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1.2.1充分条件与必要条件


1.2.1 充分条件与必要条件
教学目标: 1.理解充分、必要条件的概念;了解充分条件和必要条件与命题真假的关系,会使用推断 符号“ ? ” ; 2.结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法; 3.培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力. 教学重点:理解充分条件和必要条件的概念及含义. 教学难点:充分条件、必要条件的判断以及必要条件的理解.

教学过程: 一、 情境引入 实例 1.若姚明是上海人,则他是中国人. 真命题 假命题

实例 2.李阳在数学测试中取得第一名,他在本次测试中考满分. 实例 3.某人高烧,他感染了 H7N9 禽流感病毒. 假命题

设计意图:三个情境问题是学生生活中常见的,有利于激发学生的好奇心和求知欲.由判
断命题的真假,发现命题的条件与结论之间存在某种逻辑关系,顺其自然,引入本节内容. 二、探究新知 1.推断符号“ ? ” 一般地,对于“若 p ,则 q ”形式的命题,我们做如下的约定: 当命题“若 p ,则 q ”经过推理判定为真命题时,我们称“由 p 可推出 q ” , 记作: p ? q 或 q ? p . 当命题“若 p ,则 q ”经过推理判定为假命题时,我们称“由 p 推不出 q ” , 记作:“ p ? ? q ”. 练一练:用推断符号“ ? ”和“ ? ? ”填空. (1) ab ? 0 (2) x ? 0
2

a?0 x?0
两个三角形面积相等

(3)两个三角形全等

思考:如果“ p ? q ” ,那么 p , q 之间到底存在怎样的相互关系呢? 为此,我们给出如下的定义:——引出定义,并板书. 2.充分条件与必要条件 定义:如果命题“若 p ,则 q ”为真命题,即 p ? q .此时,我们就说 p 是 q 的充分条件,

1

同时 q 是 p 的必要条件. 说明:这里的“充分” 、 “必要”的含义与生活中“充分” 、 “必要”的含义是相近的. 首先分析生活中的实例: (1)若姚明是上海人,则他是中国人. 真命题 姚明是上海人 ? 则他是中国人. 姚明是上海人是他是中国人的充分条件; 姚明是中国人是他是上海人的必要条件. 思考:你是如何理解“充分”和“必要”的含义的? 特征:充分条件:有它就行,没它未必不行 必要条件:没它不行,有它未必就行(成事不足,败事有余) 设计意图:通过实例分析,加深对“充分条件” 、 “必要条件”的理解. (2)李阳在数学测试中取得第一名,他在本次测试中考满分. 假命题 李阳在数学测试中取得第一名 ? ? 他在本次测试中考满分. 李阳在数学测试中取得第一名不是他在本次测试中考满分的充分条件; 他在本次测试中考满分也不是李阳在数学测试中取得第一名的必要条件. 设计意图:以此引出“不充分条件”和“不必要条件”的定义. 定义 2:如果命题“若 p ,则 q ”为假命题,即 p ? ? q .此时,我们就说 p 不是 q 的充分 条件, 同时 q 不是 p 的必要条件. 学生列举生活中“充分条件”与“必要条件”的例子. 设计意图:调动课堂气氛和学生学习的积极性,通过自我举例,实现认知的升华. 三、理解新知 1.定义法 试一试:用推断符号“ ? ”和“ ? ? ”填空,并说明 p 是 q 的充分条件吗? (1) p :不重合的两条直线斜率相等
2 (2) p : x ? 4

q :两条直线平行;

q :x ? 2;
q : x ? 1.

(3) p : x ? 3

学生活动:内容简单,由学生自己解决,并汇报结果 设计意图:对所学理论直接应用,熟悉概念,并由第(3)小题引出从集合的角度判断充分 条件、必要条件,即“集合法”.

2

2.集合法 数 学中 的很 多概 念可 以表 示成 集合 的形 式, 例如 问题 ( 3 ) 中的 p 可 以 表示 成集 合
P ? ?x|x ? 3? , q 表示成集合 Q ? ?x | x ? 1? .

Q P
1 3
数集可以用数轴表示,在同一个数轴上表示出 P、Q 两个集合. 观察图形发现 P ? Q ,即: p ? q 相当于 P ? Q . 总结: “小范围 ? 大范围”

p , q 对应集合分别为 P、Q ,则:
若P?Q 则 p?q

P Q



P(Q)

即: p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件.
缺它不可

有它就行

四、应用新知 例 1:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件?
2 (1) 若 x ? 1 ,则 x - 4 x ? 3 ? 0 ;

(2) 若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 为增函数; (3) 若 x 为无理数,则 x 为无理数. 分析:要判断 p 是否是 q 的充分条件,就要看 p ? q 能否成立. 师生活动:学生独立完成、个别回答,教师点评. 例 2:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件?
2 2 (1)若 x ? y ,则 x ? y ;
2

(2)若 a ? b ,则 ac ? bc 为增函数; (3)若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? . 分析:要判断 q 是否是 p 的充分条件,就要看 p ? q 能否成立. 学生活动:小组讨论,交流意见,汇报成果.
3

思考:请同学们试着总结判断充分、必要条件的一般步骤? 学生尝试,教师引导,总结出判断充分、必要条件的步骤: 第一步:认清条件和结论; 第二步:考察 p ? q 和 q ? p 的真假; 第三步:下结论.

设计意图:通过对上述几个问题的交流、思辩,在讨论中得到正确答案,从而加
深对充分条件、必要条件的认识,并浓缩成解题方法. 五、拓展提升 1.填空 (1) ab ? 0 的一个充分条件是 (2) x ? 1 的一个必要条件是 . ;

设计意图:通过学生自主思考,发现问题,总结问题,得出结论:命题的充分条件与必要 条件不唯一. 2.判读下列命题的真假.
2 (1) x - 4 x ? 4 ? 0 的必要条件是 x ? 2 2 分析:判断 x - 4 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 是否成立?

(x - 1 ) ( x ? 3) ? 0 (2) x ? 3 的充分条件是
分析:判断 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? x ? 3 是否成立? 总结:对于具有否定含义的命题,常采用“等价转化法” :先转化为其逆否命题,再进行判 断. 3.设 p : x ? 5 , q : x ? 3 思考 1: p 是 q 的充分条件吗? p 是 q 的必要条件吗? 思考 2: q 是 p 的什么条件呢? 课下继续思考, p 与 q 还有怎样的逻辑关系呢? 设计意图:通过本题设计,循序渐进的引导学生发现 p,q 之间的关系,完善知识结构,并 以此激发学生的求知欲,为下节课的学习做知识上的准备. 六、课堂小结

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师:通过本节课的学习你有哪些收获? 生:1.约定; 2.充分条件、必要条件的概念; 3.充分条件、必要条件的判断方法. 师总结: 1.一个约定: “若 p ,则 q ”为真,则 p ? q ; “若 p ,则 q ”为假,则 p ? ? q. 2.两个定义:充分条件、必要条件; 定义法 3.三种方法: 集合法 等价转化法 设计意图:通过学生总结,培养学生归纳概括能力;通过归纳、反思,让学生对本节课所 学知识结构有一个清晰的认识,形成知识体系. 七、作业布置 习题 1.2 A 组第 3 题,B 组第 1 题 设计意图:学生通过适量的课后作业,复习巩固所学知识,使学习效果达到最佳;便于教 师课后通过作业批改,及时发现作业中的问题给予分析. 八、板书设计 1.2.1 充分条件与必要条件 一、 约定 二、定义 总结: (1)定义法判断充分、必要条件的步骤

例1 例2 九、设计反思

(2)判断方法

本教学设计注重联系实际,过渡自然,以便引发学生的共鸣.这是一节概念新授课, 也是学生探索、总结、体验的探究课.由学生自己去感悟、理解、去归纳总结、教师适时 点拨,在课堂上解决问题,同时又带着新的问题走出课堂,能将课堂学习进行延伸.

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