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山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 文科数学


青岛市高三统一质量检测 数学(文科) 本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、 试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干 净

后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改 液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4 V ? ? R3 3 参考公式:球的体积公式为: ,其中 R 为球的半径.
第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

N ? ?x | 0 ? x ? 2? N ? (? M ) ? U 1. 设全集 U ? R ,集合 M ? { x | x ? 1 或 x ? ?1 }, ,则
A.

?x | ?2 ? x ? 1?

B.

?x | 0 ? x ? 1?

C.

?x | ?1 ? x ? 1?

D.

?x | x ? 1?

2i 2. i 是虚数单位,复数 1 ? i 的实部为
A. 2 B. ? 2 C. 1 D. ? 1

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是

y ? sin( 2 x ?
A. 4.函数

?
2

)
B.

y ? cos( 2 x ?

?
2

)
C.

y ? sin( x ?

?
2

)
D.

y ? cos( x ?

?
2

)

f ( x) ? 1 ? x log2 x 的零点所在区间是
1 ( ,1) B. 2

1 1 ( , ) A. 4 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

5. 已知 m , n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是

m, n ? ? ,则 l ? ? A.若 l ? m , l ? n ,且
B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?
第 1 页 共 10 页

6. 函数 y ? 2

1? x

的大致图象为

y
1
O

y
1 1

y

y
1

x

O

x

O

x

O

x


7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为 C B A 径是 2 的圆,则这个几何体的体积是

D

32? A. 3

B. 8?
2

16? C. 3

D. 32?

正视图

左视图

8.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物

线 俯视图 直

PF ? 4 上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , ,则
线 AF 的倾斜角等于

7? A. 12

2? B. 3

3? C. 4

5? D. 6

9. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

? x, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ? x ? x, x ? 0 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取 10. 已知函数
值范围为

1 [ ? ,1] A. 2

1 [ ? ,1) B. 2

1 (? , 0) C. 4

1 (? , 0] D. 4

? 11.已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函数 f ( x ) 满足

xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则
A. C.

f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a) f (log2 a) ? f (3) ? f (2a )

B. D.

f (3) ? f (log2 a) ? f (2a ) f (log2 a) ? f (2a ) ? f (3)

b a 12. 定义区间 (a, b) ,[a, b) ,(a, b] ,[a, b] 的长度均为 d? ? . 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整

() []{ x } ( ) x 1 若用 d 表示不等式 f( )? ( ) x gx 数, {} x [ ] 其中 x ? R .设 f x? ? x,gx ? ? , 记 x ? ?x,

第 2 页 共 10 页

解集区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 3 时,有 A. d ? 1 B. d ? 2 C. d ? 3 D. d ? 4

网第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示, a ? 3 ,则该程序运行后, 若 的 x 值为 14. 设 ; 开始 输 出

a Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, 1 ? 2, a5 ? 3a3 ,


n ? 1, x ? a



S9 ?

n ? n ?1

15. 已知

x, y 满足约束条件

? x2 ? y 2 ? 4 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? y?0 ?


n?3
否 ,则目标函数 输出x



x ? 2x ?1

z ? 2 x ? y 的最大值是
16.给出以下命题:

结束

y2 ? x2 ? 1 ① 双曲线 2 的渐近线方程为 y ? ? 2x ;
+ p: ② 命题 “ ?x ? R ,

sin x ?

1 ?2 sin x ”是真命题;

③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;

?

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ④ 已知 2 ? 4 6 ? 4 ,5? 4 3? 4 , 7 ? 4 1? 4 , 10 ? 4 ?2 ? 4 ,依照以上

n 8?n ? ?2 各式的规律,得到一般性的等式为 n ? 4 (8 ? n) ? 4 , n ? 4) (
则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.

, , 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b c为 △ ABC 的 内 角 A, B C的 对 边 , 满 足

sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C ? ? [0, ] sin A cos A 3 上单调递增,在区间 ,函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间

? 2? [ , ] 3 3 上单调递减.

第 3 页 共 10 页

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ;

f ( ) ? cos A 9 (Ⅱ)若 ,证明 △ ABC 为等
边三角形.
0.06 频率/组距 频率/组距

?

18. (本小题满分 12 分)从某学校的 800 名男 生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高 全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果 按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第 二组[ 160 , 165 ),…,第八组[ 190 , 195 ],右
0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身 高

0.04

(cm) 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人 数为 4 人. (Ⅰ )求第七组的频率; (Ⅱ )估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅲ )若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x, y ,

x? y ?5 x ? y ? 15 事件 E ? { },事件 F ? { },求 P( E ? F ) .
19. (本小题满分 12 分)如图,几何体

ABCD ? B1C1D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? ,

AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1
的中点. (Ⅰ)求证:
D1

C1
B1
E

?DB1E 为等腰直角三角形;

DB1E . (Ⅱ )求证: AC ∥面
D

C
B

20. (本小题满分 12 分)
A

已 知 n?N

?

, 数 列

?d n ?

满 足

3 ? (?1) n dn ? 2 ,数列

?an ? 满 足 an ? d1 ? d 2 ? d 3???? ? d n ; 数 列 ?bn ? 为 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 , 且 b2 ,b4 为 方 程 2
x 2 ? 20x ? 64 ? 0 的两个不相等的实根.
(Ⅰ)求数列

?an ?和数列 ?bn ?的通项公式;
第 4 页 共 10 页

(Ⅱ )将数列

?bn ?中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,??,第 an 项,??删去后剩余的项按从小到 ?cn ?,求数列 ?cn ?的前 2013 项和.
2

大的顺序排成新数列

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? ln x . (Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ )若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] 时,恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,求实数 m 的取值范围.
2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 3 ,离心率为 2 ,其右焦 b 22. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : a 的焦距为
点为 F ,过点 B(0, b) 作直线交椭圆于另一点 A .

??? ??? ? ? AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅰ)若
???? 2 5 x2 y 2 1 ? 2 ? HG ? 2 b 3 相交于两点 G 、 H ,且 3 ,求 k 的取 (Ⅱ )若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N : a
值范围.

青岛市高三统一质量检测 数学 (文科) 参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. BCACD A BB B C CA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 31 14. ?54 15. 2 5 16.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? sin A cos A 解: (Ⅰ)?

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2sin A- cos B sin A- cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2sin A
sin (A ? B) ? sin (A ? C) ? 2sin A
?????????????????????3 分

sin C ? sin B ? 2sin A ???????????????????????????5 分
所以 b ? c ? 2a ??????????????????????????????6 分

第 5 页 共 10 页

2?
(Ⅱ)由题意知:由题意知: ?

?

4? 3 ?? 3 ,解得: 2,

??????????8 分

f(
因为

?
9

) ? sin

?
6

?

1 ? ? cos A A? A ? (0,? ) ,所以 2 3 ,

??????????9 分

b 2 ? c 2 -a 2 1 cos A ? ? 2bc 2 由余弦定理知:
所以 b ? c -a ? bc 因为 b ? c ? 2a ,所以
2 2 2

???????????????10 分

b 2 ? c 2 -(

b?c 2 ) ? bc 2 ,

即: b ? c -2bc ? 0 所以 b ? c
2 2

?????????????????????11 分

A?


?
3 ,所以 △ ABC 为等边三角形. ???????????????????12 分

18. (本小题满分 12 分)

4 ? 0.08 (Ⅰ)第六组的频率为 50 ,所以第七组的频率为

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ???????????4 分
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ??????8 分 (Ⅲ) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B ,则有 ??????????6 分

第 6 页 共 10 页

ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,
x? y ?5 因事件 E ? { }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组, 所以事件 E 包含的基本事件为

ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故
由于

P( E ) ?

7 15 . ????????10 分

x ? y max ? 195 ?180 ? 15

x ? y ? 15 ,所以事件 F ? { }是不可能事件, P( F ) ? 0

由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以

D1

C1 B1
F
E
为菱

P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ?
19. (本小题满分 12 分)

7 15 ???12 分

解: 连接 BD , AC 于 O , (I) 交 因为四边形 ABCD

D
形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a
?

C

因为

BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1

A

O
B
又面

B1 C1 D1 ABCD ,? BC // B1C1 ∥面
所以四边形 因为

BCC1B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ???2 分

BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2 a2 6a ? 2 2 ??????????????????4 分

B1E ? B1C12 ? C1E 2 ? a 2 ?
DE 2 ? B1E 2 ?

所以

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 ?DB1E 为等腰直角三角形 ??6 分 4 所以

(II)取

DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF

因为 O, F 分别为

DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且
EC ?

OF ?

1 BB1 2

BB1 ,且 因为 EC ∥

1 BB1 2 ,所以 OF ∥ EC ,且 OF ? EC
第 7 页 共 10 页

所以四边形 EFOC 为平行四边形??????????????????????10 分

DB1E , EF ? 面 DB1E , 所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面
所以 AC ∥面

DB1E . ???????????????????????????12 分

20.(本小题满分 12 分)

3 ? (?1) n ? dn ? 2 解: (Ⅰ) ,

? an ? d1 ? d2 ? d3 ???? ? d2n
2

?

3 ? 2n ? 3n 2 ?????????????????3 分

因为 b2 ,b4 为方程 x ? 20x ? 64 ? 0 的两个不相等的实数根. 所以 b2 ? b4 ? 20 , b2 ? b4 ? 64 ???????????????????????4 分

b ? 2 ????????????????????6 分 解得: b2 ? 4 , b4 ? 16 ,所以: n
n

(Ⅱ)由题知将数列

?bn ?中的第 3 项、第 6 项、第 9 项??删去后构成的新数列 ?cn ?中的奇数列与
b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8,
????9 分

偶数列仍成等比数列,首项分别是

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ???? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ???? ? c2012 )
? 2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? 1? 8 1? 8 7

????????????12 分

21. (本小题满分 13 分)

f ?( x) ? 2ax ?
解: (Ⅰ)

1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) x x

???????????????2 分

? ①当 a ? 0 时,恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数;?????????4 分

②当 a ? 0 时,当

0? x? ?

1 1 (0, ? ) 2a 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 2a 上是增函数;

x? ?


1 1 ( ? ,??) ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 2a 时, f 2a 上是减函数 ???????6 分 (0, ? 1 ) 2a 上是增函数,f (x)

综上, a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数; a ? 0 时, f (x) 在 当 当

( ?


1 ,??) 2a 上是减函数. ???????????????????7 分
第 8 页 共 10 页

1 (Ⅱ)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2? 及 x ? ? ,3? 时,
2 ma ? a ? f ?x?max 恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,等价于
2

2 1 1 ? ? ? ?1 2a 2 因为 a ? ?? 4,?2? ,所以 4

1 由(Ⅰ)知:当 a ? ?? 4,?2? 时, f (x) 在 ? ,3? 上是减函数
所以

f ( x) max ? f (1) ? 2a ?????????????????????????10 分

2 所以 m a ? a ? 2a ,即 m ? a ? 2

因为 a ? ?? 4,?2? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 ???????????????????12 分 所以实数 m 的取值范围为 m ? ?2 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 3 , ?????????????????????13 分

e?

c 2 ? a 2 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,

x2 y 2 ? ?1 3 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: 6
由此可得: B(0, 3) , F ( 3,0)

???????????2 分

??? ? ??? ? A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (?x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) , 设 ??? ??? ? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3
? 4 3 ? x0 ? ? x0 2 y0 2 ? 3 ? ?1 ? ? ? x0 ? 0 3 ? ? 6 ?y ? 3 ? y ? x ? 3 ? ?y ? ? 3 ? 0 ? 0 0 ? 3 由? 0 ,或 ?
即 A(0, ? 3) ,或

A(

4 3 3 , ) 3 3 ???????????????????????4 分

OA ? OB ? OF ? 3 ? ?ABF ①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, , 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半
径的圆,即 x ? y ? 3 ???????????????????????5 分
2 2

4 3 3 , ) 3 时, AF 和 BF 的斜率分别为 1 和 ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其 ②当 A 的坐标为 3 (
第 9 页 共 10 页

2 3 2 3 1 15 , ) AB ? 3 ,半径为 2 3 , 外接圆是以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 3 ( (x ? 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3 (x ? 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3 ???7 分

? ?ABF 外接圆的方程为

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或
2 2

(Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.设

G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ?x 2 2 2 2 2 ? ? y ?1 由? 2 得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
4 2 2 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得:

k2 ?

1 2 ??( ? )???????????9 分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

???? 2 5 2 5 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? HG ? 3 3 ,即

???????????????10 分

? (1 ? k 2 )[

64k 4 8k 2 ? 2 20 ? 4? ]? (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2 9

?k2 ?

1 1 1 ? k2 ? 4 ,结合( ? )得: 4 2

??????????????????12 分

?
所以

2 1 1 2 ?k?? ?k? 2 2或2 2

??????????????????13 分

第 10 页 共 10 页


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