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2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷二


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阶段示范性金考卷二
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. i3 1 .已知 i =-1 ,则复数 z = 在复平面内对应的点位于 i-i2014
2

(

r />) A.第一象限 C.第三象限 解析:z= B.第二象限 D.第四象限

-i -i?1-i? -i-1 1 1 1 = = 2 =-2-2i,对应点为(-2, i+1 ?1+i??1-i?

1 -2). 答案:D π 3 2.已知 sin(2+θ)=5,则 cos(π-2θ)=( 12 A.25 7 C.-25 12 B.-25 7 D.25 )

π 3 解析:依题意得 sin(2+θ)=cosθ=5,cos(π-2θ)=-cos2θ,由 3 7 二倍角公式可得 cos2θ=2cos2θ-1=2×(5)2-1=-25,所以 cos(π- 7 2θ)=-cos2θ=25,故选 D. 答案:D 3.已知向量 a=(3,-1),向量 b=(sinα,cosα) ,若 a⊥b,则 sin2α-2cos2α 的值为( 7 A.10
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) 17 B.-10
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17 C.10

7 D.-10

1 解析:由 a⊥b 可得 3sinα=cosα,故 tanα=3;sin2α-2cos2α= sin2α-2cos2α tan2α-2 17 =-10. 2 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 答案:B 4.已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 → → → → → → Q 是 AC 边上的动点,且AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R,则BQ· CP 的最大值为( )

3 A. 2 3 C. 8

3 B. -2 3 D. -8

→ → → → → → 解析:BQ· CP=(BA+AQ)· (CA+AP) → → → → =[BA+(1-λ)AC]· (CA+λAB) → → → → → → 2 2 =[AB· AC-λAB +(λ-1)AC +λ(1-λ)AB· AC] =(λ-λ2+1)×1×1×cos60° -λ+λ-1

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1 1 =2(-λ2+λ)-2 1 1 3 =-2(λ-2)2-8(λ≤R). → → 1 3 当 λ=2时,则BQ· CP的最大值为-8.故选 D 项. 答案:D π 5.将函数 y=sin2x 的图象向右平移4个单位,再向上平移 1 个单 位,所得函数图象对应的解析式为( π A.y=sin(2x-4)+1 C.y=2sin2x ) B.y=2cos2x D.y=-cos2x

π π 解析:函数 y=sin2x 的图象向右平移4个单位得到 y=sin2(x-4) π =sin(2x-2)=-cos2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得函数图象 对应的解析式为 y=-cos2x+1=-(1-2sin2x)+1=2sin2x,故选 C. 答案:C π π 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2) 的图象关于直线 x π π =3对称,且 f(12)=0,则当 ω 取最小值时 φ=( π A.-3 π C.6 π B.-6 π D.3 )

π π 1 2π 解析: 解得 ω≥2, 故当 ω 取最小值时, f(x)=sin(2x 3-12≥4× ω , π π π π π +φ),根据 f(12)=0,得 sin(6+φ)=0,由于-2<φ<2,所以 φ=-6.
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答案:B 7.已知向量 a,b 满足 a· (a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与 b 的夹角为( π A.6 2π C. 3 ) π B.3 5π D. 6

解析:由 a· (a+b)=3 得,|a|2+a· b=3,又|a|=2,所以 a· b=- a· b 1 2π 1.cos〈a,b〉= =-2.故向量 a 与 b 的夹角为 3 . |a|· |b| 答案:C π 3π 8.若函数 f(x)=sin(2x-4)+cos(2x+ 4 ),则其一个单调递增区 间为( ) π B.[0,2] π D.[-2,0]

A.[0,π] C.[-π,0]

π 3π π π 解析:f(x)=sin(2x-4)+cos(2x+ 4 )=sin(2x-4)-cos(2x-4)= π 2sin(2x-2)=- 2cos2x, 由于 y=cosx 的一个单调递减区间是[0, π], π 所以 f(x)的一个单调递增区间为[0,2]. 答案:B π 9.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|<2)的部分图象如图 π π 所示,如果 x1,x2∈(-6,3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( )

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1 A.2 3 C. 2

2 B. 2 D.1

π π 解析:由图象可知 T=2[3-(-6)]=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x π π π π +φ), 又 f(x)过点(-6, 0),|φ|<2, 代入可得 φ=3, ∴f(x)=sin(2x+3). π π π ∵x1,x2∈(-6,3),且 f(x1)=f(x2),∴x1+x2=6, 2π 3 ∴f(x1+x2)=sin 3 = 2 . 答案:C → → → 10. 若点 M 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足|3AM-AB-AC |=0,则△ABM 与△ABC 面积之比等于( 3 A.4 1 C.3 1 B.4 1 D.2 )

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→ → → → → → → 1 → 解析: 由|3AM-AB-AC|=0 得 3AM-AB-AC=0, 即AM=3(AB → → → → → 1 1 +AC).如图,AB+AC=AD,由于 S△ABC=2S?ABDC=S△ABD,而AM=3 → 1 1 AD,所以 S△ABM=3S△ABD=3S△ABC. 答案:C π π 3 π 11.若 x∈[0,2],sin(x-6)=5,则 sin(2x+6)的值为( 12 A.25 24 C.25 13 B.25 7 D.25 )

π 3 π π 3 3 1 解析:由 sin(x-6)=5得,sinxcos6-cosxsin6=5, 2 sinx-2cosx 3 1 1 3 9 1 1-cos2x 1 3 =5, 两边平方得2sin2x+4- 4 sin2x=25, ∴2· 2 +4- 4 sin2x 9 3 1 7 π 7 =25,即 sin2x·2 +cos2x· = ,∴ sin(2 x + ) = 2 25 6 25. 答案:D 12. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 3(acosB
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+bcosA)=2csinC,a+b=4(a,b 在变化),且△ABC 的面积最大值为 3,则此时△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 ) B.直角三角形 D.正三角形

解析: 由正弦定理得 3(sinAcosB+cosAsinB)=2sin2C, 即 3sin(A 3 +B)= 3sinC=2sin2C,即 sinC= 2 ,C=60° 或 120° ,△ABC 的面 1 3 3 a+b 积 S=2absinC= 4 ab≤ 4 ( 2 )2= 3,当且仅当 a=b 时等号成立, 此时 a=b=2,选择 C. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上) x 13.已知向量 a=(8,2),b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a +b),则 x=________. x 解析:a-2b=(8-2x,2-2),2a+b=(16+x,x+1),由题意得 x (8-2x)(x+1)=(2-2)(16+x),整理得 x2=16,又∵x>0,∴x=4. 答案:4 → 1 3 → 14.已知向量 a=(-2, 2 ),OA=a-b,OB=a+b,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 则△OAB 的面积为________. 解析:由题意得,|a|=1,又△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直 → → → → → → 角三角形,所以OA⊥OB,|OA|=|OB|.由OA⊥OB得(a-b)· (a+b)=|a|2 → → -|b| =0,所以|a|=|b|,由|OA|=|OB|得|a-b|=|a+b|,所以 a· b=0.
2
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2 2 2

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→ → 1 所以|a+b| =|a| +|b| =2, 所以|OB|=|OA|= 2, 故 S△OAB=2× 2× 2 =1. 答案:1 15.[2013· 海淀区期末练习]函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,φ∈R) 的部分图象如图所示,那么 f(0)=________.

π 解析:由图可知,A=2,f(3)=2, 2π 2π ∴2sin( 3 +φ)=2,sin( 3 +φ)=1, 2π π π ∴ 3 +φ=2+2kπ(k∈Z),φ=-6+2kπ(k∈Z), π 1 ∴f(0)=2sinφ=2sin(-6+2kπ)=2×(-2)=-1. 答案:-1 16 .已知 3a + 4b + 5c = 0 ,且 |a| = |b| = |c| = 1 ,则 a· (b + c) = ________. 解析:依题意得|3a|=3,|4b|=4,|5c|=5,又 3a+4b+5c=0, 所以向量 3a、4b、5c 首尾相接构成一个直角三角形,因此有 a· b=0, 3 a· (b+c)=a· b+a· c=a· c=|a|· |c|cosθ=cosθ=-5(其中 θ 为向量 a 与 c 的夹角).
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3 答案:-5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)[2014· 河北高三质检]已知在△ABC 中, 3 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ 2 c=b. (1)求角 A; (2)若 a=1,且 3c-2b=1,求角 B. 3 3 解:(1)由 acosC+ 2 c=b,得 sinAcosC+ 2 sinC=sinB, ∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 3 3 π ∴ 2 sinC=cosAsinC,又 sinC≠0,∴cosA= 2 ,A=6. (2)由 3c-2b=1,得 3c-2b=a,即 3sinC-2sinB=sinA. π 5 又 A=6,∴C=6π-B, 5 1 ∴ 3sin(6π-B)-2sinB=2, π 1 整理得 cos(B+6)=2. 5 π π ∵0<B<6π,∴6<B+6<π. π π π ∴B+6=3,即 B=6. 3 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3sinxcosx+sin2x-2,将 π 函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后得函数 g(x)的图象, 设△ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c;
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(1)若 f(C)=0,c=6,2sinA=sinB,求 a,b 的值. (2)若 g(B)=0 且 m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求 m· n 的取值范围. 3 3 1 3 解:(1)f(x)= 3sinxcosx+sin2x-2= 2 sin2x+2(1-cos2x)-2= 3 1 π sin2 x - cos2 x - 1 = sin(2 x - 2 2 6)-1. π π π f(C)=sin(2C-6)-1=0,∴sin(2C-6)=1,∴C=3. ∵2sinA=sinB,由正弦定理可得 b=2a ① π 由余弦定理知:a2+b2-2abcos3=36,即 a2+b2-ab=36 ② 由①②解得:a=2 3,b=4 3. π (2)由题意知 g(x)=sin(2x+6)-1, π π π ∴g(B)=sin(2B+6)-1=0,∴sin(2B+6)=1,∴B=6, 3 3 1 3 于是 m· n=cosA+ 2 (sinA- 3 cosA)=2cosA+ 2 sinA=sin(A+ π 6 ), π 5π π π ∵B=6,∴A∈(0, 6 ),得 A+6∈(6,π). π ∴sin(A+6)∈(0,1],即 m· n∈(0,1]. 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,已知(2a+b)cosC+ccosB=0. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=4,求使△ABC 面积取得最大值时的 a,b 的值. 解:(1)由已知及由正弦定理得(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,
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所以 2sinAcosC+(sinBcosC+sinCcosB)=0, 所以 sin(B+C)+2sinAcosC=0, 即 sinA+2sinAcosC=0. 1 2π 因为 0<A<π,sinA>0,所以 cosC=-2,所以 C= 3 . 1 3 (2)因为△ABC 的面积为 S=2absinC= 4 ab,若使得 S 取得最大 值,只需要 ab 取得最大值. 由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC, 16 即 16=a2+b2+ab≥3ab,故 ab≤ 3 ,当且仅当 a=b 时取等号. 4 3 故使得△ABC 面积取得最大值时 a、b 的取值为 a=b= 3 . 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3sinωx· cosωx+cos2ωx- 1 π ( ω >0) 的图象上两相邻对称轴间的距离为 2 4. (1)求 f(x)的单调递减区间; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位,再将所得图象上各点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求 π g(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值. cos2ωx+1 1 3 解:(1)f(x)= 3sinωx· cosωx+cos2ωx-2= 2 sin2ωx+ 2 1 π -2=sin(2ωx+6), π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T=2, T=2ω=ω=2, ω=2, 所以 f(x) π =sin(4x+6).
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π π 3π kπ π kπ π 由 2kπ+2≤4x+6≤2kπ+ 2 (k∈Z), 得 2 +12≤x≤ 2 +3(k∈Z), kπ π k π π 所以函数 f(x)的单调递减区间为[ 2 +12, 2 +3](k∈Z). π π π (2)将 f(x)的图象向右平移8个单位后,得到 y=sin[4(x-8)+6]= π sin(4x-3)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 π π 倍,纵坐标不变,得到 y=sin(2x-3)的图象.所以 g(x)=sin(2x-3). π π π 2π 3 π 因为 0≤x≤2,所以-3≤2x-3≤ 3 ,- 2 ≤sin(2x-3)≤1, π π 3 当 2x-3=-3,即 x=0 时,g(x)min=- 2 ; π π 5π 当 2x-3=2,即 x=12时,g(x)max=1. 21. (本小题满分 12 分)[2014· 长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四 棵高大的银杏树,记作 A、B、P、Q,欲测量 P、Q 两棵树和 A、P 两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近,现可测得 A、B 两点间的距离为 100 m,如图,同时也能测量出∠PAB=75° , ∠QAB=45° ,∠PBA=60° ,∠QBA=90° ,则 P、Q 两棵树和 A、P 两棵树之间的距离各为多少?

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解:在△PAB 中,∠APB=180° -(75° +60° )=45° , AP 100 由正弦定理得sin60° =sin45° ,解得 AP=50 6. 在△QAB 中,∠ABQ=90° ,∴AQ=100 2. 又∠PAQ=75° -45° =30° , 由余弦定理得 PQ2= AP2+AQ2-2AP· AQ· cos∠PAQ= (50 6)2+ (100 2)2-2×50 6×100 2×cos30° =5000, ∴PQ= 5000=50 2. ∴P、Q 两棵树之间的距离为 50 2 m,A、P 两棵树之间的距离 为 50 6 m. 22.(本小题满分 12 分)设角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,已 知向量 m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且 m ⊥n. (1)求角 C 的大小; B (2)若向量 s=(0,-1),t=(cosA,2cos2 2 ),求|s+t|的取值范围. 解:(1)由题意得 m· n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0, 即 sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,设 a,b,c 为内角 A,B,C 所对的边长,由正弦定理得 c2=a2+b2-ab, a2+b2-c2 1 再由余弦定理得 cosC= 2ab =2,∵0<C<π, π ∴C=3. B (2)∵s+t=(cosA,2cos2 2 -1)=(cosA,cosB), ∴|s+t|2=cos2A+cos2B 2π =cos2A+cos2( 3 -A)
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4π 1+cos? 3 -2A? 1+cos2A = + 2 2 1 3 =4cos2A- 4 sin2A+1 1 π =-2sin(2A-6)+1, 2π π π 7π ∵0<A< 3 ,∴-6<2A-6< 6 , 1 π ∴-2<sin(2A-6)≤1, 1 5 2 5 ∴2≤|s+t|2<4,∴ 2 ≤|s+t|< 2 .

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