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优质课平面向量数乘运算及其几何意义


三角形法则 向 量 加 法 A

平行四边形法则
C

? ? a?b

? a

? b
O

? b

B

? ? a?b
A

C

B

?

a

首尾顺次相连 向 量 减 法 三角形法则

起点相同

? b
O

B

??? ? ? ? BA ? a ? b
A

? a

共起点, 连终点, 指被减.

运 算 结 果 仍 然 是 向 量 !

实数的乘法是怎样利用加法定义的呢?

a ? a ? a ? 3a

? ? ? ? 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ? 结果与 a 有什么联系? 探究: ? ? ? ? a
a a a

? ? ? 和 ?a ? ?a ? ?a .

? ? ? ? ? ?
? ?a
M Q

? ?a
C

? ?a
N

? ?a
P

O

????? ? ? ? ???? OC ? a? ?3 aa ?a OC
? ? 3a ? 3 a

A

B

???? ? ? ? ? ? ???? PN a? ?3a ?a PN ?? ? 3a ?? a ??
?3a ? 3 a ? ? ?3a 与 a 方向相反

?? ?? ??? ? ? ?

? ? 3a与 a 方向相同

2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义

? 定义: 一般地,我们规定实数 ? 与向量 a 的积

? ? ?a (2)当 ? ? 0 时, ? 的方向与 a ? 的方向相同; ?a 当 ? ? 0 时, a 的方向相反. ? 的方向与 ? ? a ? 0. 当 ? ? 0 时, 练习: ???? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? 1、如图,点C是线段AB的中点,则 AC ? 2 AB, BC ? 2 AB.
A C

(1) ? a ? ? a ;

? 记作 ? a , 它的长度与方向规定如下: ? ?

是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.

? 2、计算: 3(2a)=

? 6a

B

? ? ? 2a +4a = 6a

向量的数乘运算运算律:
? ? ?,?是实数,那么 (1) ? ( ? a) ? (?? )a; ? ? ? (2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a; ? ? ? ? (3) ? (a ? b) ? ? a ? ? b. ? ? ? ? 特别地 (?? )a ? ?(? a) ? ? (?a) ? ?? a, ? ? ? ? ? (a ? b) ? ? a ? ? b. 例5 计 ? ? 算 (?3) ? 4a ? ?12a (1)
? ? ? ? ? ? (3) (2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c)

? ? ? ? ? (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a

? ? 5b

? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

向量的数乘运算运算律:
? ? ?,?是实数,那么 (1) ? ( ? a) ? (?? )a; ? ? ? (2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a; ? ? ? ? (3) ? (a ? b) ? ? a ? ? b. ? ? ? ? 特别地 (?? )a ? ?(? a) ? ? (?a) ? ?? a, ? ? ? ? ? (a ? b) ? ? a ? ? b.

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 ?? 以及任意实数 ?、?1、?2,恒有 对于任意向量 a、 b,

? ? ? ? ? (?1 a ? ?2 b ) =??1 a ? ??2 b

? ? 如果去掉 (a ? 0) 这个条件呢?

探究: ? ? ? ? ? ? (1)如果b ? ? a(a ? 0),向量a与b是否共线?
? ? ? ? ? ? (2)如果向量b与a(a ? 0)共线,那么b ? ? a是否成立?

定理 (共线向量基本定理)

A、 B、 C三 点之间什么位 判断下列各小题中的向量是否共线 ? 练习: ? ?? ? 置关系呢? (1)a ? ? ? 2e; ?2e, b? ? ?b ??? ? a? ? ??? ? ? ? (2) AB ? e1??? ?? e2 , AC ? 2e1 ? 2e2 . 直线AB与直 ??? ? AC ? 2 AB 线 CD 有什么 ??? ? ? ? ??? ? ? ? 1 1 (3) AB ? e1 ? e 2 , CD ? ? e1 ? 位置关系呢? e2 . ??? ? ? 2 2 1 ??? CD ? ? AB 2

? ? ? ? 向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有 ? ? 唯一一个实数?,使b ? ? a .

例6

??? ? 解: 分别作向量 OA 、 OC . OB 、

? ? ??? ? ? ? 已知任意两个非零向量 a、b,试作 OA ? a ? b, ??? ? ? ? ???? ? ? 、C OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B ? 三点之间的位置关系吗?为什么? a ??? ? ????
C 由图猜想A、B、C三点共线.

小结: 借助向量共线来证明三点共线.

? b

??? ? ??? ? ??? ? 因为 AB ? OB OA ? ? ? ? ?? a ? 2b??? ??(a ? b) ? b ???? ? ???? 而 AC ? OC ? ? ??OA? ? ?3 ???? ? a??? ?b ? (a ? b) ? 2b 于是 AC ? 2 AB
又因为有公共点A 所以,A、B、C三点共线.

? b ? b ? b
O

B A

? a

???? ??? ? ???? ??? ? 变式练习:如图,已知 AD ? 3AB , DE ? 3BC,
证明:A、C、E三点共线.
E

C
A B D

共线向量基本定理可以用来证明向 小结: 量共线、三点共线和两直线平行.

例7 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于一点 M . 且

??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ???? ? ???? ? 表示 MA, MB, MC, MD 吗? AB ? a, AD ? b, 你能用 a , b

? b
A

D M

C

? a

B

???? 1? 1? MA ? ? a ? b 2 2 ???? ? 1? 1? MC ? a ? b 2 2

???? 1 ? 1 ? MB ? a ? b 2 2 ???? ? 1? 1? MD ? b ? a 2 2

一、向量数乘运算定义及其几何意义 二、向量数乘运算运算律 三、共线向量基本定理

习题2.2 A组9、10、11、12


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