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中学数学竞赛讲座及练习(第36讲)+分式


第三十六讲 分式方程 组)的解法 三十六讲 分式方程(组 的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转 化的基本方法是去分母,换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形.变形时 可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根.

例 1 解方程

解 令 y=x2+2x-8,那么

原方程为

去分母得

y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0, y2-4xy-45x2=0,

(y+5x)(y-9x)=0, 所以 y=9x 或 y=-5x. 由 y=9x 得 x2+2x-8=9x,即 x2-7x-8=0,所以 x1=-1,x2=8;由 y=-5x,得 x2+2x-8=-5x,即 x2+7x-8=0,所以 x3=-8,x4=1. 经检验,它们都是原方程的根.

例 2 解方程

y2-18y+72=0, 所以 y1=6 或 y2=12.

x2-2x+6=0.

此方程无实数根.

x2-8x+12=0, 所以 x1=2 或 x2=6. 经检验,x1=2,x2=6 是原方程的实数根. 例 3 解方程

故可考虑先用 分析与解 我们注意到:各分式的分子的次数不低于分母的次数, 多项式除法化简分式.原方程可变为

整理得

去分母,整理得

x+9=0,x=-9. 经检验知,x=-9 是原方程的根.

例 4 解方程

根据这一特点把每个分式化为 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1, 整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化为



所以

((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3).

例 5 解方程

故 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1, 可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简.原方程变形为

整理得

去分母得 x2+9x-22=0, 解得 x1=2,x2=-11. 经检验知,x1=2,x2=-11 是原方程的根. 例 6 解方程

次 项与常数项符号相反,故可考虑用合比定理化简.原方程变形为

所以 x=0 或 2x2-3x-2=2x2+5x-3.

例 7 解方程

故可考 分析与解 形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反, 虑用合分比定理化简.原方程变形为

当 x≠0 时,解得 x=±1. 经检验,x=±1 是原方程的根,且 x=0 也是原方程的根.

说明 使用合分比定理化简时,可能发生增根和失根的现象,需细致检验.

例 8 解方程

解 将原方程变形为

例 9 解关于 x 的方程

将 x1=a-2b 或 x2=b-2a 代入分母 b+x, a-b 或 2(b-a), 得 所以, a≠b 时,1=a-2b 当 x 及 x2=b-2a 都是原方程的根.当 a=b 时,原方程无解. 例 10 如果方程

只有一个实数根,求 a 的值及对应的原方程的根. 分析与解 将原方程变形,转化为整式方程后得 2x2-2x+(a+4)=0. ① 原方程只有一个实数根,因此,方程①的根的情况只能是:(1)方程①有两个相等的 实数根,即

△=4-42(a+4)=0.

(2)方程①有两个不等的实数根,而其中一根使原方程分母为零,即方程①有一 个根为 0 或 2. (i)当 x=0 时,代入①式得 a+4=0,即 a=-4.这时方程①的另一个根是 x=1(因为 2x2-2x=0,x(x-1)=0,x1=0 或 x2=1.而 x1=0 是增根).它不使分母为零,确是原 方程的唯一根.

(ii)当 x=2 时,代入①式,得

2×4-2×2+(a+4)=0, (x-2)(x+1)=0, 所以 x1=2(增 即 a=-8. 这时方程①的另一个根是 x=-1(因为 2x2-2x-4=0. 根),x2=-1).它不使分母为零,确是原方程的唯一根. 因此,若原分式方程只有一个实数根时,所求的 a 的值分别是

练习一

1.填空:

(3)如果关于 x 的方程

有增根 x=1,则 k=____.

2.解方程

3.解方程

4.解方程

5.解方程

6.解方程

7.m 是什么数值时,方程

有根?

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