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《第1章 三角函数》2013年单元测试卷


《第 1 章 三角函数》2013 年单元测试卷

《第 1 章 三角函数》2013 年单元测试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)集合{α|kπ+ A. ≤α≤kπ+ B. ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( C. ) D.

2. (4 分)已知角 a 的终边经过点

P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sina+cosa 的值是( A.1 或﹣1 B. C. 或﹣ 1 或﹣

) D. ﹣1 或

3. (4 分)已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sinx)等于( A.﹣sin3x B.﹣cos3x

) C.cos3x

D.sin3x

4. (4 分) (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( ) A.若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B. 若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C. 若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ 5. (4 分) (2013?浙江模拟)要得到函数 A. C. 向左平移 向左平移 个单位 个单位 B. 的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( 向右平移 个单位 个单位 )

D. 向右平移

6. (4 分)已知 α 是三角形的一个内角且 sin(π﹣α)﹣cos(π+α)= ,则此三角形是( A.锐角三角形 7. (4 分)若|sinθ|= , A. B.直角三角形 <θ<5π,则 tanθ 等于( B.﹣ C.钝角三角形 ) C. D.



D.等腰三角形

8. (4 分) (2010?朝阳区一模)下列函数中,最小正周期为 π,且图象关于直线 A. B. C.

对称的是( D.



9. (4 分)函数 y=tan(

)在一个周期内的图象是(



A.

B.

C.

D.

10. (4 分) (2002?上海)函数 y=x+sin|x|,x∈[﹣π,π]的大致图象是( A. B. C.

) D.

11. (4 分) (2004?福建)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,则( A. B.f(sin1)>f(cos1) C. D.f(cos2)>f(sin2) f(sin )<f(cos ) f (cos ) <f (sin )



12. (4 分) (2011?南充模拟)如图为一半径为 3m 的水轮,水轮中心 O 距水面 2m,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水 轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(t)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2 则( )

A.

ω=

,A=5

B.

ω=

,A=5

C.

ω=

,A=3

D. ω=

,A=3

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 13. (5 分)若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2 弧度,则扇形的面积是 _________ . 14. (5 分)函数 的值域是 _________ .

15. (5 分)已知 tanθ=2,则

= _________ .

16. (5 分)已知

,则

=

_________ .

17. (5 分)不等式

的解集是 _________ .

18. (5 分)函数

的单调减区间是 _________ .

19. (5 分)函数 f(x)是周期为 π 的偶函数,且当 是 _________ .

时,

,则

的值

20. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+ 它的图象关于点( _________ . 三、解答题(本大题 62 分) 21. (12 分) (1)化简

) ,给出四个命题:① 它的周期是 π;② 它的图象关于直线 x= , ]上是增函数.其中正确命题的序号是

成轴对称;③

,0)成中心对称;④ 它在区间[﹣



(2)证明

. (注:其中



22. (10 分)已知 α 是第二象限角,且





(1)求角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角 α 的三角函数线,并用有向线段表示 sinα,cosα 和 tanα.

23. (10 分)已知交流电的电流强度 I(安培)与时间 t(秒)满足函数关系式 I=Asin(ωt+φ) ,其中 A>0,ω>0, 0≤φ<2π. (1)如右图所示的是一个周期内的函数图象,试写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2) 如果在任意一段 秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 和最小值﹣A, 那么正整数 ω 的最小值是多少?

24. (10 分)设 (1)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)求函数 y=f(x)的定义域和值域.



25. (10 分)已知函数 f(x)= (1)画出 f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值; (2)判断 f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

26. (10 分)设关于 x 的函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的最小值为 f(a) ,试确定满足 对此时的 a 值求 y 的最大值.

2

的 a 的值,并

《第 1 章 三角函数》2011 年单元测试卷(深圳外 国语学校)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)集合{α|kπ+ A. ≤α≤kπ+ B. ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( C. ) D.

考点: 象限角、轴线角. 专题: 数形结合;分类讨论. 分析: 先看当 k 取偶数时,角的终边所在的象限,再看当 k 取奇数时,角的终边所在的象限,把二者的范围取并 集. 解答: 解:当 k 取偶数时,比如 k=0 时,+ ≤α≤+ ,故角的终边在第一象限.
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当 k 取奇数时,比如 k=1 时,+

≤α≤+

,故角的终边在第三象限.

综上,角的终边在第一、或第三象限,故选 C. 点评: 本题考查象限角、轴线角的表示方法,体现了数形结合、分类讨论的数学思想. 2. (4 分)已知角 a 的终边经过点 P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sina+cosa 的值是( A.1 或﹣1 B. C. 或﹣ 1 或﹣ ) D. ﹣1 或

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 求出 OP 的距离 r,对 m>0,m<0,分别按照题意角的三角函数的定义,求出 sina 和 cosa 的值,然后再求 2sina+cosa 的值,可得结果. 解答: 解: ,
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当 m>0 时, 当 m<0 时,

, ,

; .

故选 B. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,终边相同的角,考查计算能力,是基础题. 3. (4 分)已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sinx)等于( A.﹣sin3x B.﹣cos3x 考点: 函数的值. ) C.cos3x

D.sin3x

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专题: 转化思想;换元法. 3 分析: 法一:令 t=cosx,由 3 倍角公式求出 f(t)=4t ﹣3t,换元可得 f(sinx)的解析式. 法二:把 sinx 用 cos( 解答: 解:法一:令 t=cosx, ∵ cos3x=4cos x﹣3cosx,f(cosx)=cos3x=4cos x﹣3cosx, 3 ∴ f(t)=4t ﹣3t, 3 ∴ f(sinx)=4sin x﹣3sinx=﹣sin3x, 故选 A. 法二:∵ f(cosx)=cos3x, ∴ f(sinx)=f(cos( =cos( ﹣x) )=cos3( ﹣x)
3 3

﹣x)来表示,利用已知的条件 f(cosx)=cos3x 得出 f(sinx)的解析式.

﹣3x)=﹣sin3x,

故选 A. 点评: 本题考查 3 倍角的余弦、正弦公式的应用,以及用换元法求函数解析式的方法,此题也可用诱导公式求解. 4. (4 分) (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( ) A.若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B. 若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C. 若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ 考点: 象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 由于题中条件没有给出角度的范围,不妨均假定 0≤α,β≤2π,结合三角函数的单调性加以解决. 解答: 解:若 α、β 同属于第一象限,则 ,cosα<cosβ;故 A 错.
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第二象限,则 第三象限,则 第四象限,则

,tanα<tanβ;故 B 错. ,cosα<cosβ;故 C 错. ,

tanα>tanβ. (均假定 0≤α,β≤2π. )故 D 正确. 答选为 D. 点评: 本题考查三角函数的性质,三角函数的性质是三角部分的核心,主要指:函数的定义域、值域,函数的单 调性、对称性、奇偶性和周期性.

5. (4 分) (2013?浙江模拟)要得到函数 A. C. 向左平移 向左平移 个单位 个单位 B.

的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( 向右平移 个单位 个单位



D. 向右平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据平移的性质,

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,根据平移法则“左加右减”可知向右平移

个单位.

解答: 解:∵ 故选:D 点评: 本题主要考查三角函数的平移. 三角函数的平移原则为左加右减上加下减. 但要注意平移量是 平移量是指 x 的变化量. 6. (4 分)已知 α 是三角形的一个内角且 sin(π﹣α)﹣cos(π+α)= ,则此三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 ) 而不是 ,

D.等腰三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 阅读型. 分析: 利用诱导公式先将已知条件化简为且 sinα+cosα= ,把等式两边平方,2sinαcosα<0,在三角形中,只有钝
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角 cosα<0. 解答: 解:sin(π﹣α)﹣cos(π+α)= ,所以 sinα+cosα= ∴ (sinα+cosα) = ,∴ 2sinαcosα=﹣ , ∵ α 是三角形的一个内角,∴ sinα>0,cosα<0, ∴ α 为钝角,∴ 这个三角形为钝角三角形. 故选 C. 点评: 把和的形式转化为乘积的形式,易于判断三角函数的符号,进而判断出角的范围,最后得出三角形的形状.
2

7. (4 分)若|sinθ|= , A.

<θ<5π,则 tanθ 等于( B.﹣

) C. D.

考点: 同角三角函数间的基本关系;三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 由|sinθ|= , <θ<5π,知 sin ,再求出 cosθ,然后利用公式 tanθ=
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,求出 tanθ.

解答:

解:∵ |sinθ|= , ∴ sin cosθ=﹣ ,

<θ<5π,

=﹣



∴ tanθ=

=

=﹣



故选 C. 点评: 本题考查同角三角函数间的相互关系,是基础题.解题时要认真审题,注意判断角的象限和三角函数的符 号.

8. (4 分) (2010?朝阳区一模)下列函数中,最小正周期为 π,且图象关于直线 A. B. C.

对称的是( D.



考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性. 分析: 根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案. 解答: 解:将 代入 可得 y= ≠±1,排除 A
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≠π,排除 B.



代入

,y=

≠±1,排除 C

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的对称性.属基础题.

9. (4 分)函数 y=tan( A. B.

)在一个周期内的图象是( C.

) D.

考点: 正切函数的图象. 专题: 综合题. 分析: 先令 tan(

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)=0 求得函数的图象的中心,排除 C,D;再根据函数 y=tan(

)的最小正

周期为 2π,排除 B. 解答: 解:令 tan( 排除 C,D ∵ y=tan( )的周期 T= =2π,故排除 B )=0,解得 x=kπ+ ,可知函数 y=tan( )与 x 轴的一个交点不是 ,

故选 A 点评: 本题主要考查了正切函数的图象.要熟练掌握正切函数的周期,单调性,对称中心等性质. 10. (4 分) (2002?上海)函数 y=x+sin|x|,x∈[﹣π,π]的大致图象是( A. B. C. ) D.

考点: 函数的图象;正弦函数的图象. 专题: 作图题;压轴题;分类讨论.

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分析: 本题考查的是函数的图象问题.在解答时,首先应将函数去绝对值转化为分段函数.再利用导数分析在不 同区间段上的变化规律即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知: , 当 0≤x≤π 时,∵ y=x+sinx,∴ y′ =1+cosx≥0,又 y=cosx 在[0,π]上为减函数,所以函数 y=x+sinx 在[0,π]上为 增函数且增速越来越小; 当﹣π≤x<0 时,∵ y=x﹣sinx,∴ y′ =1﹣cosx≥0,又 y=cosx 在[﹣π,0)上为增函数,所以函数 y=x﹣sinx 在[0, π]上为增函数且增速越来越小; 又函数 y=x+sin|x|,x∈[﹣π,π],恒过(﹣π,﹣π)和(π,π)两点,所以 C 选项对应的图象符合. 故选 C. 点评: 本题考查的是函数的图象问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化 的思想.值得同学们体会和反思. 11. (4 分) (2004?福建)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,则( A. B.f(sin1)>f(cos1) C. D.f(cos2)>f(sin2) f(sin )<f(cos ) f (cos ) <f (sin ) )

考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 f(x)=f(x+2)求得函数的周期,进而可求函数在 4<x≤5 时的解析式,根据其单调性可判断 D 正 确. 解答: 解:由 f(x)=f(x+2)知 T=2, 又∵ x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|, 可知当 3≤x≤4 时,f(x)=﹣2+x. 当 4<x≤5 时,f(x)=6﹣x.其图如下, 故在(﹣1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数. 又由|cos2|<|sin2|, ∴ f(cos2)>f(sin2) . 故选 D.
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点评: 本题主要考查了函数的周期性.解此类题常可用数形结合的方式更直观. 12. (4 分) (2011?南充模拟)如图为一半径为 3m 的水轮,水轮中心 O 距水面 2m,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水 轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(t)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2 则( )

A.

ω=

,A=5

B.

ω=

,A=5

C.

ω=

,A=3

D. ω=

,A=3

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;已知三角函数模型的应用问题.

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专题: 应用题. 分析: 根据题意,水轮旋转一周所用的时间为一个周期,由周期公式,T= 最高点时即为 A 值. 解答: 解:已知水轮每分钟旋转 4 圈 ∴ ω= 又∵ 半径为 3m,水轮中心 O 距水面 2m, ∴ 最高点为 5,即 A=3, 故选 D. 点评: 本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 13. (5 分)若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2 弧度,则扇形的面积是 16cm ; .
2

求解;A 为最大振幅,由图象知到

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 2 先求出扇形的弧长,利用周长求半径,代入面积公式 s= α r 进行计算.
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解答: 解:设扇形半径为 r,面积为 s,圆心角是 α,则 α=2,弧长为 αr, 则周长 16=2r+α r=2r+2r=4r,∴ r=4, 扇形的面积为:s= α r = ×2×16=16 (cm ) ,故答案为 16 cm . 点评: 本题考查扇形的弧长公式、和面积公式的应用.
2 2 2

14. (5 分)函数

的值域是 ﹣1,3 .

考点: 三角函数值的符号;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 本题需要对于角所在的象限讨论,确定符号,对于四个象限,因为三角函数值的符号不同,需要按照四种 不同的情况进行讨论,得到结果. 解答: 解:由题意知本题需要对于角所在的象限讨论,确定符号, 当角 x 在第一象限时,y=1+1+1=3, 当角在第二象限时,y=1﹣1﹣1=﹣1, 当角在第三象限时,y=﹣1﹣1+1=﹣1, 当角在第四象限时,y=﹣1+1﹣1=﹣1. 故答案为:﹣1,3 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查函数的值域,本题是一个比较简单的综合题目,这种题目若出现是一个 送分题目.
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15. (5 分)已知 tanθ=2,则

=



考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由同角三角函数间的相互关系,把
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等价转化为

,再由 tanθ=2 求出其结果.

解答: 解:∵ tanθ=2, ∴

=

= = = . 故答案为: . 点评: 本题考查同角三角函数间的关系,是基础题,难度不大,解题时要认真审题,仔细解答.

16. (5 分)已知

,则

=



考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式,我们易将 已知中 解答: 解:∵ ∴ = = = = 故答案为: +

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化为

+

,由

,代入计算可得结果. ,

点评: 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值,分析已知角与求知角的关系,利用诱导公式,将未 知角用已知角表示是解答本题的关键.

17. (5 分)不等式

的解集是



考点: 正切函数的单调性. 专题: 计算题.

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分析:

不等式

即 tanx≥﹣ ,又 kπ﹣

<x<kπ+

,k∈z,可得

解答:

解:不等式 ∴ 故答案为:

即 tanx≥﹣ ,又 kπ﹣ ,

<x<kπ+

,k∈z,

. <x<kπ+ , k∈z,

点评:

本题考查正切函数的定义域, 正切函数的单调性, 注意利用正切函数的定义域为 kπ﹣ 这是 解题的易错点.

18. (5 分)函数

的单调减区间是



考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 根据对数函数真数为正可得函数
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的定义域,然后将函数分解后,判断内外函数的

单调性,结合复合函数单调性“同增异减”的原则可得答案. 解答: 解:函数 的定义域为

令 t= ∵

,则 为减函数,

t= 故函数

在 的单调减区间是

上为增函数;

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是复合函数的单调性, 其中熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则, 是解答本题的关 键.

19. (5 分)函数 f(x)是周期为 π 的偶函数,且当 是 2 .

时,

,则

的值

考点: 正切函数的奇偶性与对称性. 专题: 计算题.

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分析:

先把 然后利用当

等价转化为 f ( 时,

) , 再由函数 f (x) 是周期为 π 的偶函数, 进一步简化为 求解.



解答: 解:∵ 函数 f(x)是周期为 π 的偶函数, ∴ ∵ 当 ∴ = =f( 时, =2. )=f(﹣ )= , ,

故答案为:2. 点评: 本题考查正切函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用.

20. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+ 它的图象关于点( ① ② ③ ④ .

) ,给出四个命题:① 它的周期是 π;② 它的图象关于直线 x= , ]上是增函数.其中正确命题的序号是

成轴对称;③

,0)成中心对称;④ 它在区间[﹣

考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性. 专题: 综合题. 分析: ① 根据周期公式 求解;② 根据函数在对称轴处取得函数的最值,把
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代入验证; ,求解 x;

③ 求函数的对称中心,令 2x+ 解答: 解:① 根据周期公式

,从而可得 x;④ 令

=π,故① 正确 )= ,当 k=1 时 即函数在 故③ 正确 上是增函数故④ 正确 故② 正确

② ∵ 函数在对称轴处取得函数的最值,f( ③ 根据函数的对称性可得, ④ 令 故答案为:① ② ③ ④ 点评: 可得 ?

本题综合考查了三角函数 y=Asin(ωx+?) (A>0,ω>0)的性质:函数的周期公式 T= 称轴的求解:令 ωx+φ=kπ+ +2kπ≤ωx+φ≤ 调减区间.

的运用;函数对

从而求解 x;对称中心的求解:令 ωx+φ=kπ;函数的单调区间的求解:令﹣ +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z,求解函数的单

+2kπ,k∈Z,求解函数的单调增区间,令

三、解答题(本大题 62 分) 21. (12 分) (1)化简 ;

(2)证明

. (注:其中



考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二倍角公式和诱导公式化简分式的分子和分母,约分求得最后的结果.
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(2)利用同脚三角函数的基本关系化简等式的左边为 ,从而得到 等式成立. 解答: 解: (1) =

,同理化简等式的右边也等于

=

=﹣1.

(2)等式左边=

=

=

=



等式右边=

=

=

=

=

=

=



故等式左边和等式右边相等, 等式成立. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,熟练利用公式对式子进行变形,是解题的关键.

22. (10 分)已知 α 是第二象限角,且





(1)求角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角 α 的三角函数线,并用有向线段表示 sinα,cosα 和 tanα.

考点: 诱导公式的作用;三角函数线;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)根据三角函数的诱导公式可得到 ,

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,由 sin α+cos α=1 可求得 k,从而

2

2

可得角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)根据三角函数中角 α 正弦线、余弦线与正切线的定义即可作出角 α 的三角函数线.

解答:

解: (1)∵ ∴ k=1 或 ; ,k=1(舍去) , , . ,
2

, ,由 sin α+cos α=1 可得:
2



又 α 是第二象限角,∴ ∴ ,

(2)设单位圆与 x 轴正半轴交于 A(1,0) ,α 的终边与单位圆交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 M, 则 sinα=MP,cosα=OM, 过 A(1,0)作圆的切线与 α 的终边的反向延长线相交于点 T,

tanα=AT. 点评: 本题考查诱导公式的作用,易错点在于求得 k=1 或 题. 23. (10 分)已知交流电的电流强度 I(安培)与时间 t(秒)满足函数关系式 I=Asin(ωt+φ) ,其中 A>0,ω>0, 0≤φ<2π. (1)如右图所示的是一个周期内的函数图象,试写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2) 如果在任意一段 秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 和最小值﹣A, 那么正整数 ω 的最小值是多少? 后要根据条件“α 是第二象限角”进行验证,属于中档

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 应用题. 分析: (1)结合三角函数的图象求出 A,周期,过的平衡点,利用三角函数的周期公式求出 ω,将平衡点的坐标 代入整体角求出 φ. (2)将问题转化为三角函数的周期范围,利用周期公式求出 ω 的最小值. 解答: 解: (1)由图知函数的最大值为 300 所以 A=300
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由图知函数的最小正周期为 T=2(

)=

,又 T=

∴ ω=150π 当 t= 所以 (2)据题意知 ∴ ω≥300π ωmin=943. 点评: 本题考查知三角函数的图象求解析式:其中 A 由图象的最值点求得;ω 由周期确定;φ 由特殊点确定. 24. (10 分)设 (1)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)求函数 y=f(x)的定义域和值域. 考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出函数的定义域,再根据 f(x) ,f(﹣x)之间的关系来下结论即可; (2)先求出真数的取值范围,再结合对数函数的单调性即可求出其值域. 解答: 解: (1)∵ 0?﹣ <sinx< ?kπ﹣ <x<kπ+ ,k∈Z,定义域关于原点对称.
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时,I=0 所以 ; 又

解得



∴ f(﹣x)=log2 ∴ 故其为奇函数; (2)由上得:定义域 ∵ =

=log2

=﹣log2

=﹣f(x) .

,k∈Z}, =﹣1+ .

而﹣ <sinx< ?0<1+2sinx<2?

>1?﹣1+

>0?y=log3

的值域为 R.

∴ 值域为 R. 点评: 本题主要考查正弦函数的基本性质.判断函数的奇偶性的前提应该先求定义域.当定义域不关于原点对称 时,是不具有奇偶性的.

25. (10 分)已知函数 f(x)= (1)画出 f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值; (2)判断 f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期. 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 分析: f(x)的含义是取 y=sinx 和 y=cosx 的较大者,所以先在同一坐标系内画出 y=sinx 和 y=cosx 的图象,然后 取上方的部分,就得到 f(x)的图象.画出图象来之后,就很容易的找出单调区间,最大最小值,同时也 容易看出周期来. 解答: 解: (1)实线即为 f(x)的图象.
522571

单调增区间为[2kπ+

,2kπ+

],[2kπ+

,2kπ+2π](k∈Z) , ](k∈Z) ,

单调减区间为[2kπ,2kπ+ f(x)max=1,f(x)min=﹣

],[2kπ+ .

,2kπ+

(2)f(x)为周期函数,T=2π.

点评: 必须看出本题中 f(x)的含义是去正弦和余弦的较大者,然后只要画出图象来不难解决其他的问题. 26. (10 分)设关于 x 的函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的最小值为 f(a) ,试确定满足 对此时的 a 值求 y 的最大值. 考点: 二次函数的性质;余弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;分类讨论;转化思想. 分析: 先令 cosx=t,转化为关于 t 的一元二次函数;通过讨论对称轴和去件的位置关系找到最小值 f(a) ;再结合
522571

2

的 a 的值,并

即可求出 a 的值并求出 y 的最大值. 解答: 解:令 cosx=t,t∈[﹣1,1], 则 y=2t ﹣2at﹣(2a+1) ,对称轴 当 当 得 当
2

, ; ,

,即 a<﹣2 时,[﹣1,1]是函数 y 的递增区间, ,即 a>2 时,[﹣1,1]是函数 y 的递减区间, ,与 a>2 矛盾; ,即﹣2≤a≤2 时,

得 a=﹣1,或 a=﹣3, ∴ a=﹣1, 此时 ymax=﹣4a+1=5. 点评: 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值讨论问题.解决问题的关键在于讨论对称轴和区间的位置关系.

参与本试卷答题和审题的老师有:涨停;zlzhan;wsj1012;caoqz;庞会丽;zhwsd;翔宇老师;wfy814;孙丰亮; qiss;吕静;wodeqing;zwx097;yhx01248;ying_0011;wdnah(排名不分先后)
菁优网 2013 年 11 月 20 日


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