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利用基本不等式变式巧解竞赛试题


4 8   福建 中学数 学  2 0 l 3年 第 2期  AD : CD :   , PC :   2   ,   = 胎= 瓣  ( x / 2 ) 2 + (  ) 2 =   ,    ̄ 所 以  l P C l   =   1 ,   =  。 = 昙 ,   :I o ,   故选 D.   点 评 这 里 取 直 角 三 角 形 的特 殊

图形 一 等 腰 直  线段 C D 的中点  A。2   B.4   C. 5   =   D。 1 0   角三角 形 ,使 问题得 以快速 解决 .   总之 ,在 数 学 问题 讨 论 现 研究 中 ,运 用特殊 化  策 略 ,从 问题 的特 殊情 形 出发 ,常能 起到 启迪 思维 、   简 化过 程 、优化 步骤 、去伪 存真 、培 养能 力之 功效 .   解析 取一等腰直角三角形 A B C,Z C= 9 0 。 ,   如右图所示 :再取 A C= B C=2 ,则 A B:2 √  ,   利 用基 本不等 式变式巧解竞 赛试题  王淼 生  福建省厦门第一 中学 ( 3 6 1 0 0 3 )   推 厂 2 若 a, b ∈R  , n∈ N  , a   +b   =1 ,贝 0   + 在基本不等式 a   + b 。  2 a b 中,若 b ∈ R   ,则得  2   一 到一个简单的变式 :   D  ≥ 2 a — b. 利用这个变式可以  半  (   + 1 ) 3 j ( 当 且 仅 当 导 :  时 等 号 成 立 ) .   例2 ( 2 0 0 4年法 国国家 队选拔考 试 试题 ) 若6 / , ,   对很多国内外竞赛试题进行极其简洁 的证 明,本文  略举几个实例予以说明,以期抛砖引玉 .   例1  ( 数学奥林 匹克问题之 1 6 3( 高中)   中等  数学  2 0 0 5年第 1 1期 )已知  为锐角 ,求证 :   b e ∈ R  (   = 1 , 2 … . ,n ,  ∈ N   ) , 且∑q =   , 求  的最 小值 ?   s i n   +   C O S   8.   分析 由上述变 式可 得  ? 2 , 12   分析 本题 只要证 明   I -  +   j   -   ≥ 4即   Ui十 0i   1   2 , 2 2   ≥4   (   6 , )   一  ,   可 .由上述变式可得 ÷ 2   s i n   + — 一   2 . , / 3   C O S   则 有   n   2   1   n   ( 2 a i ) 2   ( 3   n   q 一 喜   j   .   利 用上述 变式 ,容 易将 本题推 广 为 :   ≥r 2 —2 s i n a ) + ( 6 — 2 v 5C O S O : )   : 8 — 4 s i n f  +  1 3    4 .   推广 若a   ,b i  R   , 且∑  = ∑b l = k( k 为   评注 宋庆老师在文 1 中对本题进行分类讨论 ,   解答过程较复杂 .事实上,利用变式 ,容易将本题  推 广为 :   正 常数) , 则∑ n   最小 值为生.   2   a . +b   推 广1 若  为 锐 角 , n ∈ N + , 则士 +   S 1 n  例 3  ( 优美不 等式 )设

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