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1.3.1 函数的单调性(2)


1.3.1 函数的单调性(2)

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定义:一般地,设函数f ( x )的定义域为I :
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 那么就说函数f ( x )在区间D上是增函数(减函数).

值x1 , x2,当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 ))

证明函数单调性的方法步骤:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2. 作差f(x1)-f(x2); 3. 变形(通常是因式分解和配方); 4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论(即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的 单调性).

2 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 3( x ?[?2, 2]) 图象, 例1、画出函数 并根据图象说出f(x)的单调区间,以及在每一单调区 间上,f(x)是增函数还是减函数.

解:f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 4 ( x ? [?2, 2]) 由f(x)的图象知该函数单调区间有: [-2 , 1] , [1 , 2]. 其中f(x)在区间[-2 , 1]上是增函数, 在区间[1 , 2]上是减函数. f(x)有最大值 4; 答:当x=1时, f(x)有最小值 -5. 当x=-2时,

y
4 3 2 1 -2 -1

o
-1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

x

问:f(x)在[-2 , 2]上有最大(小)值吗?

例2、若f(x)=-x2+2ax+1与g(x)=

a 在 x ?1

[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( A、(-1,0)∪(0,1) B、(0,1) C、(-1,0)∪(0,1] D、(0,1]

D

)

练习2、若函数f(x)=|ax2-2x+1|有四个单调区间, 则实数a的取值范围是( A ) A、(-∞,0)∪(0,1) B.(1,+∞) C、(-∞,-1) D.(0,+∞)

2x ?1 例3、已知函数 f ( x) ? 。 x

(1)判断f(x)在其定义域内的单调性,并证明;

(2)求不等式f(x2+x)<1的解集。

练习3、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 满足:f(x-1)<f(x2-1),求实数x的取值范围。

例4.函数f ( x)对任意x, y ? R, 总有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), 且当x ? 0时,f ( x) ? 0,证明f ( x)在R上是增函数 .

练习4、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,对 任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且当 x>0时,f(x)>1。 (1)求f(0),f(2)的值;

(2)解不等式f(3x)≥4f(x2)。


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