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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题一 第2讲 不等式及线性规划训练 文


第2讲

不等式及线性规划

一、选择题 1.已知 x>-1,则函数 y=x+ A.-1 B.0 1

x+1

的最小值为( C.1

) D.2

解析 ∵x>-1,∴x+1>0. ∴y=x+ ≥2 1

x+1

(x+1)+

1

x+1

-1,

(x+1)·

1 -1=1, x+1 ,即 x=0 时取等号.

当且仅当 x+1= 答案 C

1

x+ 1

2.(2015·成都模拟)若点 A(m, n)在第一象限, 且在直线 + =1 上, 则 mn 的最大值是( 3 4 A.3 B.4 C.7 D.12

x y

)

解析 因为点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,所以 m,n∈R+,且 + =1, 3 4 3 4 + 3 4 所以 · ≤( 3 4 2

x y

m n

m n

m n

)

2

?当且仅当m=n=1,即m=3,n=2时,取“=”?,所以m·n≤?1? =1, ? ? ? ? 4 3 4 2 2 3 4 ?2? ? ?
即 mn≤3,所以 mn 的最大值为 3. 答案 A

2

x-2≤0, ? ? 3.(2015·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, 则目标函数 z=3x+y 的最大值 ? ?x+2y-8≤0,
为( A.7 ) B.8 C.9 D.14

解析 作出约束条件对应的可行域,如图中阴影部分, 作直线 l: 3x+y=0, 平移直线 l 可知, 经过点 A 时, z=3x+y 取得最大值, 由?
? ?x-2=0,

?x+2y-8=0, ?

得 A(2,3),故 zmax=3×2+3=9.选 C.

答案 C
1

4.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ (x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

解析 ∵x>0,y>0, ∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号). 又由 x+2 2xy≤λ (x+y)可得 λ ≥ 而

x+2 2xy , x+y

x+2 2xy x+(x+2y) ≤ =2, x+y x+y

∴当且仅当 x=2y 时,? 答案 B

?x+2 2xy? ? =2.∴λ 的最小值为 2. ? x+y ?max

2x+y≤10, ? ? 5.(2015·四川卷)设实数 x,y 满足?x+2y≤14,则 xy 的最大值为( ? ?x+y≥6, A. 25 2 49 B. 2 C.12 D.16

)

1 1?2x+y?2 1?10?2 25 5 解析 xy= ×2xy≤ ? ≤ ? ? = ,当且仅当 x= ,y=5 时,等号成立,把 x ? 2 2 2 2? 2 2 ? 2? ? 5 25 = ,y=5 代入约束条件,满足.故 xy 的最大值为 . 2 2 答案 A 二、填空题 6.(2015·江苏卷)不等式 2 解析 不等式 2
x2 ? x
x2 ? x

<4 的解集为________.

<4?x -x<2?-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2).

2

答案 (-1,2) 7.(2015·北京卷)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点, 则 z=2x+3y 的最大值为________.

2 1 2 z 解析 z=2x+3y, 化为 y=- x+ z, 当直线 y=- x+ 在点 A(2, 1)处时, z 取最大值, 3 3 3 3

z=2×2+3=7.

2

答案 7 8.(2015·重庆卷)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴( a+1+ b+3) =a+b+4+2 a+1 b+3≤a+b+4
2

7 3 2 2 +( a+1) +( b+3) =a+b+4+a+b+4=18,当且仅当 a= ,b= 时,等号成立, 2 2 则 a+1+ b+3≤3 2,即 a+1+ b+3最大值为 3 2. 答案 3 2 三、解答题 9.已知函数 f(x)= 2x . x +6
2

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx -2x+6k<0.
2

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集, 得 kx -2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= ,即 k=- . k 5 (2)因为 x>0, f(x)= 2x 2 2 6 = ≤ = , 当且仅当 x= 6时取等号.由已知 f(x)≤t x2+6 6 2 6 6 x+ x 6 ? 6 ? ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. 6 6 ? ?
2

对任意 x>0 恒成立,故 t≥

10.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- 1 2 2 (1+k )x (k>0)表示的 20

曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
3



1 2 2 (1)令 y=0,得 kx- (1+k )x =0, 20

由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10, 2= 1+k 1 2 k+

k

当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 2 2 2 2 2 使 3.2=ka- (1+k )a 成立?关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有正根?判别式 Δ 20 =(-20a) -4a (a +64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 1 3 2 11.已知函数 f(x)= ax -bx +(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值, 3 且 0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围. (1)证明 求函数 f(x)的导数 f′(x)=ax -2bx+2-b. 由函数 f(x)在 x=x1 处取得极大值, 在 x=x2 处取得极小值, 知 x1,x2 是 f′(x)=0 的两个根, 所以 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 时,f(x)为增函数,f′(x)>0, 由 x-x1<0,x-x2<0 得 a>0.
2 2 2 2

f′(0)>0, ? ? (2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2 等价于?f′(1)<0, ? ?f′(2)>0,
2-b>0, 2-b>0, ? ? ? ? 即?a-2b+2-b<0, 化简得?a-3b+2<0, ? ? ?4a-4b+2-b>0, ?4a-5b+2>0.

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线:

4

?4 6? 2-b=0, a-3b+2=0, 4a-5b+2=0 所围成的△ABC 的内部, 其三个顶点分别为 A? , ?, ?7 7?
B(2,2),C(4,2). z 在这三点的值依次为 ,6,8.
16 7

?16 ? 所以 z 的取值范围为? ,8?. ?7 ?

5


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