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直线与方程教案


第九章

解析几何初步

【课题】第一节 直线的倾斜角与斜率
【教学目标】
1.知识与技能: (1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念, (2)理解公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 2.情感、态度、价值观: (1)培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力。 (2)帮助学生进一步理解数形结合思

想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形 成严谨的科学态度和求简的数学精神 3.过程与方法: 通过启发引导、讨论等方法,理解直线的倾斜角与斜率的概念,掌握由直线上两点的坐 标求直线的倾斜角和斜率的方法。 掌握直线的点斜式方程, 会实现直线方程的各种形式之间 的互化。

【教学重点难点】
1.教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式 2.教学难点:斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式

【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2 课时 【教学过程】 一、复习引入: 直线和圆都是最常见的简单几何图形, 在生产实践和实际生活中有广泛的应 用。 初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究,初中代数研究了一次 函数图象及其性质,高一数学研究了三角函数、平面向量,直线和圆的方程的内 容以上述知识为基础, 直线和圆的方程是解析几何的基础知识,在解决实际问题 中有广泛的应用。 本节要研究的是直线的两个基本概念, 即直线的倾斜角和斜率。 ⑴回顾一次函数的图象及性质 形如 y=kx+b(k≠0)叫做一次函数;它的图象是一条直线;当 k>0 时,在 R

上是增函数,当 k<0 时,在 R 上是减函数。 ⑵画出下列一次函数的图象 ① y = 2x + 4 ② y = -2x + 2

小结: 作一次函数图象的方法-由于两点确定一条直线, 故可在直线上任取两点, 通常取点(0 , b)与(-b/k , 0)。 研究两点(-2,0) 、 (0,4)与函数式 y = 2x + 4 的关系是:这两点就是满 足函数式的两对 x、y 的值。 由作图知满足函数式 y = 2x + 4 的每一对 x、y 的值都是函数 y = 2x + 4 上的点;这条直线上的点的坐标都满足函数式 y = 2x + 4。 小结: 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 它是以满足 y=kx+b(k≠0) 的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的。 由于函数式 y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程,所以我们说,这个方 程的解和直线上的点存在这样的对应关系。 二、讲授新课: ⑴直线方程的概念 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点 的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做 这个方程的直线。 在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线和方程的这种关系,建立直 线的方程,并通过方程来研究直线的有关问题,为此,我们先研究直线的倾斜角 和斜率。正面请同学们阅读教材 P34-35,理解直线的倾斜角和斜率的定义,并注 意它们的变化范围。 (5 分钟)

⑵直线的倾斜角 ①定义: 在平面直角坐标系中, 对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 α ,那么 α 就叫做直线的 倾斜角。 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0?。 ②范围:0?≤α <180?

y l l α o x

y

α o x

⑶直线的斜率 定义:倾斜角不是 90? 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的 斜率常用 k 表示,即
k = tanα (α ≠90?)

(4)过两点的直线的斜率公式、形式特点 方向向量:

y P2 P1 α o α x P2

y

P1 α o α x

直线上的向量 P 直线 P1P2 的方 1P 2 及与它平行的向量都称为直线的方向向量。 向向量 P ,P2(x2,y2) ;当直线 P1P2 1P 2 的坐标是(x2-x1,y2-y1),其中 P1(x1,y1)

与 x 轴不垂直时,x2≠x1,此时

1 P1 P2 也是直线 P1P2 的方向向量,且它的坐 x 2 ? x1

标是

1 ,其中 k 为直线 P1P2 的斜率。 ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ,即(1,k) x2 ? x1

注:方向向量与 x 轴所成的最小正角与直线 l 的倾斜角相等。 (5)斜率公式 经过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线的斜率公式是:

k?
推导如下:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

设直线 P1P2 的倾斜角为 α ,斜率为 k,向量 P1P2的方向是向上的 (如下图) , 向量 P1P2=(x 2-x1 , y 2-y1 ),过原点作向量 OP  ? P1P2 ,则点 P(x2-x1 , y2-y1), 而且直线 OP 的倾斜角也是 α ,根据正切函数的定义有

tan? ?

y 2 ? y1 y ? y1 ( x2 ? x1 ) ,即 k ? 2 ( x2 ? x1 ) 。 x2 ? x1 x2 ? x1

同样,当向量 P1P2的方向是向下时,也有 同样的公式。 小结:斜率公式的形式特点 ⑴斜率公式与两点的顺序无关, 即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次 序可同时颠倒。 ⑵斜率公式表明, 直线对于 x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐标 表示,而不需要求出直线的倾斜角。 ⑶斜率公式中,当 x1=x2 时不适用,此时直线和 x 轴垂直,直线的倾斜角 α =90°。 3、应用举例 例1 如图,直线 l1 的倾斜角为 α 1=30°,直线 l2⊥l1,求直线 l1、l2 的斜率。
Y

解:l1 的斜率 k1=tanα 1=tan30°= 3 / 3 ∵l1⊥l2 ∴l2 的倾斜角 α 2=90°+30°=120° l2

l1

∴l2 的斜率 k2=tan120°=- 3

α

1

α o

2

x

例 2 直线过点 A(-2,0),

B(-5,3) ,求直线 AB 的斜率。

解:k=(3-0)/[(-5)-(-2)]=-1 又 α ∈[0°,180°) ∴α =135°

因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是 135° 巩固练习 P37 4、归纳总结 数学思想:数形结合、分类讨论 数学方法:图象法、公式法 三、内容、方法小结: 本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义,以及斜率的两种求法,教学中运用图像 法和公式法使得内容更易理解。 四、课后作业 P89 2 3 练习 4、5

五、板书设计:

1.倾斜角和斜率 倾斜角定义: 斜率定义: 两点式求斜率 例2 作业: 六、教学反思: 例1

【课题】第二节 两条直线平行与垂直的判定
【教学目标】
1.知识与技能: 掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件;能用解析法解决平 面几何问题。 2.情感、态度、价值观: (1)通过创设的问题情境,引导学生探究平面内两条直线的平行或垂直关系的充要条 件激发学生学习数学的兴趣 (2)通过数学探究活动,使学生能用联系的观点看问题,掌握代数化处理几何问题的 方法及数学地思考问题的方法,体会唯物辩证法在数学中的体现。 3. 过程与方法: 在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上, 本节将从新的角度来 研究平面内两条直线的平行或垂直关系,理解数形结合的数学思想。

【教学重点难点】
1.教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件,并会判断两条直线是否平行、垂 直 2.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论(公式适用的前提条件)

【教法学法】讲解、练习、演示、探究 【教学准备】计算机、投影仪、三角板. 【教学安排】2 课时 【教学过程】 一、复习引入: 上课前我们先来看这样一个故事:魔术师的地毯 一位魔术师拿了一块边长为 1.3 米的地毯去找地毯匠,要求把这块正方形的 地毯改制成宽 0.8 米,长 2.1 米的矩形.地毯匠对魔术师说:“难道你连小学算术 都没学过吗?边长为 1.3 米的正方形的面积是 1.69 平方米, 而宽 0.8 米、 长 2.1 米的矩形面积只有 1.68 平方米。两者并不相等呀! ”而魔术师只给了地毯匠一幅 图,让他照着做就是了。地毯匠照做了,缝好一量,果真可以,魔术师得意洋洋 地取走了地毯,可地毯匠却很纳闷,百思不得其解,那 0.01 平方米的地毯去哪 了?你能帮他解开疑团吗? 现在大家可能不知道从何下手,那我们就带着这个问题来学习这节课的内容,

看看能否利用我们下面学习的知识来解决这个问题. 引入课题: 两条直线的平行与垂直的判定 二、 讲授新课: 师:上节课我们学习了斜率,谁能告诉我斜率是什么? 生:斜率是一条直线倾斜角的正切值. 师:那什么是倾斜角? 生:倾斜角是一条直线向上的部分与 x 轴正半轴所夹的角. 师:两条直线的平行与垂直与这两条直线的倾斜角与斜率有什么关系呢?下 面我们就一起来实验探究这个问题.大家打开几何画板,完成实验报告. 给学生 10 分钟时间完成实验报告 师:下面我们请两位同学来汇报一下你的实验结果 学生 1:实验 1,我实验探究的结果是当两条直线互相平行时, 他们的斜率是 相等的,当两条直线的斜率相等的时候,这两条直线是平行的. 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线都与 y 轴平行时,这两条 直线的斜率也相等吗?让大家再动手操作一下. 老师再问,若两条直线的斜率相等 ,这两条直线除了平行还有没有其它的位 置关系? 重合.因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线 都 有斜率 而 且不重合 , .... . ... . .... 如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平 行,即 学生 2:实验 2,我实验探究的结果是当两条直线互相垂直时,他们的斜率的 乘积都等于 -1, 当两条直线的斜率乘积等于 -1 的时候 , 这两条直线是互相垂直 的. 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线有一条与 y 轴平行时,上 面的结论还成立吗?让大家再动手操作一下. 因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那 ........ 么它们的斜率互为负倒数(即乘积为-1);反之,如果它们的斜率互为负倒数,那 么它们互相垂直,即

师:上面是我们利用几何画板实验探究的结果,还没有经过理论验证.大家能 否利用所学的知识证明这两个结论呢?首先我们先证明结论一. 已知 L1∥L2(图 1-29),它们的斜率分别为 k1,k2,求证它们的斜率相等. 证明:因为 L1∥L2,所以α 1=α 2. ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,已知 k1=k2,k1,k2 分别为不重合的直线 L1,L2 的斜率,求证:L1∥L2 证明:因为 k1=k2,所以 tgα 1=tgα 2 由于 0°≤α 1<180°, ∴α 1=α 2. 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合, 如果它们平行, 那么它们的斜率相等; 反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的, 缺少 ........ 这个前提,结论并不成立. 下面我们一起来证明两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行.设 α 2<α 1(图 1-30),甲 图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方; 乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下 方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2.因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0。
? tan ?1 ? tan(90? ? ? 2 ) ? ? 1 tan ? 2

0°≤α <180°,



可以推出 : α 1=90°+α 2.

L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率 , 如果它们互相垂直, 那么它们的斜率互为负倒数; ........ 反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则 不一定. 应用讲例 例1 已知 A(2,-1), B(5,-1), P(4,2), Q(2,2), (1)试判断直线 BA 与 PQ 的 位置关系 AB 与 AQ 的位置关系, 并证明你的结论.(2)试判断四边形 ABPQ 的形状,并给出证明。 例2 例3 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 判断 A(1,3) ,B(5,7) ,C(10,12)三点是否共线,并说明理由。

例 4、试确定 m 的值,使过点 A(m,1),B(-1,m)的直线与过点 P(1,2),Q(-5,0)的直 线 (1)平行 (2)垂直

四、解答故事“魔术师的地毯”的问题 三、内容、方法小结: 本节介绍了直线平行和垂直的判定条件,特别要注意特殊情况的处理。用问 题串引导学生思考推理出结论,培养了学生的探究能力。 四、课后作业 P249 练习 9.11 2,3,4 五、板书设计:

2. 两条直线平行与垂直的判定 平行的判定条件 1) K 存在时 2) K 不存在时 垂直的判定条件 1) K 存在时 2)K 不存在时 六、教学反思: 例3 例2 例1

【课题】第三节 直线的点斜式方程
【教学目标】
1.知识与技能: 在直角坐标平面内, 已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点, 会求直线的方程; 给出直线的点斜式方程, 能观察直线的斜率和直线经过的定点。 2.情感、态度、价值观:通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识。 3.过程与方法: 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的处理问题方法; 通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力。

【教学重点难点】
1.教学重点:点斜式方程的应用 2.教学难点:点斜式方程的推导思想

【教法学法:学导式 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 前面几节课,我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形 式,对直线方程有了一定的认识,这一节,我们来继续研究直线和二元一次方程 的关系,并学习直线方程的一般式 二、讲授新课: (1)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k,并且经过点 P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求 的,怎样求直线 l 的方程(图 1-24)?

设点 P(x,y)是直线 l 上不同于 P1(x1,y1)的任意一点,根据经过两点的斜率 公式得

k?

y ? y1 x ? x1

(1) (2)

即 y-y1=k(x-x1)

注意方程(1)与方程(2)的差异:点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2), 因此,点 P1 不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能 称作直线 l 的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面 的过程逆推, 可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上,所以这个方程 就是过点 P1、斜率为 k 的直线 l 的方程.(实质上是证明了直线的方程与方程的 直线的关系) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 注:当直线的斜率为 0°时(图 1-25),k=0,直线的方程是 y=y1.

当直线的斜率为 90°时(图 1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点 斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1.

(2)斜截式

已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 b,求直线的方程. 这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率 k,求直线的方程, 是点斜式方程的特殊情况,代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就是 y=kx+b 上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程?因为它是由直线 的斜率和它在 y 轴上的截距确定的. 当 k≠0 时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中 k 和 b 的几 何意义就是分别表示直线的斜率和在 y 轴上的截距. 注:斜截式方程因为形式是直线方程中最简的,故在后续的课程中有十分重 要的运用, 但上述两种直线方程的形式都要求有斜率,故运用它们时往往要先对 斜率的存在与否进行讨论,而这正是最容易错的地方。 三、内容、方法小结: 本小结介绍了直线的点斜式、斜截式方程,要注意两种方程适用的范围,学 生通过本节课学习需掌握根据条件适当的选择方程形式。 四、课后作业 P252 练习 9.21 1,2,3,4 五、板书设计:

第三节 直线的点斜式方程
点斜式方程: y-y1=k(x-x1) 斜截式方程: y=kx+b 作业:P100 1 2 例2 例1

六、教学反思:

【课题】第四节 直线的两点式方程
【教学目标】
1.知识与技能: (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2.情感、态度、价值观: (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 3.过程与方法: 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。

【教学重点难点】
1.教学重点:直线方程两点式。 2.教学难点:两点式推导过程的理解。

【教法学法】启发式教学法 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 1、利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线 l 经过两点 P 1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方程. 1( (2)已知两点 P 其中 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这两点的直 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 线方程。 教师引导学生根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?能不能把 问题转化为已经解决的问题呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断 是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程: (1) y ? 2 ?

3 ( x ? 1) 2

(2) y ? y1 ?

y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

二、讲授新课: 1.两点式直线方程: 当 y1 ? y2 时,方程可以写成

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定, 所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 教师:若点 P 中有 x1 ? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 程是什么? 活动:教师引导学生通过画图、观察和分析,发现当 x1 ? x2 时,直线与 x 轴垂 直, 所以直线方程为: 当 y1 ? y2 时, 直线与 y 轴垂直, 直线方程为:y ? y1 x ? x1 ; 3.例题讲解 例 3 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中

a ? 0, b ? 0 ,求直线 l 的方程。
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直 线 l 的方程?那种方法更为简捷?然后由求出直线方程:

x y ? ?1 a b
教师指出: a, b 的几何意义和截距式方程的概念。 例4 已知三角形的三个顶点 A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2) ,求 BC 边所

在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程。 教师给出中点坐标公式,学生根据自己的理解,选择恰当方法求出边 BC 所 在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上,学生交流各自的作法, 并进行比较。 三、内容、方法小结:

本小结介绍了两点式、 截距式方程,通过学习学生应能根据条件适当选择合 适的形式给出方程。 四、课后作业 五、板书设计: P257 练习 9.22-9.23 1,2

4 直线的两点式方程
两点式方程 截距式方程 六、教学反思: 例3 例4

【课题】第五节 直线的一般式方程
【教学目标】
1.知识与技能: (1)掌握直线方程的一般式 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0 ) ,理解直线方程 的一般式包含的两方面的含义:①直线的方程是都是关于 x, y 的二元一次方程;② 关于 x, y 的二元一次方程的图形是直线. (2)掌握直线方程的各种形式之间的互相转化. 2.情感、态度、价值观: 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识。 3.过程与方法: 训练学生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征, 培养学生的数形结合能力。

【教学重点难点】
1.教学重点:各种形式之间的互相转化 2.教学难点:理解直线方程的一般式的含义。

【教法学法】启发式教学法 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 1.求:过点(2,1) ,斜率为 1 的直线的方程,并观察方程属于哪一类? 2.当直线的斜率不存在时,即直线的倾斜角α =90 时,直线的方程怎样表 示? 二、讲授新课: 1.一般式 (1)直线的方程是都是关于 x, y 的二元一次方程: 在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在 ? ? 90? 和 ? ? 90? 两种情 况下,直线方程可分别写成 y ? kx ? b 及 x ? x1 这两种形式,它们又都可变形为

Ax ? By ? C ? 0 的形式,且 A, B 不同时为 0 ,即直线的方程都是关于 x, y 的二元一

次方程. (2)关于 x, y 的二元一次方程的图形是直线: 因为关于 x, y 的二元一次方程的一般形式为 Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A, B 不同 时为 0 .在 B ? 0 和 B ? 0 两种情况下,一次方程可分别化成 y ? ?
x?? A C x? 和 B B

C , 它们分别是直线的斜截式方程和与 y 轴平行或重合的直线方程, 即每一 A

个二元一次方程的图形都是直线. 这样我们就建立了直线与关于 x, y 二元一次方程之间的对应关系.我们把
Ax ? By ? C ? 0 (其中 A, B 不同时为 0 )叫做直线方程的一般式.

一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 例 1.已知直线过点 A(6, ?4) ,斜率为 ? 截距式方程.
4 4 的直线方程的点斜式 y ? 4 ? ? ( x ? 6) ,化成 3 3 x y 一般式,得: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,化成截距式,得: ? ? 1 . 3 4 4 ,求该直线的点斜式和一般式方程及 3

解:经过点 A(6, ? 4) 且斜率 ?

例 2.求直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 的斜率及 x 轴, y 轴上的截距,并作图.
3 解:直线 l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 的方程可写成 y ? ? x ? 3 , 5 3 ∴直线 l 的斜率 k ? ? ; y 轴上的截距为 3 ; 5
3
5

当 y ? 0 时, x ? 5 ,∴ x 轴上的截距为 5 . 练习:P110 页练习题 2 例 3.求斜率为
3 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线方程. 4 3 4 解:设直线方程为 y ? x ? b ,令 y ? 0 ,得 x ? ? b , 4 3

1 4b ∴ | b ? (? ) |? 6 ,∴ b ? ?3 , 2 3

所以,所求直线方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 . 例 4.直线 l 过点 P(?6,3) ,且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距相等,求 直线 l 的方程. 分析:由题意可知,本题宜用截距式来解,但当截距等于零时,也符合题意, 此时不能用截距式,应用点斜式来解.
x y 解: (1)当截距不为零时,由题意,设直线 l 的方程为 ? ? 1 , b b ?6 3 ? ? 1 ,∴ b ? ?3 , ∵直线 l 过点 P(?6,3) ,∴ b b

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . (2)当截距为零时,则直线 l 过原点,设其方程为 y ? kx ,
1 将 x ? ?6, y ? 3 代入上式,得 3 ? ?6k ,所以 k ? ? , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y ? ? x ,即 x ? 2 y ? 0 , 2

综合(1) (2)得,所求直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 三、内容、方法小结: 本小节介绍了直线的一般式方程,通过本节课的学习,学生应掌握一般式方程的 形式以及意义;会熟练几种直线方程形式的互化。 四、课后作业 五、板书设计: 5 直线的一般式方程 例2 例3 例4 P259 练习 9.31-9.32 1,2

直线的一般式方程:
Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A, B 不同时为 0

例1 六、教学反思:

【课题】第六节 两条直线的交点坐标
【教学目标】
1.知识与技能: 直线和直线的交点;二元一次方程组的解。 2.情感、态度、价值观: 1)学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法; 2)掌握数形结合的学习法。 3)组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的直线系方程。 3.过程与方法: 1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内的联系。 2)能够用辩证的观点看问题。

【教学重点难点】
1.教学重点: 判断两直线是否相交,求交点坐标。 2.教学难点:两直线相交与二元一次方程的关系。

【教法学法】启发引导式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 几何元素 点P 直线 l 点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上 点 P( x0 , y0 ) 是 l1 、 l 2 的交点 代数表示 坐标 P( x, y) 方程 Ax ? By ? C ? 0 坐标 ( x0 , y0 ) 满足方程 Ax0 ? By0 ? C ? 0

? A x ? B1 y 0 ? C1 ? 0 坐标 ( x0 , y0 ) 满足方程组 ? 1 0 ? A2 x0 ? B2 y 0 ? C 2 ? 0

上述情况表明:两直线的交点(即公共点)坐标满足由两条直线方程所组成 的方程组。那么,如果两条直线相交,怎样求交点坐标? 二、讲授新课:

1、探究如何判断两直线 l1 、 l 2 的位置关系,通过解方程组确定交点坐标 已知 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 将方程联立, 得? , 对于这个方程组解的情况分三种讨论: ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
? x ? x0 若方程组有唯一解 ? ,则 l1 、 l 2 有唯一的公共点,此解就是交点坐标 ? y ? y0

P( x0 , y0 ) ,即相交
若方程组无解,则 l1 、 l 2 没有公共点,即平行; 若方程组有无数多个解,则 l1 、 l 2 有无数多个公共点,即重合。 上述情况表明:通过解方程组可以确定交点坐标;通过求交点可以确定两 直线位置关系,即观察方程组解的不同情况得到 l1 、 l 2 相交、平行、重合三种关 系。 2、例题讲解,规范表示,解决问题 例 1:求下列两直线交点坐标 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l 2 : 2 x ? 4 y ? 2 ? 0 解:见课本 113 页 同类练习:课本第 114 页,练习 1

例 2:判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) l1 : x ? y ? 0 , l 2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 (2) l1 : 3x ? y ? 0 , l 2 : 6 x ? 2 y ? 0 (3) l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , l 2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 解:见课本第 114 页 总结提高:通过解方程组求交点坐标,可以确定两直线位置关系,事实上, 进一步探究的结论是:

A1 B1 ? A2 B2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

有唯一解

相交

无解

平行

有无数个解

重合

同类练习:课本第 114 页,练习 2 三、探究过定点的直线系方程 问题:当 ? 变化时,方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形?图形 有何特点? 探究:取 ? ? 0,1??,得直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , 5x ? 5 y ? 0 ,??作出图形可 知,所有直线都过一个定点,该点为 M (?2,2) 结论:表示过 l1 :3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l 2 :2 x ? 4 y ? 2 ? 0 交点即定点 M (?2,2) 的 直线系。 总结提高: 若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 、l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交于 M ( x0 , y0 ) , 则方程 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 表示过 l1 与 l 2 交点的直线系。 三、内容、方法小结: 直线与直线的位置关系, 求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问 题来解决,并能进行应用。 四、课后作业 五、板书设计: 6 两条直线的交点坐标 P26 练习 9.41 1,2

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
? x ? x0 若唯一解 ? ,交点坐标 P( x0 , y0 ) ? y ? y0
若无解,则 l1 、 l 2 没有公共点;

例1

例2

若无数多个解,则 l1 、 l 2 有无数多个公共点。 六、教学反思:

【课题】第七节 两点间的距离
【教学目标】
1.知识与技能: (1) 让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程 , 掌握两点间距离公式及其简单 应用,会用坐标法证明一些简单的几何问题; (2)通过由特殊到一般的归纳,培养学生探索问题的能力。 2.情感、态度、价值观: 培养学生思维的严密性和条理性, 同时感受数学的形式美与简洁美, 从而激发学生学习 兴趣。 3.过程与方法: (1)利用勾股定理推导出两点间的距离公式,并由此用坐标法推证其它问题。通过推 导公式方法的发现,培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数 学思维能力; (2)在推导过程中,渗透数形结合的数学思想。

【教学重点难点】
1.教学重点:两点间的距离公式和它的简单应用 2.教学难点:用坐标法解决平面几何问题

【教法学法】启发式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】1 课时 【教学过程】:学导式

一、复习引入: 在平面直角坐标系中, 根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关 系, 以及求两相交直线的交点坐标,我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间 的相对位置关系。 平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系映? 二、讲授新课: 两点间的距离公式 问题 1:如图 1,P(3,4)到原点的距离是多少?根据是什么? 问题 2:如图 2 平面上两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),如何求 P1 ,P2 的 距离| P1 P2|? 问题 3:特别的原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离是多少? 在直角坐标系中,已知两点 P1(x1,y2)、P2(x2,y2)如图:从 P1、P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分别为 M1(x1,0)、N2(0,y1)、M2(x2, 0)、N2(0,y2),其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△P1QP2 中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2。 因为 |P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|,所以 |P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.由此得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2, y2)的距离公式:

应用举例 例 1 已知点 A(?1,2), B(2, 7), 在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值。 例 2 △ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)。

证明:取线段所在的直线为 x 轴,点 D 为原点(O),建立直角坐标系,设点 A 的坐标为(b,c),点 C 的坐标为(a,0),则点 B 的坐标为(-a, 0),可得:|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AD|2=b2+c2, |OC|2=a2. 所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2), |AO|2+|OC|2=a2+b2+c2. 所以 |AB| +|AC| =2(|AD| +|DC| ) 三、内容、方法小结: 1.学习了两点间的距离公式.2.解析法证明几何问题,建立坐标系的原则 又是什么呢?在不失一般性的前提下:(1)设点尽可能出现对称点.(2)尽可能的 把点放在坐标轴上,这样,点的坐标会出现有的坐标为零,优化计算.3.学习 中运用特殊到一般,再由一般到特殊的思想.还有“数” “形”结合的数学思想. 四、课后作业 P109 3、 4 五、板书设计: 7 两点间的距离 例2 例1 六、教学反思: 作业:
2 2 2 2

【课题】第八节 点到直线的距离
【教学目标】
1.知识与技能: (1)掌握点到直线的距离公式的推导方法,能用公式来求点到直线距离。 (2)培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。 (3)培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。 2.情感、态度、价值观: 培养学生团队合作精神,培养学生个性品质及勇于探究的科学精神。 3.过程与方法: 通过用多种方法推导点到直线的距离公式的过程,认识和体会事物(知识)之间相互联 系、互相转化的辩证法思想。

【教学重点难点】
1.教学重点:点到直线的距离公式推导及公式的应用 2.教学难点:点到直线的距离公式的推导

【教法学法】启发引导法、讨论法 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 上节课我们学习了如何求两点之间的距离, 今天我们来学习如何求点到直线 的距离。 二、讲授新课: 1 .教师提出问题,引发认知冲突 问题:假定在直角坐标系上,已知一个定点 P(x0 ,y0)和一条定直线 l: Ax+By+C=0,那么如何求点 P 到直线 l 的距离 d?请学生思考并回答。 学生 1:先过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,则|PQ|就是点 P 到直线 l 的 距离 d;然后用点斜式写出垂线方程,并与原直线方程联立方程组,此方程组的

解就是点 Q 的坐标;最后利用两点间距离公式求出|PQ|。 接着,教师用投影出示下列 5 道题(尝试性题组),请 5 位学生板演(第(4) 题请一位运算能力强的同学,其余学生自己练习,每做完一题立即讲评) : (1)求 P(1 ,2)到直线 l:x=3 的距离 d;(答案:d=2) (2)求 P(x0 ,y0)到直线 l:By+C=0(B≠0)的距离 d; (答案: d ? y0 ?
C ) B C ) A

(3) 求 P(x0 ,y0)到直线 l:Ax+C=0(A≠0)的距离 d; (答案: d ? x0 ? (4) 求 P(6 ,7)到直线 l:3x-4y+5=0 的距离 d; (答案:d=1) (5) 求 P(x0 ,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(AB≠0)的距离 d。 2.教师启发引导,学生走出困境 教师:根据以上 5 位学生的运算结果,你能得到什么启示?

学生 2:当直线的位置较特殊(水平或竖直)时,点到直线的距离易求得, 而当直线是倾斜位置时则较难; 含有多个字母时因计算量
y

很大而无法得出结果。 教师: 练习 (5) 有没有运算量小一点的推导方法呢? 能否根据第(2) 、 (3)的启示,借助水平、竖直情形和平 面几何知识来解决倾斜即一般情况呢?请同学们思考。 学生 3:能!如图 1,过点 P 作 x、y 轴的垂线分别交 直线 l 于 S、R,则由三角形面积公式可得 |PQ|=(|PR|·|PS|)/|RS| 设 R(x1 ,y0) ,则由 Ax1+By0+C=0, 得 x1= —(By0+C)/A, ∴|PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|/|A|; 同理:|PS|=|Ax0+By0+C|/|B|。 教师:|RS|怎么求?|PQ|呢? 学生 3:|RS|= PR ? PS
2 2

P(x0,y0)

R
O

d
Q

x S

图1

l

=( A2 ? B 2 / |AB|)·|Ax0+By0+C|。

|PQ|=

Ax 0 ? By 0 ? C A
2

?B

2



教师:公式的这种推导方法是否需要作补充说明? 学生 4:当 A=0 或 B=0 时,Δ PRS 不存在,当 A=0 或 B=0 时,由(2) 、 (3) 检验可知公式依然成立,即公式对任意直线都适用。 3 .教师提出问题,学生分组讨论 教师:前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识,你能用所 学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗?请同学们先独立思 考,然后在小组上进行讨论交流,由组长负责记录。每组推选一名代表对本组找 到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。 学生们积极探讨;教师来回巡视,回答各研究小组的询问?? 4.学生交流“成果” ,教师点评小结 请 4 名代表依次上讲台 (让准备成熟的先讲) , 借助实物投影介绍本组的 “成 果” 。由于时间关系,每组只要求讲一种方法,用时不超过 4 分钟,且各组的方 法不能重复。 学生 5:我们用的是“设而不求,整体代换”的数学思想。 设 Q 的坐标为 (x1 ,y1) , 则直线 PQ 的斜率 k1= 于是由 PQ⊥ l 得,
y1 ? y0 A , 又直线 l 的斜率 k= - , B x1 ? x0

k1k= -1 即 B(x1- x0)-A(y1- y0)=0



又因为 Ax1+By1+C=0, 即 Ax1+By1=-C 两边同减 Ax0+By0 得 于是①2+②2 得, A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) ② (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]= (Ax0+By0+C)2, 即 所以 d=
Ax 0 ? By 0 ? C A
2

(A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2 。

?B

2

教师: “设而不求,整体代换” ,真是奥妙无穷,这是解析几何减少运算量的 有效途径,同时也体现了数学的内在美,妙不可言。

学生 6:我们小组向大家介绍一种独特的方法——向量法:如图 2, 设 T(x1 ,y1)为直线 l 上任一点,则 Ax1+By1+C=0,
y

PT =(x1-x0,y1-y0)
∵PQ⊥直线 l , ∴ PQ 平行于直线 l 的法向量 n =(A,B) 另设 n 与 PT 的夹角为θ ,则 n · PT = n PT cosθ 即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= | 即|Ax0+By0+C|= A2 ? B 2 ·d ∴d=
Ax 0 ? By 0 ? C A
2

l
d
O

P(x0,y0)
x

Q T(x1,y1)

图2

A2 ? B 2 | PT || cosθ

?B

2



教师: 向量是数量与图形的有机结合,解析几何是用代数的方法解决几何问 题,两者都体现了数形结合的思想,第三小组的推导方法证明了这一点,也再次 说明了向量具有很强的实用性与工具性。 学生 8: 刚才三个小组的证明方法确实精彩, 我们也发现了一种巧妙的方法, 把它称为“柯西不等式法”,请看投影屏幕: 我们知道,P 点到直线 l 的距离,实质上是点 P 与直线 l 上任意一点 T 的距 离的最小值, 于是我们设 T (x1 ,y1) 为直线 l 上的任一点 (如图 2) , 则 Ax1+By1+C=0, 而 d=|PT|min,于是|PT|= ( x0 ? x1 ) 2 ? ( y 0 ? y1 ) 2 =

( x0 ? x1 ) 2 ? ( y 0 ? y1 ) 2 A ?B
2 2

× A2 ? B 2 ,
Ax 0 ? By 0 ? C A
2

利用柯西不等式,便有|PT|≥

?A( x0 ? x1 ) ? B( y0 ? y1 )?2
A2 ? B 2

=

?B

2



所以 d=

Ax 0 ? By 0 ? C A
2

?B

2

,此时 B( x0 ? x1 ) ? A( y0 ? y1 ) ,即 PT 垂直于直线 l。

教师:这一证法果然十分巧妙,包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距 想到最小值,又由最小值想到不等式,在一步步“转化”中问题得到圆满解决。 同时也体现了不等式的工具作用。 5.公式应用 (1) 求 P(6 ,7)到直线 l:3x-4y+5=0 的距离 d. (直接代公式得答案:d=1,检验尝试性题组第(4)的答案) (2)求 P(-1,1)到直线 l: y ? 2 x ? 1 的距离 d. (先化直线方程为一般式再代公式得答案: d ? 三、内容、方法小结: 这节课我们学习了点到直线的距离公式, 在公式的多种推导中学到了许多重 要的数学思想和方法,感受到了数学的奥妙,也感受到了成功的喜悦。请同学们 课后继续研究、交流。 四、课后作业 P109 5、6
4 5 ) 5

五、板书设计: 8 点到直线的距离 点到直线的距离 P(x0 ,y0) d= Ax+By+C=0 例6 例5

Ax 0 ? By 0 ? C A
2

?B

2

作业:P109 5、6 六、教学反思:

【课题】第九节 两条平行直线之间的距离
【教学目标】
1.知识与技能: 使学生理解什么是两条平行直线间的距离,会将直线间的距离转化为 点到直线的距离来求解。 2.情感、态度、价值观:培养学生团队合作精神,培养学生个性品质及勇于探究的科 学精神。 3.过程与方法: 通过两条平行直线的距离公式的过程,认识和体会事物(知识)之间 相互联系、互相转化的辩证法思想。

【教学重点难点】
1.教学重点:将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离 2.教学难点:两平行直线间的距离的求法。

【教法学法】启发式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】: 一、复习引入: 1、点到直线的距离公式是什么?默写一遍。 2、两平行线间的距离有什么性质? 3、已知点 A(-3,-4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,求 a 的值。 二、讲授新课: 1、两条平行直线间的距离的定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。 两条平行直线间的距离处处相等。 2、探究两条平行直线间的距离的求法 设直线 l1∥l2,如何 l1 与 l2 之间的距离? (1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离? (2)如何取点,使计算简单?

例 7、已知直线,l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-l=0,ll 与 l2 是否平行? 若平行 求 ll 与 l2 间的距离。 解:将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率:

l1 的斜率 k1= ,l2 的斜率 k2= ,
因为 k1=k2,所以

2 7

2 7

l1∥l2

先求 l1 与轴的交点 A 的坐标,容易知道点 A 的坐标为(4,0) 点 A 到直线 l2 的距离为: d=

6 ? 4 ? 21? 0 ? 1 6 2 ? 212



23 3 53

?

23 53 159

所以,ll 与 l2 间的距离为

23 53 。 159

由上面的例题可知, 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离,取点时 可考虑取 x 轴上的点或 y 轴上的点,运算可以简便点。 练习: 求两条平行线间的距离: 1)2x+3y-8=0 (2)3x+4y=10, 2x+3y+18=0 3x+4y=0

三、内容、方法小结: 本小结介绍了两条平行直线之间距离的求法, 学生需掌握把平行线之间的距 离转化为点到直线之间的距离。 四、课后作业 P110 9、10

五、板书设计: 9 例7 练习: 六、教学反思: 作业: 两条平行直线间的距离

【课题】第九节
【教学目标】

椭圆及其标准方程

1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 【教学重点难点】 3.掌握椭圆的标准方程 【教法学法】启发式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1 课时 【教学过程】: 一、复习引入: 新课导学 问题 1: 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处, 套上铅笔, 拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 .

问题 2:如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅 笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
P F1 F2

问题 3:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?

经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳的 尖_______________ 二、讲授新课: 新知1:

________保持不变,即笔 等于常数.

我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的

点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦 距 . 反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 . 试试: ) F2 (4,0) , 到 F1 , F2 两 点 的 距 离 之 和 等 于 8 的 点 的 轨 迹 已 知 F1 (? 4 , 0 , 是 .

小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程
x2 y 2 其中 b2 ? a 2 ? c 2 ? ? 1? a ? b ? 0? a 2 b2 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标

,则椭圆的标准方程





三、内容、方法小结: 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; ⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 . 变式:方程
x2 y ? ?1 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 则 实 数 m 的 范 4 m

围 . 小结:椭圆标准方程中: a 2 ? b2 ? c 2 ; a ? b .
?5 3? 例 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? ,(2, 0) ,并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准方 ?2 2? 程 . 变式:椭圆过点 ? ?2,0? , (2, 0) , (0,3) ,求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发得椭圆标准方程 . 四、课后作业
F2 距离之和为常数 2 a , 1. 平面内一动点 M 到两定点 F1 、 则点 M 的轨迹为 ( A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2 2. 如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 那么实数 k 的取值范围是 ( A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)

) .

) .

3.如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 100 36

F2 的距离是( ) .

A.4 B.14 C.12 D .8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 , 则椭圆的标准方程是 . 【学习小结】 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程: 五、板书设计:

六、教学反思:


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