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2017届高三数学(文)一轮复习课件:10-3 用样本估计总体


第十章 算法初步、统计、统计案例

第三节
用样本估计总体
微知识
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小题练
大课堂 新提升

微知识

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教材回扣 基础自测

一、知识清单 微知识? 频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般

分成两种,一种是用样本的频率分布 估计总体的分布。另一种是用
样本的数字特征

估计总体的数字特征。

频率 (2)在频率分布直方图中,纵轴表示 组距 ,数据落在各小组内的频 各小长方形的面积 率用 表示。各小长方形的面积总和 等于 1 。

微知识? 频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ,就得到频率分布折线图。 (2)总体密度曲线:随着样本容量 的增加,作图时 所分的组数 增加,
组距

减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称

这条光滑曲线为总体密度曲线。 微知识? 茎叶图的优点 用茎叶图表示数据有两个突出的优点:一是从统计图上没有原始信息 的损失,所有的 数据信息 都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图可以在比 赛时 随时记录 ,方便记录与表示。

微知识? 标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 。

(2)标准差:s= (3)方差:s2=

1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n
1 2 2 2 [( x 1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ] n



(xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数)。

微知识? 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1) 中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面 积 相等 ,由此可以估计中位数的值。 (2)平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的 横坐标之和 。 (3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的 横坐标 。

二、小题查验 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据。(× )
解析:错误。平均数一定不大于这组数据中的最大值。 (2)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势。(√ )
解析:正确。平均数表示一组数据的平均水平,众数表示一组数据中出 现次数最多的数,中位数等分样本数据所占频率,都可以从不同的角度描述 数据的集中趋势。 (3)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大。(√ )
解析:正确。由方差的意义知结论正确。

(4)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间 内的频率越高。( √)
解析:正确。由频率分布直方图的意义知结论正确。

(5)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一 次。(× )
解析:错误。茎叶图要求不能丢失数据。

2.在如图所示的茎叶图表示的数据中,众数和中位数分别是(

)

A.23 与 26 C.24 与 30

B.31 与 26 D.26 与 30

解析:观察茎叶图可知,这组数据的众数是 31,中位数是 26。 答案:B

3. 把样本容量为 20 的数据分组, 分组区间与频数如下: [10,20), 2; [20,30), 3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)上的数据 的频率是( A.0.05 C.0.5 ) B.0.25 D.0.7

解析:由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是 2+3+4+5=14,故其频 14 率为20=0.7。 答案:D

4.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成 频率分布直方图。由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )

A.20 B.25 C.30 D.35
解析:由题意知 a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1,则 a=0.03,故学生人 数为 0.3×100=30。 答案:C

5.甲、乙两人比赛射击,两人所得的平均环数相同,其中甲所得环数的方 差为 5 ,乙所得环数如下: 5 、6 、9 、 10 、 5 ,那么这两人中成绩较稳定的是 __________。
2 2 解析: x =7,s2 乙=4.4,则 s甲>s乙,故乙的成绩较稳定。

答案:乙

微考点

大课堂
考点例析 对点微练

微考点?

频率分布直方图及其应用

【典例 1】(1)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测 试成绩分成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统 计,得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名,据此估 计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( B )

A.588 C.450

B.480 D.120

(2)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,右图为检测结果的频率 分布直方图。根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和 [25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品。用频率估计概率,现 从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的概率是( D ) A.0.09 C.0.25 B.0.20 D.0.45

解析:(1)由频率分布直方图知 40~60 分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2, 故估计不少于 60 分的学生人数为 600×(1-0.2)=480。
(2)由频率分布直方图知识可知:在区间[15,20)和[25,30)上的概率为 0.04×5 +[1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5]=0.45。

[规律方法] (1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据。可根据频率分布直方 图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于 1 就可求出其他数据。 (2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据。可利用图形及某范围结合 求解。

【微练 1】有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示。根据 样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )

A.18 B.36 C.54 D.72
解析:样本数据落在区间[10,12)内的频率 1-(0.19+0.15+0.05+0.02)×2 =0.18,所以数据落在此区间的频数为 200×0.18=36。 答案:B

微考点?

茎叶图及其应用

【典例 2】(1)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的 茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( B )

A.0.2 C.0.5

B.0.4 D.0.6

(2)某学校随机抽取 20 个班, 调查各班中有网上购物经历的人数, 所得数据 的茎叶图如图所示。以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),?,[30,35),[35,40] 时,所作的频率分布直方图是( A )

A.

B.

C.

D.

解析:(1)∵数据总个数 n=10, 又∵落在区间[22,30)内的数据个数为 4, 4 ∴所求的频率为10=0.4。
(2)由分组可知 C,D 两项一定不对;由茎叶图可知[0,5)有 1 人,[5,10)有 1 人, ∴第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相同,可排除 B。 故选 A。

[规律方法] 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况, 这一点同频率分布直方图类似。 它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息 损失;第二点是茎叶图便于记录和表示。其缺点是当样本容量较大时,作图较 繁琐。

【微练 2】从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额 进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲、乙两组数据的平均数分别 为 x 甲, x 乙,中位数分别为 m 甲,m 乙,则( )

A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙

B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

解析:甲数据集中于前半段,而乙数据集中于后半段,所以 x 甲< x 乙;m 18+22 27+31 = 2 =20,m 乙= 2 =29,所以 m 甲<m 乙,所以选 B。 答案:B



微考点?

样本的数字特征及其应用

【典例 3】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分 别是 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5。 (1)分别计算两组数据的平均数;
1 解析:(1) x 甲=10(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环), 1 x 乙=10(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环)。

(2)分别计算两组数据的方差;
1 解析:(2)由方差公式 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]可求得 s2 甲=
2 3.0(环 2),s乙 =1.2(环 2)。

(3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击水平谁更好一些。
解析:(3)由 x 甲= x 乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当;
2 又∵s2 说明甲战士射击情况波动大, 因此乙战士比甲战士射击情况稳定。 甲>s乙,

[规律方法] (1)平均数和方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的阐述。平均 数、中位数、众数描述总体的集中趋势,方差和标准差描述波动大小。 (2)平均数、方差公式的推广 若数据 x1, x2, ?, xn 的平均数为 x , 方差为 s2, 则数据 mx1+a, mx2+a, ?, mxn+a 的平均数为 m x +a,方差为 m2s2。

【微练 3】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别 射击了 5 次,成绩如下表(单位:环): 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9

如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的最佳人选应是__________。
1 2 2 2 2 解析: x 甲= x 乙=9 环,s2 甲= [(9-10) +(9-8) +(9-9) +(9-9) +(9- 5 2 9) ]=5,
2

1 6 2 2 2 2 2 2 s2 = [(9 - 10) + (9 - 10) + (9 - 7) + (9 - 9) + (9 - 9) ] = 乙 5 5>s甲,故甲更稳 定,故选甲。 答案:甲

微考场

新提升
考题选萃 随堂自测

1.(2015· 课标Ⅱ卷)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放 量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析:结合图形可知,2007 年与 2008 年二氧化硫的排放量差距明显,显 然 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著; 2006 年二氧化硫的排放量最高, 从 2006 年开始二氧化硫的排放量开始整体呈下降趋势。显然 A,B,C 正确, 不正确的是 D,不是正相关。 答案:D

2.(2015· 陕西卷)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师, 其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )

A.93
=137。故选 C。 答案:C

B.123

C.137

D.167

解析:由扇形统计图可得,该校女教师人数为 110×70%+150×(1-60%)

3.(2015· 重庆卷)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是(

)

A.19 B.20 C.21.5 D.23
20+20 解析:由茎叶图知,该组数据的中位数为 2 =20,故选 B。 答案:B

4.(2015· 山东卷)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月 中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考 虑以下结论:

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温;②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温;③甲地该月 14 时的气温的标 准 差小于乙地该月 14 时的气温的标准差;④甲地该月 14 时的气温的标准差 大于乙地该月 14 时的气温的标准差。

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

)

解析:由题中茎叶图,知 x 甲= s 甲=

26+28+29+31+31 =29, 5

1 3 10 2 2 2 2 2 [ ? 26 - 29 ? + ? 28 - 29 ? + ? 29 - 29 ? + ? 31 - 29 ? + ? 31 - 29 ? ] = 5 5 ; 28+29+30+31+32 x 乙= =30, 5 s 乙= 1 2 2 2 2 2 [ ? 28 - 30 ? + ? 29 - 30 ? + ? 30 - 30 ? + ? 31 - 30 ? + ? 32 - 30 ? ]= 2。 5 所以 x 甲< x 乙,s 甲>s 乙,故选 B。 答案:B

5.(2015· 湖北卷)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费 情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直 方图如图所示。

(1)直方图中的 a=________; (2) 在 这 些 购 物 者 中 , 消 费 金 额 在 区 间 [0.5,0.9] 内 的 购 物 者 的 人 数 为 ________。
解析: (1)0.1×1.5+0.1×2.5+0.1×a+0.1×2+0.1×0.8+0.1×0.2=1, 解 得 a=3; (2)区间[0.5,0.9]内的频率为 1-0.1×1.5-0.1×2.5=0.6,则该区间内购物 者的人数为 10 000×0.6=6 000。 答案:(1)3 (2)6 000


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