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物理竞赛作图法


八、作图法
方法简介
作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像,将物理问题转 化成一个几何问题,通过几何知识求解,作图法的优点是直观形象,便于定性分析,也可 定性计算,灵活应用作图法会给解题带来很大方便。

赛题精析
例 1:如图 8—1 所示,细绳跨过定滑轮,系住一个质量为 m 的球,球靠在光滑竖直墙 上,当

拉动细绳使球匀速上升时,球对墙的压力将( ) A、增大 B、减小 C、先增大后减小 D、先减小后增大 解析:球在三个力的作用下处于平衡。当球上升时,θ 角增大,可用动态的三角形定 性分析,作出圆球的受力图,如图 8—1 甲所示。从图可见,当球上升时,θ 角增大,墙对 球的支持力增大,从而球对墙的压力也增大。故选 A 正确。

例 2:用两根绳子系住一重物,如图 8—2 所示。绳 OA 与天花板间夹角 θ 不变,当用 手拉住绳子 OB , 使绳 OB 由水平方向转向竖直方向的过程中, 绳所受的拉力将 OB ( A、始终减小 B、始终增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小 )

解析:因物体所受重力的大小、方向始终不变,绳 OA 拉力的方向始终不变,又因为 物体始终处于平衡状态,所受的力必然构成一个三角形,如图 8—2 甲所示,由图可知 OB 绳受的拉力是先减小后增大。可知答案选 C 例 3:如图 8—3 所示,质量为 m 的小球 A 用细绳拴在天花板上,悬点为 O ,小球靠 在光滑的大球上,处于静止状态。已知:大 球的球心 O′在悬点的正下方, 其中绳长为 l , 大球的半径为 R ,悬点到大球最高点的距离 为 h。求对小球的拉力 T 和小球对大球的压 力。 解析: 力的三角形图和几何三角形有联系, 若两个三角形相似,则可以将力的三角形与
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几何三角形联系起来,通过边边对应成比例求解。 以小球为研究对象, 进行受力分析, 如图 8—3 甲所示, 小球受重力 mg 、 绳的拉力 T 、 大球的支持力 N ,其中重力 mg 与拉力 T 的合力与支持力 N 平衡。观察图中的特点,可 以看出力的矢量三角形(灰色)与几何三角形 AOO′相似,即:
T mg mg N = , = l h?R R h?R

所以绳的拉力:T =

l mg h?R

R mg h?R 例 4:如图 8—4 所示,质点自倾角为 α 的斜面上方定点 O

小球对大球的压力:N′= N =

沿光滑的斜槽从静止开始下滑, 为使质点在最短时间内从 O 点 到达斜面,斜槽与竖直方向的夹角 β 应等于多少? 解析:如图 8—4 甲所示,以经过 O 点的竖直线上的一点 O′ 为圆心,OO′ 为半径 作圆,并使该圆与斜面恰好相切于 A 点,与 OO′延长线交于 B 点。已知从 O 点由静止 出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点,到达圆周上不同点 所需时间相等,显然,质点沿 OA 方向从静止开始滑到斜面 上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。 连接 O′A ,由几何关系得: ∠AO′B = α 所以所用时间最短时,斜槽与竖直方向的夹角:
? 2 (所题也可用极限法求解,读者可试试。 )

β=

例 5:一条小河,河水以 v1 = 5m/s 的速度匀速流动,一条小船在静水中的速度为 v2= 3m/s。欲使小船渡河的航程最短,小船的船头应指向何方向? 解析:若 v1<v2,可垂直渡河,船程最短。但本题 v1>v2,小船就不能垂直渡河。但欲 使航程最短,则应使合速度方向与河岸夹角最大。 根据矢量合成的三角形法,v1、v2、v 合,构成封闭三角形,作图如 8—5 所示,作有向 线段 OA 表示河水流速 v1, 以表示 v2 的有向长度为 半径,以 A 为圆心画圆,过 O 该圆的切线,切点为 B ,作有向线段 AB ,有向线段 AB 的方向就是所 求的方向。由直角三角形 AOB ,得: cosθ =
v2 3 = v1 5

所以:θ= 53° 即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成 53°角的方向。 例 6:一木箱重为 G ,与地面动摩擦因数为 μ ,现用斜向上的力 F 拉木箱使之沿水平 地面匀速前进,如图 8—6 所示。求拉力 F 与水平方向夹角 θ 为何值时拉力最小?这个最
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小值多大?

解析:木箱受重力 G 、弹力 N 、摩擦力 f 及拉力 F 四个力的作用,但此题也可以把 木箱看做只受三个力作用,即重力 G 、拉力 F 和摩擦力 f 与支持力 N 的合力 F′,设 F′ 与 N 的夹角为 φ ,则 tanφ =
f = μ ,再应用矢量三角形求解。 N

木箱受力情况如图 8—6 甲所示,已知 G 的大小和方向,F′的方向,显然,要使封闭 的矢量三角形中 F 值最小,只有由 G 的端点作 F′的作用线的垂线时,F 值最小,如图 8 —6 乙所示,此时 F 的最小值为 Fmin = Gsinφ 其中 φ = arctanμ ,所以最小的拉力 F 与水平方向的夹角为 θ = φ = arctanμ。F 的最小值 可以表达为:Fmin =
? 1 ? ?2

G 。

例 7: 如图 8—7 所示, 一带电质点, 质量为 m , 电量为 q , 以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示 的区域,为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出,可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁 场区域的最小半径。重力忽略不计。 解析: 当带电质点以垂直于磁场方向的速度 v 进入磁场, 在磁场中将做匀速圆周运动,
1 由此要从 a 点进入从 b 点射出其圆轨道为 圆弧,因而可用作图法求解。 4 过 a 点作平行 Ox 轴的直线,过 b 作平行 Oy 的直线,两直线相交于 c 点,如图 8—7 1 甲所示,可见只要能保证带电质点的 圆轨道处在匀强磁场中, 4 即可使带电质点从 b 点射出,由此可知,磁场区域有一最小值, 1 其最小半径为 圆形轨道两个端点连线的一半,即: 4 mv v2 由 qvB = m 可得粒子在磁场中的偏转半径为:r = qB r

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所加磁场的最小半径为:R =

2mv 2 r= 2qB 2

例 8:图 8—8 中 AB 表示一横放的平面镜,P1P2 是水 平放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜) ,MN 是屏, 三者互相平行,屏 MN 上的 ab 表示一条直缝(即 a、b 之 间是透光的) 。某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置见 图) ,可通过平面镜看到米尺上的一部分刻度。试在本题 的图上用三角板作图求出可看到的部分, 并在 P1P2 上把这 部分涂以标志 。 解析:根据物像位置镜面对称可知:人眼通过平面镜看到的米尺刻度范围,好像人眼 在平面镜中的像直接去看刻度范围,不过要受到挡板 MN 的像 M′N′的阻挡,所以先将眼睛在平面镜中成像点 S′ 作出,再作出挡板 MN 在平面镜中的像 M′N′,如图 8 —8—甲,其中 a′b′是挡板上的缝 ab 在平面镜中的像, 连接 S′a′并延长交 AB 、P1P2 于 c 、d 两点,再作 S′ 和 b 的连线交 AB 于 E 点,并延长后交 P1P2 于 F 点,则 dF 即为人眼通过平面镜和挡板后能看到的刻度范围。 例 9: 光线透过空气中的平行平面厚玻璃板, 问下图 8 —9 所示四种情形中,哪一种是正确的? 解析:根据光的折射定律,光由光疏介质进入光密介 质时,光线要向着法线的方向偏析,相反时,向远离法线 的方向偏折,且在传播中光路是可逆的。

由上分析可知,B 图是正确的。 例 10:某人通过焦距为 10cm ,直径为 4.0cm 的薄凸透镜观看方格纸,每个方格的 边长为 0.3cm。他使透镜的主轴与方格纸垂 直 AB ,透镜与纸面相距 10cm ,眼睛位于 透镜主轴上离透镜 5.0cm 处。问他至多能看 到同一行上几个完整的方可格? 解析:可以用光路的可逆性来做,若在
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S 点放一点光源,则成像于 S′点,能照亮方格纸上一定面积,其直径为 x ,如图 8—10 所示,根据光路的可逆性,来自面积 x 上的方格的光经透镜折射后都能进入人眼,即能被 人看到。 由
1 1 1 + = 可得:p′=-10cm p p? f

x x 20 8 = ,所以 x = 8cm ,格数 n = = = 26.7 l 0.3 d 10 即最多能看到同一行上 26 个完整的方格。 ..

由相似三角形对应边成比例得:

例 11:凸透镜 L1 与凹透镜 L2 同轴放置, L1 左侧媒质的折射率 n , 2 右侧媒质的折射率 L 也是 n ,两透镜之间的价质折射率为 n0 ,且 n<n0。F1 是 L1 的物方焦点,F2 是 L2 的物方焦 点, F2? 是 L2 的像方焦点。有一物点 S 位于 L1 的物方焦平面上,如图 8—11 所示。 (1)画出成像光路图,求出像点 S1 的位置。简述作图的依据; (2)若 L1 的物方焦距 f1 = 20 厘米,L2 的物方焦距 f2 = 10 厘米,物点 S 离光轴的距离 为 2 厘米,问像点 S1 离光轴的距离为多少? 解析:放于焦平面上的点光源发出的光经 凸透镜折射后平行于副光轴,平行于副光轴的 平行光经凹透镜发散后,反向延长线将交一凹 透镜的副焦点,光路图如图 8—11—甲所示。 (1) 作法: ①过 S 作过光心 O 点的光线, 传播方向不改变;②过 O′点作平行于 SO 的 辅助线及过 F2 作垂直于主轴的直线(焦平面) ,两线相交于 S1(副焦点) 。平行于副光轴的 光线,经凹透镜折射后,折射线的反向延长线将通过 S1 点,即 S1 为所求的像点。 (2)由图可知:
SF1 S1 F2

=

f1 ,所以: S1 F2 = 1cm f2

即 S1 离主光轴的距离为 1cm。

针对训练
1.如图 8—12 所示,一个重为 G 的匀质球,放在光滑的斜面 上,斜面倾角为 α ,在斜面上有一光滑的斜木板挡住球处于静止 状态。如果挡板与斜面间的夹角 β 缓慢增大到挡板呈水平状态, 此过程中挡板对球的弹力 N1 和斜面对球的弹力 N2 如何变化? 2.一重为 G 的物块放在倾角为 α 的斜面上,物块与斜面间的 摩擦因数为 μ ,今在物块上的作用力为 F ,F 可与斜面成任意夹 角,如图 8—13 所示,求拉动物块沿斜面上升所需力 F 的最小值
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及对应的 θ 角。

3.如图 8—14 所示,小环 m1 、m2 能沿着一轻绳光滑地滑动,绳的两端固定于直杆 AB 的两端,杆与水平线成角度 θ。在此杆上又套一轻小环,绳穿过轻环,并使 m1 、m2 在其两边,设环与直杆的接触是光滑的,当系统平衡时,直杆与轻环两边的绳夹角为 φ , 试证明:
tan ? m1 ? m 2 = 。 tan ? m1 ? m 2

4.一条在湖面上以恒定速度行驶的船上,有一与船固定的竖直光滑墙壁。有一个小球 沿水平方向射到墙上。相对于岸,小球的速度大小为 v1 ,方向与墙的法线成 60°角,小 球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直。问船的速度应满足什 么条件。设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的。 5.F = 400N 的力拖着小船,使它沿着河中心线运动。现甲、乙两人在河两岸共同拖 船,已知甲拉力的方向与河中心线的夹角为 30°,要使两人 共同产生的效果与 F 单独作用的效果相同,乙拉力的最小值 应为多少?方向如何? 6.如图 8—15 所示,一储油圆桶,底面直径与桶高均为 d。 当桶内无油时, 从某点 A 恰能看到桶底边缘上的某点 B 。 当桶内油的深度等于桶高一半时,在 A 点沿 AB 方向看去,
d 。 由此可得油的折射率 n = ; 4 光在油中传播的速度 v = m/s(结果可用根式表示) 。

看到桶底上的 C 点, 、 相距 C B

7.要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的 像,可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO , 使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照相机, 如图 8—16 所示。图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部,白色半圆代 表人的脸部,此人正面对着照相机的镜头;有斜线的半圆代 表脑后的头发;箭头表示头顶上的帽子。图 8—16 甲为俯视 图。 若两平面镜的夹角∠AOB=72°, 设人头的中心恰好位于 角平分线 OC 上,且照相机到人的距离远大于人到平面镜的 距离。 (1)试在图 8—16 甲画出 P 的所有的像的位置并用空白 和斜线分别表示人脸和头发,以表明各个像的方位。
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(2)在图 8—16 乙的方框中画出照片上得到所有的像(分别用空白和斜线表示人脸和 头发,用箭头表示头顶上的帽子) 。 8.图 8—17 中所示是一潜望镜壳体的示意图。MN 为光线 的入口。在上方 AB 处已放置一块与纸面垂直的平面镜,它和 与纸面垂直的竖直面之间的夹角为 45°。 眼睛在观察孔 S 处观 察, CD 在 (与垂直面的夹角也是 45°) 处放置一块平面镜。 今 要使观察到的视场不受 CD 处的平面镜的限制,则平面镜 CD 至少要有多大的线度才行?要求直接在图上用作图法画出即 可,但要说明作图的步骤。 9.图 8—18 中 MN 是薄透镜的主轴,S 是发光点,S′是 它的像点。 (1)用作图法求出薄透镜的位置,标在图上; (2)分别作光路图求出两个焦点的位置,标在图上。再标明透镜的类别。

10.如图 8—19 所示,某人的眼睛在 E 处通过放大镜 L 观察标尺 M ,F1 和 F2 为 L 的 焦点。 他既能通过 L 看到 M 上的一部分刻度, 又能直接从镜外看到一部分刻度值的范围。 在作图进用①、②、… 标明你画的光线,并写出作图步骤。 11.如图 8—20 所示,凸透镜 L 的主轴与 x 轴重合,光心 O 就是坐标原点,凸透镜的 焦距为 10 厘米。有一平面镜 M 放在 y =-2 厘米、x>0 的位置,眼睛从平面镜反射的光中 看到光点 A 的像位于 A2 处,A2 的坐标见图。 (1)求出此发光点 A 的位置; (2)写出用作图法确定 A 的位置的步骤并作图。

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12.一平凸透镜焦距为 f ,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴 放置一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上,如图 8—21 所示。 (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实; (2)用计算法求出此像的位置和大小。 13.焦距均为 f 的两个凸透镜 L1 、L2 与两个平面镜 M1 、M2 放置在如图 8—22 所示的 位置。两透镜共轴,透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过两平面镜的中心,四镜的直径相 同,在主轴上有一点光源 O 。

(1)画出由光源向右的一条光线 OA ,在此光学系统中的光路; (2)分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)? 形成光源 O 的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像? 14.已知两透镜组合系统如图 8—23 所示,物经整个系统成像,像的位置大小如图所 示。试用作图法求物经 L1 所成的像的位置与大小,作出 L1 的焦点及系统的焦点位置。说 明 L1 和 L2 是什么透镜?

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15.有两个焦距分别为 f1 和 f2 的凸透镜,如果把这两个透镜做适当的配置,则可使一 垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像,如图 8—24 所示,试求出满足上述要 求的配置方案中各透镜的位置。

参考答案
1、N1 先减小后增大,N2 减小。 2、F =
mg 1? ? 2

(sinα+μcosα) ,θ=arctanμ

3、证明过程略。 4、船的行驶速度必须有沿 y 方向的分速度,亦即具有沿
1 墙壁平面法线方向的分速度,其大小为 v1 ,而沿 x 方向的 2 分速度不受限制,可取包括零在内的任意值。 5、200N ,方向与河中心线夹角 60°
3 10 10 , ×108 5 2 7、 (1)如图所示——

6、

8、 ①先作出 MN 在 AB 镜中的虚像 M′N′; ②再作出眼睛在 CD 处镜中的虚像 S′; ③将 S′与 M′N′相连,与 CD 面交于 C′D′处。 C′D′即为所求的结果。 9、如图所示—— 10. (1)作放大镜 L 端点和 E 点的连线并 交 M 于 A 点; (2) L 中心点作 LE 线的平行线 OO′; 过 (3)过 F1 作垂直于主光轴的直线(焦平 面)交 OO′直线于 B 点; (4)连接 BL 交 M 于 C 点;
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(5) A 、 、 三点关于主光轴对称点, 作 B C 可通过作图得 A′、 B′、 C′。 可见 AA′ 以外的刻度可直接看到,CC′之间的刻度可通过放大镜 L 看到,AC、A′C′之间的刻度 无法看到。

11、 (1)x =-5cm ,y = 4cm ; (2)略。 12、 (1)如图所示—— 提示: (1)平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的 组合 LM ,图中 O 为 L 的光心 O ,AOF′为主轴,F 和 F′为 L 的两个焦点,AP 为物, 作图时利用了三条特征光线。
2 1 (2)在透镜左方距离 f 处,大小为 H 。 3 3 13、 (1)如图所示——

(2)向右发出的光线: F2? 处成实像;右方无限处成虚像,F2 处成实像;P 处(M1 左
f 方 处主轴上)成虚像。向左发出的光线:F1 处成实像;左方无穷远处成虚像;F′处成 2 f 实像;Q 处(M2 右方 处主轴上)成虚像。 2 14、略。 15、略。

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