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高一数学竞赛试卷(必修1)


高 一 数 学 竞 赛 (必 修 1)
一、选择题(请把唯一正确的选项填到答卷对应的选择题答题卡内,5 分 ? 12=60 分)

n 1 1.设集合 A ? {x | x ? , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关系 2 2 的是( )A
A B
B A

/>
A

B

A

B

A.

B. ) B

C.

D.

2.集合 M ? ?x ?2 ? x ? 2? , N ? ? y 0 ? y ? 2? ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定 义域,N 为值域的函数关系的是( y 2 -2 0 x -2 0 y 2 2 x -2 0 y 2 2 x -2 0 y 2 2

x A. B. C. D. 3.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间 为 t,离开家里的路程为 d,下面图形中,能反映该同学的行程的是( )C d d d d

O A.

t

O B.

t

O C.

t

O D.

t

4.已知函数 f ( x) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f (2) ? p , f (3) ? q ,那么 f (12) 等于( B A. p ? q B. 2 p ? q C. p ? 2 q D. p2 ? q 5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间



t (月)的关系: y ? a ,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4 m 2 蔓延到 12m2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是( ) D A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②
x

y/m2 8

4 2 1 0 1 2 3 t/月

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6.已知 log4 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x A.

?

1 2

等于( C.
?x



C D.
1 3 3

1 3

B.

1 2 3

1 2 2

7.当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a y y y

与 y ? loga x 的图象是( y



C

1 o

x 1

1 o 1 x

1 o 1 x

1 o
8

1

x

A

B

C
6

D

8.如图的曲线是幂函数 y ? x n 在第一象限内的图象.已知 n 分别取 ?2 , ? 曲线 c1 、 c 2 、 c3 、 c 4 相应的 n 依次为( 1 1 1 1 A. 2, , ? , ?2 B. 2, , ?2, ? 2 2 2 2 1 1 1 1 C. ? , ?2, 2, D. ?2, ? , , 2 2 2 2 2 ) A
4

1 四个值,与 2

c1
2

c2 c3 c4

-5

5

9.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间( ) B A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4)
x

-2

D. (4,5)

10.设 f ( x) ? 3 x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ?(1,2)内近似解的过 程中,计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间( ) B A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 11.已知 f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 ,则 F ( x) 是 R 上的( ) B A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 12.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与深 h 的函数关系的图象如右图所 示,那么水瓶的形状是( ) B

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二、填空题(请把正确的答案填到答卷对应的填空题题号横线上,5 分 ? 4=20 分) 13.方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=
3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 14.已知 f(x)= ? 3 ?3 ? ?x ? x
1 2 1 ? 2

.x=2 ,f[f(0)]= ___ __.7 .2 ______.

x ? (??,1) x ? (1, ??)

5 2

15.已知 x ? x =3,则 x ? x?1 = ____ 16.函数 y ? 2x ? x ? 1 的最小值是

三.解答题(请把解题步骤写到答卷对应的题号上,本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 14 分) 2 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax },若 A=B,求实数 x 的值. ?a ? b ? ax 2 2 解:若 ? ? a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0,即 a=0 或 x=1. 2 a ? 2 b ? ax ? 当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. ?a ? b ? ax 2 2 若? ? 2ax -ax-a=0. ?a ? 2b ? ax

1 2 因为 a≠0,所以 2x -x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x≠1,所以只有 x ? ? . 2 1 经检验,此时 A=B 成立.综上所述 x ? ? . 2
18. (本小题满分 14 分) 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件.现在 他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量 就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最 大利润. 解:设他将售出价定为 x 元,则提高了 ( x ? 10) 元,减少了 10 ( x ? 10) 件,所赚得的利润为 y ? ( x ? 8) [100 ? 10 ( x ? 10)] . 即 y ? ?10x2 ? 280x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 . 当 x ? 14 时, ymax ? 360 . 所以,他将售出价定为 14 元时,才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为 360 元. 19. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数两个零点在原点左右两侧,求实数 m 的取值范围. 2( m ? 1) ? 0 解: (1) ,解得 m ? 1 且 m ? ?1 . (4m) 2 ? 4 ? 2( m ? 1)(2m ? 1) ? 0

?

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(2)

m ? 1) ? 0 2(m ? 1) ? 0 ?2( f (0) ? 2m ? 1 ? 0 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0


.解得 ?1 ? m ?

1 . 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m 、 n 均有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,且 1 1 f ( ) ? 2 ,又当 x ? ? 时,有 f ( x) ? 0 . 2 2 1 (1)求 f (? ) 的值; (2)求证: f ( x) 是单调递增函数. 2 解: (1)令 m ? n ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ? 1 ,∴ f (0) ? 1 . 1 1 1 1 1 1 又 f ( ? ) ? f [ ? (? )] ? f ( ) ? f (? ) ? 1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 ∴ f (0) ? 2 ? f (? ) ? 1 , f (? ) ? f (0) ? 1 ? 0 . 2 2 1 1 1 (2)设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 ? ? ? .又 x ? ? 时有, f (0) ? 0 , 2 2 2 1 ∴ f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 . 2 又 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 1 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? f (? ) ? 1 ? f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴ f ( x) 在 R 上为增函数. 2 2 21. (本小题满分 14 分) 2005 年 10 月 12 日,我国成功发射了“神州”六号载人飞船,这标志着中国人民又迈 出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料重量 x 之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关 系式为: y ? k[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2 (其中k ? 0) .当燃料重量为 ( e ? 1)m 吨(e 为自 然对数的底数, e ? 2.72 )时,该火箭的最大速度为 4(km/s) . (1)求火箭的最大速度 y(km / s) 与燃料重量 x 吨之间的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)已知该火箭的起飞重量是 544 吨,是应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞 行速度达到 8km/s,顺利地把飞船发送到预定的轨道? 解: (1)依题意把 x ? ( e ? 1)m, y ? 4 代入函数关系式 y ? k[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2 ,解 得k ?8. m? x 8 所以所求的函数关系式为 y ? 8[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2, 整理得 y ? ln( ). m (2)设应装载 x 吨燃料方能满足题意,此时, m ? 544 ? x, y ? 8 m? x 8 544 代入函数关系式 y ? ln( ) , 得 ln ? 1, 解得x ? 344 (吨). m 544 ? x 所以,应装载 344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

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