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全错位排列公式


全错位排列
先看下面例子: 例 1. 5 个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法。 这个问题在高中很多参考书上都有,有几种解法,其中一种解法是用排除法: 先考虑 5 个全排列,有 A 5 种不同的排法,然后除去甲排在第一(有 A 4 种)与乙排第二(也有 A 4 种) ,但两种又有 重复部分,因此多减,必须加上多减部分,这样得到共有: A5

? 2 A 4 ? A3 ? 7 8 种。
5 4 3 5 4 4

现在考虑: 例 2.5 个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法。 仿上分析可得: A5 ? 3 A4 ? 3 A3 ? A2 ? 6 4 种
5 4 3 2

这与全错位排列很相似。 全错位排列——即 n 个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题 例 3.5 个人站成一排,其中 A 不站第一位,B 不站第二位,C 不站第三位,D 不站第四位,E 不站第五位,共有多 少种不同的站法。 解析:上面例 1,例 2 实际上可以看成 n 个不同元素中有 m ? m ? n ? 不排在相应位置。 公式一: n 个不同元素排成一排,有 m 个元素 ? m ? n ? 不排在相应位置的排列种数共有:
An ? C m An ?1 ? C m An ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? C m An ? m 种
n 1 n ?1 2 n?2 m m n?m

这个公式在 n ? m 时亦成立,从而这个问题可能用上面的公式得出:
A5 ? C 5 A4 ? C 5 A3 ? C 5 A2 ? C 5 A1 ? C 5 A0 ? 4 4 种
5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

(注意 C n ? A0 ? 0 ! ? 1 )
0 0

(1993 年高考)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不 同的分配方式有 (A)6 种 (B)9 种 (C)11 种 (D)23 种 解析:由上面公式得: A4 ? C 4 A3 ? C 4 A2 ? C 4 A1 ? C 4 A0 ? 9 种,∴选择 B 答案
4 1 3 2 2 3 1 4 0

因此可得到全错位排列的公式: n 个不同元素排成一排, 第一个元素不在第一位, 第二个元素不在第二位, ……, n 个元素不在第 n 位的排列数为: 第
An ? C n An ?1 ? C n An ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? C n An ? n
n 1 n ?1 2 n?2 n n n?n

这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用,只要有特殊元素不站特殊位置的问题,都可以用这个公式很快得 到解决,另一个计算公式: S ? n ! ? 1 ?
? ? 1 1! ? 1 2! ? 1 3! ? ? ? ? ? 1?
n

n ? ? n!?


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