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黑龙江双鸭山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


高二数学(理科)期中试题
(时间:120 分钟 总分:150 分,交答题纸) 第Ⅰ卷(12 题:共 60 分) 一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. i 为虚数单位,复数 A.

1 2 f (1 ? ?x) ? f (1) 2.设函数 f ( x ) 为实数集 R 上的可导函数,则 lim 等于 ( ) ?x ? 0

3?x 1 f ?(1) A. f ?(1) B. C. 3 f ?(1) D. f ?(3) 3 3 3.用反证法证明命题: “设 a, b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的
D. i 假设是 A.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
3 3

1 2

1 的虚部是 1? i 1 1 B. ? C. ? i 2 2





( B. 方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 D. 方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
3



C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
3

4.从参加兵乓球团体比赛的 6 名运动员中选出 4 名,并按排定的顺序出场比赛,有多少种不同 的方法 ? ( ) A.360 种 B.240 种 C.180 种 D.120 种 5.已知

?

2

0

(3 x 2 ? k )dx ? 16 ,则 k ?
B. 2 C. 3





A.1

D.

4 )

6.设函数 f ( x ) ? ln(2 ? 3 x ) ,则 f ?( ) ?

1 3



A.

1 2

B.

1 3

C. ? 3

D. ?2 ( )

7.用 0,1, 2, 3, 4 这五个数字,可以组成有重复的三位数的个数为 A. 125 8 .函数 y ? B. 60 C. 100 D. 90

2x 的图象大致为 ln x





1

9.若函数 f ( x ) ? kx ? ln x 在区间 (1, ?? ) 单调递增,则 k 的取值范围是 A. [2, ?? ) B. [1, ?? ) C. ( ??, ?2] D. ( ??, ?1]





n4 ? n 2 ( n ? N * ) 时,则当 n ? k ? 1 时左端 10. 在用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 2
2

应在 n ? k 的基础上加上的





A. k ? 1
2

B. (k ? 1)2

C.

( k ? 1)4 ? ( k ? 1)2 2

D.

(k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ? L ? (k ? 1)2
11.设 a∈R,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f ′(x),且 f ′(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)的一条 切线的斜率是

3 ,则切点的横坐标为 2
B. ? ln 2 C.





A. ln 2

ln 2 2

D. ?

ln 2 2

12.设 f ( x) 是定义在 (??, 0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x) ,且有 2 f ( x) ? x?f ( x) ? x 2 , 则不等式 ( x ? 2016)2 f ( x ? 2016) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为 A. (??, ?2014) B. (?2014, 0) C. (??, ?2018) ( ) D (?2018, 0)

第Ⅱ卷(10 题:共 90 分) 二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算 2 A5 ? A6 ? _______ 。(请用数字作答)。
3 2

14. 已知复数 z 的共轭复数为 z ,且

z ? 2 ? i ,则复数 z ? ________________。 1? i
2

15. 若点 P 在曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? (3 ? 3) x ?

角 ? 的取值范围是_______________。 16.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整点 的点)按如下 则标上数字标签:点(0,0)处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1) 标 6, 点 (0,1) 处标 7, 依此类推, 则标签 2017 的格点坐标 为 三、解答题(包括 6 小题,共 70 分) 17.(本题 10 分) 计算由曲线 y ? x2 , y ? 2 x ? 3 所围成图形的面积。
2

3 上移动,经过 点 P 的 切线的倾斜角为 ? ,则 4
规 2, 处



18.(本题 12 分) 已知复数 z ?

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) (i 是虚数单位) . 2?i

(1)求复数 z 的模 z ; (2)若 z 2 ? az ? b ? 1? i(a, b ? R) ,求 a ? b 的值.

19.(本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极值且 c ? 3, c ? R . (1)求 c 的值; (2)求 f ( x) 在区间[0,4]上的最大值和最小值.

20.(本题 12 分) 设 f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实数。 1 ? ax2
4 时,求 f ( x) 的极值点; 3

(1)当 a ?

(2)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。

21.(本题 12 分)
3

已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax(a ? R) (1)当 a = 2 时,求 f ( x) 的图像在 x = 1 处的切线方程; (2)若函数 g ( x) = f ( x) - ax + m 在 [ , e ] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围。

1 e

22.(本题 12 分) 已知函数 f ( x) = ln x - kx +1 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? ?L ? ? (n ? N * , n ? 1) 3 4 n ?1 4

一、选择题 1.A 2.B 3.D 二、填空题

4.A

5.D

6.C

7.C

8.D

9.B

10.D

11.A

12.C

4

13.90 三、解答题 17.

14. 1 ? 3i

15. [0,

?
2

) ?[

2? ,? ) 3

16 .(1009,1008)

32 3
(2) a ? b ? 1 2;

18.(1) z ? 1 ? i, z ?

19.(1) c ? 2 或 c ? 6 舍 (2) f ( x)max ? f (4) ? 16, f ( x)min ? f (0) ? 0 20.(1) x ?

1 3 是 f ( x ) 的极大值点; x ? 是 f ( x ) 极小值点。 2 2 (2) 0 ? a ? 1

21.(1) y ? 2 x ? 1 ;

? ? g (1) ? 0 ? 1 (2)? ? g (e) ? 0 ? m ? (1, 2 ? 2 ] e ? 1 ?g( ) ? 0 ? e
22.(1)? k ? 0, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ? k ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) (2) k ? 1 ;
2 2 (3 )令 k ? 1 ,由(2)知 ln x ? x ? 1 对 x ? (0, ??) 恒成立,取 x ? n ,则 2ln n ? n ? 1

1 k

1 k



ln n n ? 1 ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? , n ? 2 ,所以 ? ?L ? ? (n ? N * , n ? 1) n ?1 2 3 4 n ?1 4

5


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