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柱锥台和球的体积


空间几何体的体积

3 a 1.棱长为a的正方体体积V=_____. 2.长方体的长、宽、高分别为a、b、c,其体 abc 积为V=_________. 3 .底面半径为 r ,高为 h 的圆柱的体积为 V = 2h π r ____________.

一、教学情境
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.

一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。

二、学生活动
(1)取一摞书放在桌面上,并改变它们的位 置,观察改变前后的体积是否发生变化?

祖暅原理:

两等高的几何体若在所有等高处的水平截 面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.

(2)问题:两个底面积相等、高也相等的棱 柱(圆柱)的体积如何?

祖暅(公元504—526 ),祖冲之之子,同其父祖冲之一起圆满解决了 球面积的计算问题,得到正确的体积公式。现行 教材中著名的“祖暅原理”,在公元五世纪可谓 祖暅对世界杰出的贡献。 祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作,提出 “幂势既同则积不容异”,即等高的两立体, 若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等, 这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。 祖暅应用这个原理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家 卡瓦列利﹝Bonaventura Cavalieri﹞发现, 比祖暅晚一千一百多年。

三、数学建构
1.柱体(棱柱、圆柱)的体积:

V柱体 ? Sh
2.锥体(棱锥、圆锥)的体积:

V锥体

1 ? Sh 3

若圆锥底面半径为r , 1 2 V锥体 ? ? r h. 3

问题:等底同高的锥体的体积有何关系?

3. 台体(棱台、圆台)的体积

V台体

1 ? h( S ? 3

SS ? ? S ?)

4.柱、锥、台体积的关系: V柱体=Sh 这里S是底面积,h是 高
S′= S

1 V台体= h(S ? SS ' ? S ' ) 3 这里S、S′分别是上,下底面积,h是高

S′=0
1 V锥体= Sh 3

这里S是底面积,h是高

探究
S1

R

4 3 1 1 1 1 ?R ? V球 ? RS1 ? RS 2 ? RS 3 ? ? ? RS 球面 3 3 3 3 3

球的表面积: S球面 ? 4?R2

名称 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球

体积(V) Sh 2 πr h 1 Sh 3 1 2 πr h 3 1 h(S+ SS′+S′) 3 1 πh(r2+rr′+r′2) 3 4 3 πR 3

四.数学应用

例1.在长方体ABCD ? A'B'C'D'中, 用截面截下一个棱锥C-A'DD', 求棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比。

D’

C’

A’ D

B’

C B

A

例2:有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg,已 知底面六边形边长是12mm,高是10mm,内孔直径 是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是 7.8g/cm3,) 解:六角螺帽坯的体积是一个正六棱柱的体积
和一个圆柱的体积的差。 1 ? V正六棱柱 =6 ? ?12 ? (12 ? sin 600 ) ?10 2 3 3 =3 ?122 ? ?10 ? 3.74 ?10( mm 3), 2 3 V圆柱 ? 3.14 ? (10 ? 2)2 ?10=0.785 ?10( mm 3), ? 一个螺丝帽的体积 V=3.74 ?103 -0.785 ?103
3 ? 2.96 ?10( mm 3)

=2.96(cm 3). 答:这些螺丝帽约有250个。

2 因此,约有 5.8 ? 103 ? (7.8mm 3 2.96) ? 2.5 ? 10(个)。

例3.如图所示,是一个奖杯的三视图(单位:cm), 试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积 (精确到0.01cm).
6

18

8

6

5

15

15

11

11

五.课时小结 1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体 的体积和球的表面积. 2.应用上述结论解决实际问题.

步骤
1.拿出圆锥 和圆柱

2.将圆锥倒立放入 圆柱

5.球的体积

实验:
给出如下几何模型

R

R

3.取出半球和新的几何体做它们的截面

R

结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等

R

R
R

1 V球 = ?R 2 ? R ? 1 ?R 2 ? R 2 3

5.球的体积计算公式: V球

4 ? ?R 3 3


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