ? a ? 1

18、 【解】 (Ⅰ) (1)连接 AB ,因为 ?APO ? 30? ,所以 ?AOB ? 60? 。 因为 OA ? OB ,所以 ?AB 0 ? 60 ? 。 因为 ?ABC ? ?AEC ,所以 ?Aec ? 60? 。????????? 6? (2)由条件知 A0 ? 2 ,过 A 作 AH ? BC 于 H , AH ? 3 。 在 Rt ?AHD 中, HD ? 2 ,所以 AD ? 3 ? 22 ? 7 。 因为 BD ? DC ? AD ? DE ,所以 DE ? 所以 AE ? AD ? DE ? (Ⅱ) (1)把极坐标系下的点 P (4,

3 7。 7

H

) 化为直角坐标,得 P(0,4) 。 2 因为点 P 的直角坐标 (0,4) 满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上。?????????????????????? 3? (2)因为点 Q 在曲线 C 上,则 Q 的坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) 。 从而点 Q 到直线 l 的距离为:

?

10 7 。?????????????? 12? 7

2 cos( ? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos( ? ? ) ? 2 2 。 6 2 2 ? 5? ? 2k? , k ? Z 时, d 取得最小值 2 。?? 9 ? 当 cos( ? ? ) ? ?1 即 ? ? 6 6 1 3 1 3 此时 cos? ? ? , sin ? ? , x ? 3 cos ? ? ? , y ? sin ? ? 。 2 2 2 2 3 1 即点 Q 的坐标为 Q ( ? , ) 。?????????????????? 12? 2 2

?

19、 【解】 满意该商品 女 男 总计 经计算 K 的观测值 k ?
2

不满意该商品 18 30 48

总计 50 50 100 ?????? 4?

32 20 52

100(32? 30 ? 18? 20) 2 ? 5.769 ? 3.841??????? 10? 52? 48? 50? 50

所以能够在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该产品与性别有关系。?? 12? 20、 【证明】 因为 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 ,所以 a ? 0, c ? 0, b ? ?a ? c 。??????? 2?

b 2 ? ac 欲证 ? 3 ,只需证 b2 ? ac ? 3a ,只需证 b2 ? ac ? 3a 2 , a 2 2 2 2 即证 (?a ? c) ? ac ? 3a ,整理得 2a ? ac ? c ? 0 。
只需证 (2a ? c)(a ? c) ? 0 。????????????????????? 10? 因为 a ? b ,所以 2a ? c ? a ? a ? c ? a ? b ? c ? 0 , 又因为 a ? 0, c ? 0 ,所以 a ? c ? 0 。故 2a ? ac ? c ? 0 ,得证。????? 12?
2 2

21、 【解】 (Ⅰ) (1)连接 OE ,因为点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点, 所以 OD //

1 AC ,所以 ?A ? ?BOD , ?BOD ? ?EOD 。?????? 2? 2

在 ?EOD 和 ?BOD 中, 因为 OE ? OB , ?BOD ? ?EOD , OD ? OD , 所以 ?EOD ? ?BOD 。?????????????????????? 4? 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? ,即 OE ? ED 。 因为 E 是圆 O 上一点,所以 DE 是圆 O 的切线。??????????? 6 ? (2)延长 DO 交圆 O 于点 F 。 因为 ?EOD ? ?BOD ,所以 DE ? DB 。 因为点 D 是 BC 的中点,所以 BC ? 2 DB 。 因为 DE, DB 是圆 O 的切线,
2 所以 DE ? DB ,所以 DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE 。

A

F
O

E

M
B D
C

因为 AC ? 2OD , AB ? 2OF , 所以 DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF。 因为 DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线,
2 所以 DE ? DM ? DF ,所以 DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB 。???? 12?

(Ⅱ) (1)由 ? ? 2 cos? ,得 ? 2 ? 2? cos? ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 。??????????? 2?

? x? ? ? 由? ?y ? ? ?

3 t?m 2 ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , 1 t 2

所以直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 。????????????? 5 ?

? x? ? ? (2)将 ? ?y ? ? ?

3 t?m 3 1 2 代入 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 ,得 ( t ? m ? 1) 2 ? ( t ) 2 ? 1 , 2 2 1 t 2

整理得: t 2 ? 3(m ?1)t ? m2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,即 3(m ?1) 2 ? 4(m2 ? 2m) ? 0 ,解得: ? 1 ? m ? 3 。 设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1t2 ? m2 ? 2m 。??????????? 9 ? 又直线 l 过点 P ( m,0) ,由上式及 t 的几何意义得:

| PA | ? | PB |?| t1t2 |?| m2 ? 2m |? 1,得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都满足条件,
因此实数 m 的值为 m ? 1 或 m ? 1 ? 2 或 m ? 1 ? 2 。???????? 12? 22、 【解】

f ?( x) ? 3x 2 ? 2kx ? 1 。?????????????????????? 2?
2 (1)当 k ? 1 时, f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 , ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0 ,

所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。????????????? 4? (2)当 k ? 0 时,对 ?x ?[k ,?k ] ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x 2 ? 1)(x ? k ) ? 0 ,
故 f ( x) ? f (k ) 。?????????????????????? 7 ?

f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )(x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[(x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0 。故 f ( x) ? f (?k ) 。???????? 10?
所以函数 f ( x) 在 [k ,?k ] 上的最小值 m ? f (k ) ? k , 最大值 M ? f (?k ) ? ?2k ? k 。??? 12?
3


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