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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 6平面向量数量积的坐标表示 新人教A版必修4


§6

平面向量数量积的坐标表示

,

)

1.问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同? (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知,两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有 什么关系? 2.例题导读 P96

例 1.通过本例学习, 学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值. 试一试:教材 P99 练习 T1 你会吗? P98 例 2,P99 例 3.通过此二例学习,体会向量在解析几何中的应用,学会利用平面向量 的数量积求曲线的方程. 试一试:教材 P100 习题 2-6B 组 T6 你会吗? P99 例 4.通过本例学习,学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角. 试一试:教材 P100 习题 2-6A 组 T6 你会吗? 1.向量数量积的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于相应坐 标乘积的和.简记为“对应相乘计算和”. 2.两个向量垂直的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0. 3.度量公式 长度 2 2 2 2 2 向量 a=(x,y),则|a|= x +y 或|a| =x +y 公式 距离 → P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 公式 夹角 公式 非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 cos θ = = |a||b| x1x2+y1y2
2 2 x2 x2 1+y1? 2+y2

a?b

4.直线 l 的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量. 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,2).( ) (2) 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 向 量 a , b 的 夹 角 θ x1x2+y1y2 .( ) 2 2 x2 x2 1+y1 2+y2

满 足 cos θ =

1

→ (3)若 A(1,0),B(0,-1),则|AB|= 2.(

)

1 解析:(1)错误.直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,- ). 2 (2)错误.当 a≠0 且 b≠0 时,向量 a,b 的夹角θ 满足 cos θ =

x1x2+y1y2 ,即向 2 2 x +y1 x2 2+y2
2 1

量夹角公式的适用范围是 a≠0 且 b≠0. (3)正确.由两点间的距离公式,得 → 2 2 |AB|= (0-1) +(-1-0) = 2. 答案:(1)? (2)? (3)√ 2.已知向量 a=(-4,7),向量 b=(5,2),则 a?b 的值是( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析:选 D.因为 a=(-4,7),b=(5,2),所以 a?b=(-4,7)?(5,2)=-4?5+ 7?2=-20+14=-6. π 3.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m). 若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=( ) 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 解析:选 B.因为 a?b=(1, 3)?(3,m)=3+ 3m, π 2 2 2 2 又 a?b= 1 +( 3) ? 3 +m ?cos , 6 π 2 2 2 2 所以 3+ 3m= 1 +( 3) ? 3 +m ?cos ,所以 m= 3. 6

1.对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明 (1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化,其将数与形紧密联系在一起,使向量的 运算方式得到拓展. (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度, 其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离, 如 a=(x, y), → → 则在平面直角坐标系中, 一定存在点 P(x, y),使得OP=a=(x,y),故|OP|=|a|= x2+y2, → → 即|a|为点 P 到原点的距离;同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),故|AB| 2 2 = (x2-x1) +(y2-y1) ,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 2.在不同表示形式下求向量夹角的策略 (1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求出 a?b,|a|和|b|或直接得出它 们之间的关系. x1x2+y1y2 (2)当 a,b 是坐标形式时,则可直接利用公式 cos θ = 2 (其中 a=(x1, 2 x1+y2 x2 1? 2+y2 y1),b=(x2,y2))求解. 3.如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角, 但必须注意两者的范围不同, 向量夹角的 ? π? 范围是[0,π ],而直线夹角的范围是?0, ?. 2? ? 设 m,n 分别为直线 l1,l2(l1 与 l2 不重合)的方向向量,θ 为 m 与 n 的夹角,α 为 l1 与 l2 所成的角,则 (1)当 θ =0°或 180°时,l1∥l2,此时 α =0°,
2

(2)当 0°<θ ≤90°时,l1 与 l2 所成的角 α =θ , (3)当 90°<θ <180°时,l1 与 l2 所成的角 α =180°-θ .

平面向量数量积的坐标运算

已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a?b; (2)(a+b)?(2a-b); (3)(a?b)c, a(b?c);(4)(a+b)2,(a+b)?(a-b). (链接教材 P98 例 1) [解] (1)a?b=(1,3)?(2,5)=1?2+3?5=17. (2)法一:因为 a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), 所以(a+b)?(2a-b)=(3,8)?(0,1)=3?0+8?1=8. 法二:因为 a=(1,3),b=(2,5), 2 2 2 2 2 2 所以 a =1 +3 =10,b =2 +5 =29,a?b=1?2+3?5=17. 2 2 所以(a+b)?(2a-b)=2a +a?b-b =2?10+17-29=8. (3)(a?b)c=17c=17(2,1)=(34,17), a(b?c)=a((2,5)?(2,1))=9(1,3)=(9,27). (4)因为 a+b=(3,8), 2 2 2 2 所以(a+b) =|a+b| =3 +8 =73. 因为 a=(1,3),b=(2,5) 2 2 2 2 2 2 所以 a =1 +3 =10,b =2 +5 =29, 2 2 所以(a+b)?(a-b)=a -b =10-29=-19. 方法归纳 (1)关于数量积的坐标运算,解题时常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接 进行数量积运算.二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 2 2 (2)在正确理解公式 a?b=x1x2+y1y2 的基础上,熟练运用 a =|a| ,(a+b)?(a-b)= 2 2 2 2 2 |a| -|b| ,(a+b) =|a| +2a?b+|b| 及其变形,并在练习中总结经验,提高运算能力.

1.(1)已知向量 a=(1,2),b=(2,x),且 a?b=-1,则 x 的值等于( ) 1 1 A. B.- 2 2 3 3 C. D.- 2 2 (2)设向量 a=(1, -2), 向量 b=(-3, 4), 向量 c=(3, 2), 则向量(a+2b)? c=( A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 (3)已知向量 a=(-1,2),b=(3,2). ①求 a?(a-b);

)

3

②求(2a+b)?(a-b). 解:(1)选 D.因为 a=(1,2),b=(2,x), 3 所以 a?b=(1,2)?(2,x)=1?2+2x=-1,解得 x=- ,故选 D. 2 (2)选 C.依题意,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), 所以(a+2b)?c=(-5,6)?(3,2)=-5?3+6?2=-3.故选 C. (3)①法一:因为 a=(-1,2),b=(3,2), 所以 a-b=(-4,0). 所以 a?(a-b)=(-1,2)?(-4,0)=(-1)?(-4)+2?0=4. 2 法二:a?(a-b)=a -a?b 2 2 =(-1) +2 -[(-1)?3+2?2]=4. ②因为 2a+b=2(-1,2)+(3,2)=(-2,4)+(3,2)=(1,6), a-b=(-1,2)-(3,2)=(-4,0), 所以(2a+b)?(a-b)=(1,6)?(-4,0)=-4.

向量的夹角与垂直问题

(1)已知向量 a=(2,1),b=(1,k),且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值 范围是( ) A.(-2,+∞) 1? ?1 ? ? B.?-2, ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2) D.(-2,2) (2)已知 a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),则实数 m 为何值? (链接教材 P99 例 4) 1 [解] (1)选 B.当 a,b 共线时,2k-1=0,k= ,此时 a,b 方向相同,夹角为 0°, 2 所以要使 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a?b>0 且 a,b 不同向.由 a?b=2+k>0 得 k>-2, 1 1 1 且 k≠ ,即实数 k 的取值范围是(-2, )∪( ,+∞). 2 2 2 (2)a+mb=(3+2m,4-m),a-b=(1,5), 因为(a+mb)⊥(a-b), 所以(a+mb)?(a-b)=0, 即(3+2m)?1+(4-m)?5=0, 23 所以 m= . 3 本例(1)条件换成“a 与 b 的夹角为钝角”,求实数 k 的取值范围. 解:若 a 与 b 的夹角为钝角,则 a?b<0 且 a,b 不反向,由 a?b=2+k<0 得 k<-2, 经检验对 k<-2 的所有值均满足 a 与 b 的夹角为钝角, 即实数 k 的取值范围是(-∞, -2). 方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤

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2. (1)已知 a=(1, 1), b=(0, -2), 若 ka-b 与 a+b 的夹角为 120°, 则 k 的值为( ) A.-1+ 3 B.-1- 3 C.-1± 3 D.1± 3 → → (2)在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. 解:(1)选 C.因为 a=(1,1),b=(0,-2), 所以 ka-b=(k,k+2), a+b=(1,-1),所以|ka-b|= k2+(k+2)2, 2 2 |a+b|= 1 +(-1) = 2. 所以(ka-b)?(a+b)=(k,k+2)?(1,-1) =k-k-2=-2, 又 ka-b 与 a+b 的夹角为 120°, (ka-b)?(a+b) 所以 cos 120°= |ka-b||a+b| -2 = 2 k +(k+2)2? 2 1 =- . 2 2 整理得 k +2k-2=0, 解得 k=-1± 3. → → (2)当 A=90°时,AB?AC=0, 所以 2?1+3?k=0, 2 所以 k=- ; 3 → → 当 B=90°时,AB?BC=0, → → → BC=AC-AB=(1-2,k-3) =(-1,k-3), 11 所以 2?(-1)+3?(k-3)=0,所以 k= ; 3 → → 当 C=90°时,AC?BC=0, 所以-1+k(k-3)=0, 3± 13 所以 k= . 2

5

平面向量数量积的综合运用

已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD, 求:

→ (1)D 点的坐标以及|AD|; (2)判断△ABC 的形状,并说明理由. (链接教材 P100 习题 2-6 A 组 T2、T5) [解] (1)设 D 点的坐标为(x,y), 由题意可知 BC⊥AD, → → 又 B,C,D 三点共线,故BC∥BD, → 因为AD=(x-2,y-1), → → BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), ?(x-2)?(-6)+(y-1)?(-3)=0, ? 所以? ? ?(y-2)?(-6)-(x-3)?(-3)=0, 9 x= , 5 解得 7 y= , 5 → ? 1 2? 所以AD=?- , ?, ? 5 5?

? ? ? ? ?

?-1? +?2? = 5, ? 5? ?5? 5 ? ? ? ? 5 ?9 7? → 所以 D 点的坐标为? , ?,|AD|= . 5 5 5 ? ?
→ 所以|AD|= → → (2)因为AC=(-5,-2),AB=(1,1), → → 所以AC?AB=(-5)?1+(-2)?1=-7, → 2 2 |AC|= (-5) +(-2) = 29, → |AB|= 2. → → AC?AB -7 所以 cos A= = <0, → → 58 |AC||AB| 所以 A 为钝角. 所以△ABC 为钝角三角形. 方法归纳 利用平面向量解决平面几何问题时,就是将几何中的平行、垂直、线段的长、夹角等问 题转化为求向量的共线,数量积模长及向量的夹角等运算,即将“形”的求解与证明转化为 “数”运算问题.解决此类问题的关键就是建立恰当的直角坐标系,使几何中的元素用向量
6

2

2

表示.

3.(1)已知 a=(1,-1),b=(λ ,1),若 a 与 b 的夹角 θ 为钝角,则 λ 的取值范围 是________. (2)如图所示,四边形 ABCD 是正方形,P 是对角线 DB 上的一点,四 边形 PFCE 是矩形,试用向量的方法证明 PA⊥EF. 解:(1)因为 a=(1,-1),b=(λ ,1), 2 所以|a|= 2,|b|= 1+λ ,a?b=λ -1. ?λ -1<0, 因为 a,b 的夹角 θ 为钝角,所以? ? 2? 1+λ 2≠1-λ , ? ?λ <1, 即? 2 所以 λ <1 且 λ ≠-1, ?λ +2λ +1≠0, ? 所以 λ 的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).故填(-∞,-1)∪(-1,1). (2)证明: 以点 D 为坐标原点, DC 所在直线为 x 轴建立如图所示的直角 2 ? ? 2 → 坐标系.设正方形的边长为 1,|DP|=λ ,则 A(0,1),P? λ , λ ?, 2 ? ?2 2 ? ? 2 ? λ ?,F? λ ,0?, 2 ? ?2 ? 2 2 ? → ? 2 2 ? → ? 于是PA=?- λ ,1- λ ?,EF=? λ -1,- λ ?. 2 ? 2 ? ? 2 ?2 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? → → 因 为 PA ? EF = ?- λ ? ? ? λ -1? + ?1- λ ? ? ?- λ ? = - 2 2 ? ? 2 ? ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? 2 λ ?? λ -1+1- λ ?=- λ ?0=0, 2 2 ? ?2 → → 所以PA⊥EF,即 PA⊥EF.

E?1,

? ?

与数量积的坐标运算相关的综合 问题的解法 → → → (本题满分 12 分)已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 C 是直线 OP 上 的一点(其中 O 为坐标原点). → → → (1)求使CA?CB取到最小值时的OC; (2)对(1)中求出的点 C,求 cos∠ACB. → → [解] (1)因为点 C 是直线 OP 上一点,所以向量OC与OP共线 ,2 分 → → → 设OC=tOP,则OC=(2t,t). → → → CA=OA-OC=(1-2t,7-t), → → → CB=OB-OC=(5-2t,1-t), 4 分 → → CA?CB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,6 分 → → → 当 t=2 时,CA?CB取得最小值,此时OC=(4,2). 8分 → (2)当OC=(4,2)时, 规范解答
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CA=(-3,5),CB=(1,-1),



→ → → → 所以|CA|= 34,|CB|= 2,CA?CB=-8, → → CA?CB 4 17 所以 cos∠ACB= =- .12 分 → → 17 |CA||CB| → → → → [规范与警示] (1)在 处,由向量OC与OP共线建立关系式OC=tOP,是正确解答本题 → → 的关键,易因想不到此关系造成失分.在 处,利用向量的线性运算得到CA,CB的坐标, → → 是正确建立数量积“CA?CB”的函数关系的关键,也是失分点. (2)①注意隐含条件的挖掘 对题目中的条件要认真分析,找出一些隐含条件,如本例中“C 是直线 OP 上的一点” → → 隐含着“向量OC与OP共线”. ②注意函数思想在解决最值中的应用 涉及求解最值的问题,常常先通过题设建立函数关系式,在此基础上,借助函数知识求 解,如本例第(1)问. 1.已知向量 a=(2,-1),b=(3,x),若 a?b=3,则 x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选 D.根据平面向量坐标下的运算法则,可知 a?b=2?3+(-1)x=6-x=3,求 解方程可以得到 x=3,故选 D. 2.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( ) A.2 B. 2 C.1 D.4 2 2 解析:选 A.由题意得(2a-b)?b=(3,n)?(-1,n)=-3+n =0,所以 n =3,|a| = 1+3=2. 3. 设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 且 a=(3, 3), 2b-a=(-1, 1), 则 cos θ =________. 3?1+3?2 3 10 解析:b=(1,2),cos θ = = . 10 3 2? 5 3 10 答案: 10 4.已知 a=(4,-3),b=(2,1),若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,则实数 t=________. 解析:因为 a=(4,-3),b=(2,1), 所以 a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)?b=5t+5, 2 2 2 又因为|a+tb|= (2t+4) +(t-3) = 5t +10t+25, |b|= 5,且(a+tb)?b=|a+tb||b|cos 45°, 2 2 所以 5t+5= 5t +10t+25? 5? , 2 2 整理得 t +2t-3=0,解得 t=1 或 t=-3, 经检验知 t=-3 不成立,故 t=1. 答案:1

[A.基础达标]

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1.设向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是( ) 1 A.|a|=|b| B.a?b= 2 C.(a-b)⊥b D.a∥b 解析:选 C.因为 a=(2,0),b=(1,1), 所以|a|=2,|b|= 2,故|a|≠|b|,A 错误; a?b=(2,0)?(1,1)=2?1+0?1=2,故 B 错误; 因为 a-b=(1,-1),所以(a-b)?b=(1,-1)?(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故 C 正确. 因为 2?1-0?1≠0,所以 a 与 b 不共线,故 D 错误. 2.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( ) 9 A.- B.0 2 15 C.3 D. 2 解析:选 C.因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3, -6).因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)?c=(2k-3,-6)?(2,1)=2(2k-3)-6=0,解 得 k=3.故选 C. 3. 若 a=(x, 2), b=(-3,5), 且 a 与 b 的夹角是钝角, 则实数 x 的取值范围是( ) 10 10 ? ? ? ? A.?-∞, ? B.?-∞, ? 3? 3? ? ? ?10 ? ?10 ? C.? ,+∞? D.? ,+∞? ?3 ? ?3 ? 解析:选 C.x 应满足(x,2)?(-3,5)<0 且 a,b 不共线, 10 6 10 解得 x> 且 x≠- ,所以 x> . 3 5 3 π? → → ?π 4.如图是函数 y=tan? x- ?的部分图像,则OB?BA等于( ) 2? ?4

A.4 C.2

B.-4 D.-2

π? π? ?π ?π 解析:选 B.令 tan? x- ?=1,结合图像可得 x=3,即 B(3,1),令 tan? x- ?= 2? 2? ?4 ?4 → → → → 0,结合图像可得 x=2,即 A(2,0),从而OB=(3,1),BA=(-1,-1),OB?BA=-4,故 选 B. 5π 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A(1, 0), B(0, 1), 点 C 在第二象限内, ∠AOC= , 6 → → → → 且|OC|=2,若OC=λ OA+μ OB,则 λ ,μ 的值是( ) A. 3,1 B.1, 3 C.-1, 3 D.- 3,1 5π 5π π π → → → 解析:选 D.因为∠AOC= ,所以∠BOC= - = .因为OC=λ OA+μ OB=(λ , 6 6 2 3 5π 3 → → → → → → μ ), 所以OC? OA=(λ , μ )?(1, 0)=|OC|? |OA|cos , 即 λ =2?(- )=- 3, OC? OB 6 2

9

π 1 → → =(λ ,μ )?(0,1)=|OC||OB|cos ,即 μ =2? =1.所以 λ =- 3,μ =1,故选 D. 3 2 → → 6.已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1),D(3,4),则向量CD在AB方向上的投影 为________. → → → → → 解析:因为AB=(2, 1), CD=(5,5),所以AB?CD=(2,1)?(5,5)=15,|AB|= 22+12 → → AB?CD 15 → → → → → = 5.所以向量CD在AB方向上的投影为|CD|cos〈AB,CD〉= = =3 5. → 5 |AB| 答案:3 5 → 1→ → → 7.若 M(2,0),N(0,2),且点 P 满足MP= MN,O 为坐标原点,则OM?OP=________. 2 → 1→ 解析:设 P(x,y),由MP= MN, 2 1 得(x-2,y)= (-2,2)=(-1,1), 2 ? ? ?x-2=-1, ?x=1, 所以? 所以? ?y=1, ?y=1, ? ? → → 所以OM?OP=(2,0)?(1,1)=2. 答案:2 8.若 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y), → N(y,x),则向量MN的模为________. 解析:因为 a∥b,所以 x=4,所以 b=(4,-2), 所以 a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y), 因为(a+b)⊥(b-c), 所以(a+b)?(b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,所以 y=-4, → → 故向量MN=(-8,8),|MN|=8 2. 答案:8 2 9.已知向量 a=(2,4),b=(-6,4). (1)当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? (2)当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 垂直? 解:因为 a=(2,4),b=(-6,4),所以 ka+b=k(2,4)+(-6,4)=(2k-6,4k+ 4),a-3b=(2,4)-3(-6,4)=(20,-8). (1)因为(ka+b)∥(a-3b),所以-8(2k-6)=20(4k+4), 1 解得 k=- . 3 20 8 1 这时 ka+b=(- , ),所以当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且它们是反向的. 3 3 3 (2)因为 ka+b 与 a-3b 垂直,所以(ka+b)?(a-3b)=0,即(2k-6,4k+4)?(20, -8)=0,即 40k-120-32k-32=0,解得 k=19. 即当 k=19 时,ka+b 与 a-3b 垂直. 10.已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sin θ ,cos θ ). → → (1)若|AC|=|BC|,求 tan θ 的值; → → → (2)若(OA+2OB)?OC=1,其中 O 为坐标原点,求 sin θ +cos θ 的值. → 解: (1)因为 A(1, 0), B(0, 1), C(2sin θ , cos θ ), 所以AC=(2sin θ -1, cos θ ), → BC=(2sin θ ,cos θ -1),
10

→ → 2 2 2 2 因为|AC|=|BC|,所以 (2sin θ -1) +cos θ = (2sin θ ) +(cos θ -1) , 化简得 2sin θ =cos θ .因为 cos θ ≠0(若 cos θ =0,则 sin θ =±1,上式不成立), 1 所以 tan θ = . 2 → → → (2)因为OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sin θ ,cos θ ), → → 所以OA+2OB=(1,2), → → → 因为(OA+2OB)?OC=1, 所以 2sin θ +2cos θ =1, 1 所以 sin θ +cos θ = . 2 [B.能力提升]

→ → 1.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. 5 B.2 5 C.5 D.10 → → → → 解析:选 C.因为AC?BD=(1,2)?(-4,2)=-4+4=0,所以AC⊥BD,所以 S 四边形 ABCD 1 → → 1 = |AC|?|BD|= ? 5?2 5=5. 2 2 → 1→ → → 2.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD= BA,E 是 CA 的中点,则CD?BE=( ) 3 2 1 A.- B.- 3 2 1 1 C.- D.- 3 6

3? ? 1 ? ?1 解析:选 B.法一:如图,建立直角坐标系,则 A(1,0),B(0,0),C? , ?,D? ,0?, 2 2 ? ? ?3 ?

E? ,

?3 ?4

3? ?, 4?

→ →

CD=?- ,-

? 1 ? 6

3? → ?3 3? ?,BE=? , ?, 2? 4 4 ? ?

1 3 3 3 1 3 1 3? ?3 3? → ? 1 ??? , ?=-6?4- 2 ? 4 =-8-8=-2. 2 ? ?4 4 ? ? 6 → → 法二:设AB=a,AC=b,则|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°. → → → 1 → → → 2 BE=AE-AB= b-a,CD=AD-AC= a-b, 2 3 1 2 → → 所以BE?CD=( b-a)?( a-b) 2 3 2 2 1 2 4 =- a - b + a?b 3 2 3 2 1 4 =- - + ?cos 60° 3 2 3

CD?BE=?- ,-

11

1 =- . 2 3.已知平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________. 解析:因为向量 a=(1,2),b=(4,2),所以 c=ma+b=(m+4,2m+2),所以 a?c =m+4+2(2m+2)=5m+8,b?c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20. a?c b?c a?c b?c 5m+8 因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 所以 = , 即 = , 所以 |a||c| |b||c| |a| |b| 5 8m+20 = ,解得 m=2. 2 5 答案:2 4.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=λ BC, 2 → → → → DF=μ DC,若AE?AF=1,CE?CF=- ,则 λ +μ =________. 3 解析:

以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系 xOy,不妨设 A(0, → → -1),B(- 3,0),C(0,1),D( 3,0),由题意得CE=(1-λ )?CB=( 3λ - 3,λ - → → 1),CF=(1-μ )CD=( 3- 3μ ,μ -1). 2 2 → → 因为CE?CF=- ,所以 3(λ -1)(1-μ )+(λ -1)(μ -1)=- ,即(λ -1)(μ -1) 3 3 1 = . 3 → → → → → → → → 因为AE=AC+CE=( 3λ - 3,λ +1),AF=AC+CF=( 3- 3μ ,μ +1),又AE?AF 1 ? ?(λ -1)(μ -1)= , 3 整理得 λ +μ =5. =1,所以(λ +1)(μ +1)=2.由? 6 ? ?(λ +1)(μ +1)=2, 5 答案: 6 3? ?1 2 5.已知 a=( 3,-1),b=? , ?,且存在实数 k 和 t,使 m=a+(t -3)b,n=ka ?2 2 ? k+t2 +tb,且 m⊥n,试求 的最大值.

t

3? ?1 解:因为 a=( 3,-1),b=? , ?, ?2 2 ? 所 以 m = a + (t - 3)b = ? 3+
2

? ?

t2-3

3t -3 3? ,-1+ ? , n = ka + tb = 2 2 ?
2

1 3 ? ? ? 3k+ t,-k+ t?, 2 2 ? ? 又 m⊥n,所以 m?n=0, 2 t2-3?? 1 3t -3 3? ? 3 ? ? ? 3k+ t? 即? 3+ +?-1+ ? ? ? ???-k+ t?=0, 2 2 ? ?? ? ? 2 2 ? ? ?
12

所以 4k+t(t -3)=0,所以 k= 所以

2

t(3-t2)
4



k+t2 3-t2 1 2 = +t= (-t +4t+3) t 4 4

1 7 2 =- (t-2) + , 4 4 k+t2 7 故当 t=2 时, 有最大值 . t 4 6.(选做题)已知 a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2), (1)当 x,y 为何值时,a 与 b 共线? (2)是否存在实数 x,y,使得 a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出 xy 的值;若不存在, 请说明理由. 解:(1)因为 a 与 b 共线,所以存在实数 λ ,使得 a=λ b, 1 ? ? ?x= , ?2x-y+1=2λ , 所以? 解得? 3 ?x+y-2=-2λ , ? ? ?y∈R, 1 所以当 x= ,y 为任意实数时,a 与 b 共线. 3 (2)由 a⊥b? a?b=0? (2x-y+1)?2+(x+y-2)?(-2)=0? x-2y+3=0.① 2 2 由|a|=|b|? (2x-y+1) +(x+y-2) =8.② 5 x= 3 ? x =- 1 ? 35 联立①②解得? 或 ,所以 xy=-1 或 xy= . 9 ?y=1 7 ? y= 3 35 所以存在实数 x,y,使得 a⊥b,且|a|=|b|,此时 xy=-1 或 xy= . 9

? ? ? ? ?

13


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