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直线方程的几种形式


五年制师范学校统编教材《数学》

课题: 直线方程的几种形式
一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程; 给出直线的点斜式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并 利用直线的截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练学 生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数 形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情 况,教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上. 2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点 的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k,并且经过点 P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎样求 直线 l 的方程?

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设点 P(x,y)是直线 l 上不同于 P1 的任意一点,根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异:点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点 P1 不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线 l 的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推, 可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上,所以这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的 直线 l 的方程. 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 当直线的斜率为 0°时(图 1-25),k=0,直线的方程是 y=y1.

当直线的斜率为 90°时(图 1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但 因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1.

(二)斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 b,求直线的方程.
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这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率 k,求直线的方程,是点斜式 方程的特殊情况,代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它 在 y 轴上的截距确定的. 当 k≠0 时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中 k 和 b 的几何意义就是分 别表示直线的斜率和在 y 轴上的截距. (三)两点式 已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就 是直线的方程是可求的,请同学们求直线 l 的方程.

当 y1≠y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标 轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了, 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到,足码的规律完全一样. (四)截距式 例1 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0,b≠0),求直线 l 的方程.

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成. 解:因为直线 l 过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得
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就是

学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式. 引导学生给方程命名:这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,叫做直线方程 的截距式. 对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式 求直线的方程;(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这 一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示. (五)例题 例2 三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图 1-27),求这个三角形三边所 在直线的方程.

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫. 解:直线 AB 的方程可由两点式得:



3x+8y+15=0
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这就是直线 AB 的方程. BC 的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:

由斜截式得:



5x+3y-6=0.

这就是直线 BC 的方程. 由截距式方程得 AC 的方程是



2x+5y+10=0.

这就是直线 AC 的方程. (六)课后小结 (1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以 区别. (2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用. (3)要注意四种形式方程的不适用范围. 五、布置作业:P43 2(1.2.3);5 布置作业: 补充作业: 补充作业: 1.写出下列直线的点斜式方程,并画出图形: (1)经过点 A(2,5),斜率是 4;

(4)经过点 D(0,3),倾斜角是 0°;
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(5)经过点 E(4,-2),倾斜角是 120°. 解:

2.已知下列直线的点斜方程,试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜 角:

解: (1)(1,2),k=1,α=45°;

(3)(1,-3),k=-1,α=135°;

3.写出下列直线的斜截式方程:

(2)倾斜角是 135°,y 轴上的截距是 3.

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4.求过下列两点的直线的两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图. (1)P1(2,1)、P2(0,-3); (2)A(0,5)、B(5,0); (3)C(-4,-3)、D(-2,-1). 解:

(图略) 六、板书设计

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