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必修2 1.3空间几何体表面积、体积知识点


必修 2

1.3 空间几何体的表面积、体积

例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC(图 6) ,求它的表面积.

图6 分析:由于四面体 S—ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的 4 倍. 解:先求△SBC 的面积,过点 S 作 SD⊥BC,交 BC

于点 D. 因为 BC=a,SD= SB ? BD ?
2 2

a 3 a2 ? ( )2 ? a, 2 2

所以 S△SBC=

1 1 3 3 2 BC· SD= a ? a? a . 2 2 2 4

因此,四面体 S—ABC 的表面积 S=4× 变式训练

3 2 a ? 3a 2 . 4

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为 r,圆柱侧面积为 S,求圆锥的侧面积.
1

解:设圆锥的母线长为 l,因为圆柱的侧面积为 S,圆柱的底面半径为 r,即 S 圆柱侧=S,根据圆柱的侧面积公式 可得:圆柱的母线(高)长为

S S ,由题意得圆锥的高为 ,又圆锥的底面半径为 r,根据勾股定理,圆 2?r 2?r

锥的母线长 l= r ? (
2

S 2 ) ,根据圆锥的侧面积公式得: 2?r

S 圆锥侧=π rl=π · r· r 2 ? (

S 2 4? 2 r 4 ? S 2 . ) ? 2?r 2


2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27

分析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为 1∶2∶3,于是自 上而下三个圆锥的体积之比为(

?

3

r 2 h )∶[

?

3

( 2r ) 2 · 2h]∶[

?

3

(3r ) 2 · 3h]=1∶8∶27,所以圆锥被分成的三

部分的体积之比为 1∶(8-1)∶(27-8)=1∶7∶19. 答案:B 3.三棱锥 V—ABC 的中截面是△A1B1C1,则三棱锥 V—A1B1C1 与三棱锥 A—A1BC 的体积之比是( A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8 )

分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为 1∶4,将三棱锥 A—A1BC 转化为三棱锥 A1—ABC,这样三棱锥 V—A1B1C1 与三棱锥 A1—ABC 的高相等,底面积之比为 1∶4,于是其 体积之比为 1∶4. 答案:B

例 2 如图 7,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm,盆底直径为 15 cm,底部渗水圆孔直径为 1.5 cm,盆壁长 为 15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少毫 升油漆?(π 取 3.14,结果精确到 1 毫升)

图7 解:如图 7,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 S=π [ ( 000(cm2)=0.1(m2). 涂 100 个这样的花盆需油漆:0.1× 100× 100=1 000(毫升). 答:涂 100 个这样的花盆需要 1 000 毫升油漆.

15 2 15 20 1 .5 2 ) ? ? 15 ? ? 15 ]-π ( ) ≈1 2 2 2 2

变式训练 1.有位油漆工用一把长度为 50 cm,横截面半径为 10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为 10 m2 的木板涂油漆,且
2

圆柱形刷子以每秒 5 周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少?(精确到 0.01 秒) 解:圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积, ∵圆柱的侧面积为 S 侧=2π rl=2π · 0.1· 0.5=0.1π m2, 又∵圆柱形刷子以每秒 5 周匀速滚动, ∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为 0.5π m2, 因此油漆工完成任务所需的时间 t=

10m 2 20 ? ≈6.37 秒. 2 ? 0.5?m

2.已知三棱锥 O—ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且 x+y=4,则三棱锥体积的最大 值是___________. 分析:由题意得三棱锥的体积是 ? 体积取最大值 答案:

1 1 1 1 2 xy ? x(4 ? x) ? ? (x-2)2+ ,由于 x>0,则当 x=2 时,三棱锥的 3 2 6 6 3

2 . 3

2 3

例 3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g/cm3)六角螺帽(图 8)共重 5.8 kg,已知底面是正六边形,边 长为 12 mm,内孔直径为 10 mm,高为 10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π 取 3.14)

图8 解 : 六 角 螺 帽 的 体 积 是 六 棱 柱 体 积 与 圆 柱 体 积 的 差 , 即 V= 956(mm3)=2.956(cm3). 所以螺帽的个数为 5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答:这堆螺帽大约有 252 个.

10 2 3 × 122× 6× 10-3.14× ( ) ×10≈2 2 4

变式训练 如图 9,有个水平放置圆台形容器,上、下底面半径分别为 2 分米,4 分米,高为 5 分米,现以每秒 3 立 方分米的速度往容器里面注水,当水面的高度为 3 分米时,求所用的时间.(精确到 0.01 秒)

图9 解:如图 10,设水面的半径为 r,则 EH=r-2 分米,BG=2 分米,

3

图 10 在△ABG 中,∵EH∥BG,

AH EH ? .∵AH=2 分米, AG BG 2 r?2 14 ∴ ? .∴r= 分米. 5 2 5
∴ ∴当水面的高度为 3 分米时,容器中水的体积为 V 水= ? · 3[(

14 2 14 876? )+ × 4+42]= 立方分米, 5 5 25 876 ? 292 ? ∴所用的时间为 25 ? ≈36.69 秒. 3 25 1 3
答:所用的时间为 36.69 秒.

自我测试
1.正方体的表面积是 96,则正方体的体积是( A. 48 6 B.64 ) C.16 D.96

分析:设正方体的棱长为 a,则 6a2=96,解得 a=4,则正方体的体积是 a3=64. 答案:B 2.如图 19 所示,圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为( A.π B.2π C.3π ) D.4π

分析:设圆锥的母线长为 l,则 l= 3 ? 1 =2,所以圆锥的表面积为 S=π × 1× (1+2)=3π . 答案:C 3.正三棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 2 3 ,则这个正三棱锥的体积是( )

A.

27 4

B.

9 4
2

C.

27 3 4 1 3

D.

9 3 4

分析:可得正三棱锥的高 h= ( 2 3 ) ? ( 3 ) =3,于是 V= ?
2

3 2 9 3 ?3 ?3 ? . 4 4
4

答案:D 4.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的_________倍;若圆柱的高不变, 底面半径扩大为原来的 4 倍,则圆柱的体积扩大为原来的_________倍. 分析:圆柱的体积公式为 V 圆柱=π r2h,底面半径不变,高扩大为原来的 4 倍,其体积也变为原来的 4 倍;当 圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的 4 倍时,其体积变为原来的 42=16 倍. 答案:4 16 5.图 20 是一个正方体,H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA1 的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个 角,问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图 20 分析:因为锯掉的是正方体的一个角,所以 HA 与 AG、AF 都垂直,即 HA 垂直于立方体的上底面,实际上 锯掉的这个角,是以三角形 AGF 为底面,H 为顶点的一个三棱锥. 解:设正方体的棱长为 a,则正方体的体积为 a3. 三棱锥的底面是 Rt△AGF,即∠FAG 为 90°,G、F 又分别为 AD、AA1 的中点,所以 AF=AG= 以△AGF 的面积为

1 a .所 2

1 1 1 1 1 ? a ? a ? a 2 .又因 AH 是三棱锥的高,H 又是 AB 的中点,所以 AH= a .所以锯 2 2 2 8 2 1 1 1 2 1 3 a . 掉的部分的体积为 ? a ? a ? 3 2 8 48 1 3 1 1 a ? a3 ? 又因 ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的 . 48 48 48
6.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面积是____________.

?? 2 S ? l ? S, 分析:如图 21,设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,由题意得 ? 2 解得 r= ,所以圆锥的底面积为 2 ? ? ??l ? 2?r ,
π r2= ? ?

S S ? . 2? 2

图 21

S 答案: 2
7.如图 22,一个正三棱柱容器,底面边长为 a,高为 2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,
5

如图 23,这时水面恰好为中截面,则图 22 中容器内水面的高度是_________.

图 22

图 23

分析:图 22 中容器内水面的高度为 h,水的体积为 V,则 V=S△ABCh.又图 23 中水组成了一个直四棱柱,其底

3 S ?ABC ? 2a 3 3 3 4 ? a. S S 面积为 2a,∴h= ?ABC ,高度为 2a,则 V= ?ABC · 4 4 S ?ABC 2
答案:

3 a 2
2 6?h ? ,解得 h=3 ,所以这个圆台的体积是 4 6

8.圆台的两个底面半径分别为 2、4,截得这个圆台的圆锥的高为 6,则这个圆台的体积是_____________. 分析:设这个圆台的高为 h ,画出圆台的轴截面,可得

? 2 (2 +2× 4+42)× 3=28π . 3
答案:28π

6


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