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函数定义域、值域经典习题及答案


复合函数定义域和值域练习题
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

(2) y ?
1?

1 1 x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2、 设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] , 则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 的定义域为________; 3、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 数 f ( ? 2) 的定义域为
1 x

_; 函数 f ( x ? 2)

;函



4、已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在, 求实数 m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2]
3x ? 1 x ?1 3x ? 1 ( x ? 5) ⑷y? x ?1

⑶y?

⑸ y?

2 x ?6 x ?2

三、求函数的解析式 1、已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式。 2、已知 f ( x) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2x2 ? 4x ,求 f ( x) 的解析式。
1

3、已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =



4、设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时
f ( x) =____

_

f ( x) 在 R 上的解析式为

5、设 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 {x | x ? R, 且x ? ?1} , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 f ( x) 与 g ( x) 的解析表达式 x ?1

四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1 7、函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x2 ) 的单调递增区间是 8、函数 y ? 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ⑴ y1 ?
( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

2? x 的递减区间是 3x ? 6

;函数 y ?

2? x 的递减 3x ? 6



⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;
2 g ( x) ? 3 x3 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) ,

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ? x 2 ;
f 2 ( x) ? 2x ? 5 。

⑷ f ( x) ? x ,

A、⑴、⑵ 10、若函数 f ( x) =
2

B、 ⑵、⑶

C、 ⑷

D、 ⑶、⑸ )

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 ( mx ? 4mx ? 3 3 3 3 A、(-∞,+∞) B、(0, ] C、( ,+∞) D、[0, ) 4 4 4
2

11、若函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4 ) D、 {?2, 2} (D) 0 ? m ? 4

13、函数 f ( x) ? 4 ? x2 ? x2 ? 4 的定义域是( A、 [?2, 2] B、 (?2, 2)
1 x

C、 (??, ?2) (2, ??) )

14、函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 是(

A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

? x ? 2( x ? ?1) ? 15、函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ? mx ? n 17、已知函数 y ? 2 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = ,n= x ?1 1 18、把函数 y ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原 x ?1

点对称的图象的解析式为 19、求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在区间[ 0 , 2 ]上的最值 20、若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,当x ? [t , t ? 1]时的最小值为 g (t ) ,求函数 g (t ) 当 t ? [-3,-2]时 的最值。

3

复合函数定义域和值域练习题 答 案 一、 函数定义域: 1、 (1){x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6} 2、 [?1,1] ; [ 4 , 9 ] 二、 函数值域: 5、 (1){ y | y ? ?4} (5) y ?[?3, 2) (9) y ? [0,3] 6、 a ? ?2, b ? 2 三、 函数解析式: 1、f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 4、 f ( x) ? x(1 ? 3 x ) 四、 单调区间: 6、 (1)增区间:[?1, ??) 减区间:(??, ?1] (2)增区间:[?1,1] 减区间:[1,3] ; f ( 2x? 1 ? ) 2 x 4 ? 4 ; f ( x) ? ? ?
? x(1 ? 3 x )( x ? 0)
3 ? ? x(1 ? x )( x ? 0)

(2){x | x ? 0}
[0, ]; 3、 5 2

(3){x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ? , x ? 1}
?1 ? m ? 1 4、

1 2

1 1 (??, ? ] [ , ??) 3 2

(2) y ? [0,5]
1 2

(3){ y | y ? 3}

(4) y ? [ ,3) (8) y ? R
1 2

7 3

(6) { y | y ? 5且y ? } (7) { y | y ? 4} (10) y ? [1, 4]

(11) { y | y ? }

2、f ( x) ? x2 ? 2x ?1 5、 f ( x ) ?
1 x ?1
2

3、f ( x) ? 3 x ?
g ( x) ? x x ?1
2

4 3

(3)增区间: [?3, 0],[3, ??) 7、 [0,1]

减区间: [0,3], (??, ?3]
(?2, 2]

8、 (??, ?2),(?2, ??)

五、 综合题: C D B B D 14、 3 B 16、 m ? ?4
n?3

15、 (?a, a ? 1]

17、 y ?

1 x?2

18、解:对称轴为 x ? a (1) a ? 0时 , f ( x)min ? f (0) ? ?1

, f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a

(2) 0 ? a ? 1时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a
4

(3)1 ? a ? 2时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (0) ? ?1 (4) a ? 2时 , f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a
?t 2 ? 1(t ? 0) 19、解: g (t ) ? ? ?1(0 ? t ? 1) ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1) ?

, f ( x)max ? f (0) ? ?1

t ? (??, 0] 时, g (t ) ? t 2 ? 1 为减函数

? 在 [?3, ?2] 上, g (t ) ? t 2 ?1 也为减函数 ?
g (t )min ? g (?2) ? 5 , g (t )max ? g (?3) ? 10

5



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