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【高考总复习必备】2013年高三数学专题复习教案:第16课时:第二章 函数-指数函数与对数函数(全国通用)


第 16 课时:第二章 一.课题:指数函数与对数函数

函数——指数函数与对数函数

二.教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质; 2.能利用指数函数与对数函数的性质解题. 三.教学重点:运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数函数、对数函数的概念、图象和性质;
[来

源:学科网 ZXXK]

2.同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数; (二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的 讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③ 作差. (三) 例题 分析: 例 1. (1)若 a 2 ? b ? a ? 1 ,则 log b

b , log b a , log a b 从小到大依次为 a



(2)若 2 x ? 3 y ? 5 z ,且 x , y , z 都是正数,则 2x , 3y , 5z 从小到大依次 为 ;
[来源:学科网]

(3)设 x ? 0 ,且 a x ? b x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是( ( A ) b ? a ? 1 ( B ) a ? b ? 1 ( C )1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b 解: (1)由 a 2 ? b ? a ? 1 得



b b ? a ,故 log b ? log b a ? 1 ? log a b . a a

(2)令 2 x ? 3 y ? 5 z ? t ,则 t ? 1 , x ?

lg t lg t lg t ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5

∴ 2x ? 3y ?

2 lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg 8) ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3

同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5 z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ) . 例 2.已知 函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ?
x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

? a x1 ? a x2 ?

x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴
3( x1 ? x2 ) ?0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a x1 ? a x2 ,∴ a x1 ? a x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a x0 ?
2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ?1, x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

即 a x0 ?



当 ?1 ? x0 ? 0 时 , 0 ? x0 ? 1 ? 1 , ∴ ∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴① 式不成立.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

3 3 ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 , 而 由 a ? 1 知 a x0 ? 1 . x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1

综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 例 3. 已知函数 f ( x) ? log a (a x ? 1)( a ? 0 且 a ? 1 ) 《高考 A 计划》 . ( 考点 15, 4) 例 . 求证: (1)函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧;
[来源:学科网]

(2)函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明: (1)由 a x ? 1 ? 0 得: a x ? 1 , ∴当 a ? 1 时,x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴

的右侧; 当 0 ? a ? 1 时,x ? 0 , 即函数 f ( x) 的定义域为 (??, 0) , 此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴 的左侧. ∴函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 , 则直线 AB 的 斜率 k ?
ax ?1 y1 ? y2 , y1 ? y2 ? log a (a x ? 1) ? log a ( a x ? 1) ? log a x , a ?1 x1 ? x2
1 1 2 2

当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a x1 ? a x2 ,∴ 0 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 , ∴0 ?

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a x2 ? 1

当 0 ? a ? 1 时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a x1 ? a x2 ? 1 ,∴ a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 ? 0 ,

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . ∴ x2 a ?1
∴函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率 都大于 0 . (四)巩固练习:

1 1.已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 ? a ? b ? 1 ,则 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 从小到大依次为 c 1 (注: f ( ) ? f (c) ) f (b) ? f (a ) ? f (c) ; c
2.若 a 为方程 2 x ? x ? 0 的解,b 为不等式 log 2 x ? 1 的解,c 为方程 log 1 x ? x 的解,
2

则 a 、 b 、 c 从小到大依次为 a ? c ? b ;

[来源:学科网 ZXXK]

3.若函数 f ( x) ? 2?| x ?1| ? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 .


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