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二项式定理学案


北辰教育学科教师辅导教案
学员编号: 学员姓名: 授课类型 教学目标 星级 授课日期及时段 年 级: 辅导科目:高中数学 T-二项式 1.二项式定理 ★★★ 2016 年 7 月 教学内容 C-二项式的求各项 课 时 数:3 学科教师:徐思默 T-二项式的应用

二项式定理
1.二项式定理 (a+b)n=__________________

__________(k,n ∈ N * ) ,这个 公 式所 表 示的 规 律叫 做二 项 式定 理 . ( a +b)n 的二项展开式共有____________项,其中各项的系数____________(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数,式中 的____________叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即__________________ .通项为展开式的第__________ 项. 2.二项式系数的性质 (1)对称性
n 1 n 1 2 n 2 在二项展开式中,与首末两端 “等距离 ” 的两个二项式系数相等,即 C 0 n=Cn,Cn=Cn ,Cn=Cn ,…,
- -

0 ____________,…,Cn n=Cn.

(2)增减性与最大值 二项式系数 Ck n,当____________时,二项式系数是递增的;当____________时,二项式系数是递减的. 当 n 是偶数时,中间的一项____________取得最大值. 当 n 是奇数时,中间的两项____________和____________相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和
1 2 r n (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于________,即 C0 n+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=________.二项展 3 5 0 2 4 开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C 1 n+ C n + Cn + … = C n+ Cn + C n + … =

________.

1

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【自查自纠】
n 1 n 1 n k k n n 1.C0 b+…+Ck b +…+Cn b n+1 na +Cna na
- -

Ck n

Ck na

n-k

bk Tk+1=Ck na n+1 2

n-k

bk k+1
n ?1 n ?1

n-k 2.(1)Ck n=C n

n+1 (2)k< 2 (3)2n 2n

n 2 Cn

k> 2n
-1

Cn 2

Cn 2

1 5 天津)在?2x2- ? 的二项展开式中,x 的系数为( (2012· x? ? A.10 B.-10 C.40

)

D.-40 1?r 2 5-r? r 5-r 10-3r r 2 - 解: 二项展开式的通项为 Tr+1=Cr (2 x ) 令 10-3r=1, 解得 r=3, 所以 T4=C3 5 52 x(- ? x? =C52 x (-1) , 1)3=-40x,所以 x 的系数为-40.故选 D. (1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( n A.第 +1 项 B.第 n 项 2 C.第 n+1 项 D.第 n 项与第 n+1 项 ) )

解:展开式共有 2n+1 项,且各项系数与相应的二项式系数相同.故选 C. 1 ?n 辽宁)使?3x+ (2013· (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x? ? A.4 B.5 C.6


D.7
n? r - ? = Cr 3n r· x 2 ,∴当 r=2 时,n 的最小值为 5.故选 B. n· ?x x ?

n r ? 解:∵ n ∈ N * ,通项 T r + 1 = C r · n (3 x )

1

r

5

设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则 a10+a11=________.
r 21 r 11 10 解:Tr+1=C21 x (-1)r,∴a10=C21 (-1)11,a11=C21 (-1)10.∴a10+a11=0.故填 0.


设 ( 2 + x)10 = a0 + a1x + a2x2 + … + a10x10 ,则 (a0 + a2 + a4 + … + a10)2 - (a1 + a3 + a5 + … + a9)2 的值为 _______. 解:设 f(x)=( 2 +x)10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2=[(a0+a2+a4+…+a10)+(a1+a3 +a5+…+a9)][(a0+a2+a4+…+a10)-(a1+a3+a5+…+a9)]=f(1)f(-1)=( 2+1)10( 2-1)10=1.故填 1.

2

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类型一

求特定项
)

a 1 5 x+ ??2x- ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为( (1)? x? ? x ?? A.-40 B.-20 C.20
5

D.40

1? 2 3 3 ?2x-1? 的展开式中1项的系数为 C3 解: 令 x=1, 可得 a+1=2, a=1, x 项的系数为 C2 ∴? 52 (-1) , 52 , x? ? ?x+x? x 1 2 2 3 (2x- )5 的展开式中常数项为 C3 52 (-1)+C52 =40.故选 D. x 【评析】①令 x=1 可得所有项的系数和;②在求出 a 的值后,再分析常数项的构成,便可解得常数项.

?3 1 ?n (2)已知在? x- 的展开式中,第 6 项为常数项,求含 x2 项的系数及展开式中所有的有理项. 3 ? 2 x? ? n-r n-2r r 1 r -3 1?r 3 r 3 ? r? - 解:通项 Tr+1=Cn x ?-2? x = C x , n ? ? 2? n- 2r 10-2r ? 1? ∵第 6 项为常数项,∴r=5 时,有 =0,得 n=10.令 =2,得 r=2,∴含 x2 项的系数为 C2 10 -2 ? ? 3 3 2 45 = . 4 10-2r 3 根据通项公式,令 =k∈Z,则 10-2r=3k,即 r=5- k,∴k 应为偶数.∴k 可取 2,0,-2.即 r 可 3 2 1?2 2 45 2 1?5 63 5 ? ? - - 取 2,5,8.∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 T3=C2 x = x , T = C 10 6 10 ? 2? ? 2? =- 8 ,T9 4 8 ? 1? -2 45 2. =C8 10 -2 x = ? ? 256x
【评析】①所谓二项展开式的特定项,是指展开式中的某一项,如第 n 项、常数项、有理项、字母指数为某
n r r 些特殊值的项.求解时,先准确写出通项 Tr+1=Cr b ,再把系数与字母分离出来(注意符号),根据题目中所指 na


定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式来求解即可.②求有理项时要注意运用整除的性质,同时应注 意结合 n 的范围分析. (1)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 )

2 2 2 2 2 解:(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 项为 C2 C1 ∴10+5a=5, 5x +ax· 5x=10x +5ax =(10+5a)x .∵x 的系数为 5,

a=-1.故选 D. 4 (2)在(x+ 3y)20 的展开式中,系数为有理数的项共有__________项. 4 解:二项式(x+ 3y)20 的展开式的通项为
r 20 r r Tr+1=34Cr y (r=0,1,2,…,20),当 r=0,4,8,12,16,20 时,展开式中的系数均为有理数,即 20x


有理数项共有 6 项.故填 6.

类型二

展开式的系数和问题

已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7;

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(3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C0 7= 1 , ∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷ 2,得 -1-37 a1+a3+a5+a7= =-1094.③ 2 (3)(①+②)÷ 2,得 -1+37 a0+a2+a4+a6= =1093.④ 2 (4)∵(1-2x)7 的展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), ∴所求即为④-③,其值为 2187. 【评析】①“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax+b)n,(ax2 +bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求 其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可.②若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之 f(1)+f(-1) 和为 f(1) ,奇数项系数之和为 a0 + a2 + a4 + … = ,偶数项系数之和为 a1 + a3 + a5 + … = 2 f(1)-f(-1) . 2 浙江)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5, 其中 a0,a1, (1)(2012· a2,…,a5 为实数,则 a3=____________.
2 解法一:令 x+1=y,(y-1)5=a0+a1y+a2y2+…+a5y5,故 a3=C2 5(-1) =10.

解法二:由等式两边对应项系数相等. ?a5=1, 即:?C5a5+a4=0,
4

?

3 ? ?C3 5a5+C4a4+a3=0,

解得 a3=10.

解法三:对等式:f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5 两边连续对 x 求导三次得:60x2=6a3+ 24a4(1+x)+60a5(1+x)2,再运用赋值法,令 x=-1 得:60=6a3,即 a3=10.故填 10. (2) 设 ? 2 ? 2 2n 2 2 +x = a0 + a1x + a2x + … + a2nx , 则 (a0 + a2 + a4 + … + a2n) - (a1 + a3 + a5 + … + a2n - 1) = 2 ?
2n 2n

?

__________. 2 ? 2 2 ? 2 +x? ,则(a0+a2+a4+…+a2n) -(a1+a3+a5+…+a2n-1) =(a0+a2+a4+…+a2n-a1-a3 2n 2n 2n 2 ? 2+1? =?-1? =?1? -a5-…-a2n-1)(a0+a2+a4+…+a2n+a1+a3+a5+…+a2n-1)=f(-1)· f(1)=? -1? · ?2 ? ?2 ? ? 2? ?4? n n 1? .故填? ?4? . 解:设 f(x)=?

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类型三

系数最大项问题

3 已知( x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大 992. 1 2n 2x+ ? 的二项式系数最大的项; (1)求? x? ? 2n 1 2x+ ? 的展开式系数最大的项. (2)求? x? ? 解:由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0, ∴2n=32(负值舍去),解得 n=5. 1 10 5 2x+ ? 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 C10 (1)由二项式系数的性质知,? =252. x? ?
5 1 5 5 ∴T6=C5 10(2x) x5=C102 =8064.

(2)设第 r+1 项的系数最大, 10-r 1 r 10-r 10-2r ∵Tr+1=Cr , 10(2x) xr=C102 x -1 10-r+1 r 10-r ? ≥Cr , 10 2 ?C102 ? ∴ r 10-r r+1 10-r-1 ≥C10 2 , ?C102 ? r r-1 ?C10≥2C10 , ? 得? r r+1 ?2C10≥C10 , ? ? ?11-r≥2r, 即? ?2(r+1)≥10-r, ? 8 11 解得 ≤r≤ , 3 3
7 4 4 ∵r∈N,∴r=3.故系数最大的项是第 4 项,第 4 项为 T4=C3 102 x =15360x . n ? 【评析】(1)求二项式系数最大项:①如果 n 是偶数,则中间一项? ?第2+1项?的二项式系数最大;②如果 n 是 n+ 1 n+ 1 奇数, 则中间两项(第 项与第 +1 项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项:如求(a+bx)n(a, 2 2 ?Ar≥Ar-1, ? b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,列出不等式组? 从而解出 r,即得展开式系数最 ?Ar≥Ar+1, ?

大的项. (1+2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等, 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
5 6 6 5 5 解:T6=C5 2 =C6 26,解得 n=8.所以(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最 n(2x) ,T7=Cn(2x) ,依题意有 Cn· n·

大的项为 T5=C4 (2x)4=1 120x4. 8· 设第 r+1 项系数最大,则有 r r r-1 r-1 ? 2 ≥C8 · 2 , ?C8·
? r r r+1 r+1 2 ≥C8 · 2 , ?C8· ?

解得 5≤r≤6.所以 r=5 或 r=6, 所以系数最大的项为 T6=1 792x5 或 T7=1 792x6.

类型四

整除问题

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2 27 求 S=C1 27+C27+…+C27除以 9 的余数. 2 27 27 解:S=C1 27+C27+…+C27=2 -1

=89-1=(9-1)9-1 =C0 99-C1 98+…+C8 9-C9 9× 9× 9× 9-1 0 8 1 7 8 9 -C9× 9 +…+C9)-2 =9(C9× 0 8 1 7 8 C × 9 - C × ( =9 9 9 9 +…+C9-1)+7. 显然上式括号内的数是正整数. 故 S 被 9 除的余数为 7. 【评析】利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式,其基本思路是:要证明一个式子能被另 一个式子整除,只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此,一般将被除式化为 含有相关除式的二项式,然后再展开,此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理.注意:0≤余数 <除数. 已知 m 是一个给定的正整数,如果两个整数 a,b 除以 m 所得的余数相同,则称 a 与 b 对模 m 同 余,记作 a≡b(mod m),例如:5≡13(mod 4).若 22012≡r(mod 7),则 r 可能等于( A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 )

解:22012=22× 23×670=4× 8670=4(7+1)670=4(C0 7670+C1 7669+C2 7668+…+C670 70).因此 22012 除以 7 670× 670× 670× 670× 所得的余数为 4,经验证,只有 2013 除以 7 所得的余数为 4.故选 C.

类型五 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
5 x 1 + + 2? (x>0)的展开式经整理后的常数项. 求? ?2 x ? 5 10 x 1 ? x 1? + + 2? 在 x>0 时可化为? + ? , 解法一:? ?2 x ? ? 2 x? 10-r 10-2r ? 1 ? ( x) 因而 Tr+1=Cr ,则 r=5 时为常数项, 10 ? 2? 5 ? 1 ? =63 2. 即 C5 10· 2 ? 2?

解法二:所给的式子为三项式,采用两个计数原理求解. 分三类:①5 个式子均取 2,则 C5 5( 2) =4 2; 3 x 1 ?1? 1 ②取一个 ,一个 ,三个 2,则 C1 5 2 C4( 2) =20 2; ? ? 2 x 2 x 1 15 2 ?1? 2 ③取两个 ,两个 ,一个 2,则 C2 . 5 2 C3 2= ? ? 2 x 2 15 2 63 2 所以,常数项为 4 2+20 2+ = . 2 2 【评析】三项式的展开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或者用解法二化为计数问题.
5

?|x|+ 1 -2? 展开式中的常数项是______. |x| ? ?
2

3

(|x| -2|x|+1)3 (|x|-1)6 解法一:原式= = . 3 3 |x| |x|
3 3 ∴(1-|x|)6 的展开式中|x| 的系数 C3 6(-1) =-20 就是原式展开式中的常数项.

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1 ? ? 解法二:将原式化为 ? x ? ? ,利用二项式定理求解. x? ?
1 1 解法三:将原式看成三个|x|+ -2 相乘,常数项只可能由|x|· · (-2)和(-2)3 构成,可利用计数原理分成两 |x| |x| 类再求和.故所求为 C1 C1 (-2)+C3 (-2)3=-20.故填-20. 3· 2· 3·

6

方法回顾

1.通项公式主要用于求二项式的指数、项和系数,在运用公式时要注意以下几点:
n k k (1)Ck b 是第 k+1 项,而不是第 k 项. na


(2)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列出方程求出 k,再求所需的某项(有时需先求 n).计算时要注 意 n,k 的取值范围及它们的大小关系. (3)求展开式的某一项的系数, 先要准确地写出通项, 特别要注意符号问题, 然后将通项中的系数和字母分离. 2.要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.在(a+b)n 的展开式中,系数最大的项是中间项; 但当 a,b 的系数不是 1 时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数值的增减性具 体讨论而定. 3.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题 解决),转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性. 4.二项式定理的应用 (1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路,也是证明有关组合数恒等式的重要方 法. (2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法. (3)有些不等式的证明问题,也常借助二项式定理进行“放缩”处理. 5.用二项式定理处理整除问题时,首先把问题转化为二项式(a+b)n,且一般情况下 a,b 之一必为除数的整 数倍,而另一数为 1 或-1,其次要分清余项,写出余项,从而得到余数.

四川)(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是( 1.(2012· A.42 B.35 C.28 D.21

)

r 2 2 2 2 解:二项式(1+x)7 展开式的通项为 Tr+1=Cr 7x ,令 r=2,则 T3=C7x .∴x 的系数为 C7=21.故选 D.

2.(1+3x)n(其中 n∈N*且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等,则 n=( A.6 B.7 C.8

)

D.9 n ! n! 5 6 6 解:由条件得 C5 = × 3,∴3(n-5)=6,n=7.故选 B. n3 =Cn3 ,∴ 5!(n-5)! 6!(n-6)! ? 2 x+ 1 ? n * 青岛一检)“n=5”是“? 3.(2013· ) 3 ? (n∈N )的展开式中含有常数项”的( x? ? A.充分不必要条件

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B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 n?r r ?2 x + 1 ?n ? n- r r 3n r n- r 2 3 x 解:因为 ? 的展开式的通项 T · ,含有常数项时满足 - =0,即 r= ,此 + 1= Cn2 ? r 3 2 3 5 x? ? ? 2 x+ 1 ? n * * 时若含有常数项, 则 n=5k(k∈N ), 故“n=5”是“? 故 3 ? (n∈N )的展开式中含有常数项”的充分不必要条件. x? ? 选 A.
1 2 3 n 2 n 1 广州毕业班综合测试)若 Cn 4.(2013· +3C2 Cn +3n 1=85,则 n 的值为( n+3 Cn+…+3
- - -

)

A.3 解:由

B.4

C.5 3

D.6 n=4.故选 B.
+1

1 - 2 n-2 n-1 C1 Cn +3n 1= [(1+3)n-1]=85,解得 n+3Cn+…+3 ) D.8

全国课标卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m 5.(2013· 项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( A.5 B.6 C.7

展开式的二

解:由题知 13× (2m)! 7× (2m+1)! 即 = ,解得 m=6,故选 B. m! m ! (m+1)!m! a1 a2 a2014 6.若(1-2x)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014(x∈R),则 + 2+…+ 2014的值为( 2 2 2 A.2 B.0 )

m+1 m m+1 a=Cm 2m,b=C2m+1,∴13C2m=7C2m+1,

C.-1 D.-2 1 a1 a2 a2014 a1 a2 a2014 解:令 x=0 则 a0=1,令 x= ,则 a0+ + 2+…+ 2014=0.所以 + 2+…+ 2014=0-a0=-1.故选 C. 2 2 2 2 2 2 2 a 8 ? x+ ? 4 安徽)若? 7.(2013· 3 ? 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a=____________. x? ? ?x+ a ?8 4r r 4r r 3 解:? a ,令 8- =4 得 r=3,故展开式中 x4 的系数为 C3 8a =7,∴a 3 ? 的展开式的通项为 C8x8- 3 · 3 x? ? 1 1 = .故填 . 2 2 北京海淀期末练习)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列 a1, 8. (2013· a2, a 3, …, ak(1≤k≤11, k∈Z) 是一个单调递增数列,则 k 的最大值是____________.
1 5 n 1 解:由二项式定理可知 an=Cn 10 (n=1,2,3,…,11),由 C10为 C10 的最大值知,an 的最大值为 a6,即 k
- -

的最大值为 6.故填 6. 9.用二项式定理证明(n+1)n-1 可以被 n2 整除(n∈N+). 解:用二项式定理和组合数的性质,得到
1 2 2 n n (n+1)n-1=C0 n+Cnn+Cnn +…+Cnn -1 2 n n =n2+C2 nn +…+Cnn n n 2 =n2(1+C2 ). n+…+Cnn


当 n=1 时,(1+1)1-1 能被 12 整除. 所以(n+1)n-1 是 n2 的倍数,即可以被 n2 整除. 2 n x+ 2? (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是 10∶1.求: 10.已知? x? ? (1)展开式中各项系数的和; (2)展开式中系数最大的项.

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n 解:展开式的通项为 Tr+1=Cr n( x )

-r

r ? 22? =Cr n2 x ?x ?

r

n-5r 2

4 C4 n2 .依题意, 2 2=10,得 n=8. Cn2

(1)令 x=1,则各项系数的和为(1+2)8=6561.
1 r 1 r r 1 r 1 (2)设展开式中的第 r 项、第 r+1 项、第 r+2 项的系数分别为 Cr ,C8 2 ,Cr .若第 r+1 项的系数最 8 2 8 2 r-1 r-1 r r ? C 2 ≤ C 2 , 8 ? 8 大,则? r+1 r+1 r r 得 5≤r≤6. C 2 ≤ C ? 8 ? 82 ,
- - + +

- 于是系数最大的项是 T6=1792x 2 和 T7=1792x 11. 11. (1)已知(1-x+x2)3(1-2x2)4=a0+a1x+a2x2+…+a14x14,求 a1+a3+a5+…+a13 的值. a1 a2 a3 a2013 (2)已知(x+1)2(x+2)2011=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2013(x+2)2013,求 + 2+ 3+…+ 2013的值. 2 2 2 2 解:(1)设 f(x)=(1-x+x2)3(1-2x2)4. 令 x 分别取 1,-1,则 f(1)=a0+a1+a2+…+a13+a14=1; f(-1)=a0-a1+a2-…-a13+a14=27. f(1)-f(-1) 1-27 a1+a3+a5+…+a13= = =-13. 2 2 3 (2)依题意令 x=- , 2 2 2011 2 2013 3 3 3 3 3 - +1? ?- +2? =a0+a1?- +2?+a2?- +2? +…+a2013?- +2? , 得? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 令 x=-2 得 a0=0, 2013 a1 a2 a3 a2013 1? 则 + 2+ 3+…+ 2013=? ?2? . 2 2 2 2

17

32 33 318 设 an(n=2,3,4,…)是(3- x) 的展开式中 x 的一次项的系数,则 + +…+ =____________. a2 a3 a18 r r n r - n-r 解:令 Tr+1=Cr 3n r· x2,令 =1,得 r=2,∴(3- x) 的展开式中 x 的一次项的系数 (- x) =Crn(-1)r· n3 2 为
2 n 2 an=C2 3 =C2 3n 2. n(-1) · n· 2 3 18 3 3 3 ? 12+ 12+…+ 1 ?, 则 + +…+ =32× C2 ?C2 C3 a2 a3 a18 18? n(n-1) 又 C2 , n= 2 ? 2 + 2 + …+ 2 ? 故上式=9× 18× 17? ?2×1 3×2 1 1 1 1 ??1- ?+? - ?+…+? - 1 ?? =18× ?? 2? ?2 3 ? ?17 18?? 1 ?1- ?=17. =18× ? 18?
- -

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我的感悟和收获:
建议时间:2-3 分钟 “数学是思维的体操”,通过这节课的学习,你在数学能力方面有什么感悟和收获呢?请记录在下面吧!

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