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2015-2016学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,每小题有四个选项,其中只有一 个选项正确,请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上) 1.过点 A(2,1)且斜率为 1 的直线方程是( ) A.x﹣y﹣1=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+y﹣3=0 D.x+y﹣1=0 2.观察下列数列的特点:

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第 20 项是( ) A.5 B.6 C.7 D.10 3.在空间直角坐标系中,点(2,1,4)关于 xOy 平面对称点的坐标为( ) A. (﹣2,﹣1,4) B. (﹣2,1,﹣4) C. (2,1,﹣4) D. (2,﹣1,﹣4) 4.下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b,则 a2>b2 C.若 a>b,c>d,则 ac>bd D.若 a>b,c<d,则 a﹣c>b﹣d 5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的体积为( )

A.1 B.2 C.3 D.6 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,a=4

,b=4

,则 B 等

于( ) A.30° B.45° C.60° D.135° 7.某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%,则这个厂近 5 年内的 总产值为( ) A.1.14a B.1.15a C.10a(1.16﹣1) 8.设 a>0,b>0.若 A.4 B.6 C.2 D.10a(1.15﹣1) )

是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( D.2

9.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 10.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11.不等式 x2+x﹣2<0 的解集为 .
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12.一个棱长为 2cm 的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积是 . 13.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足:a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列,则数列{an}的 通项公式是 . 14.已知直线 l 经过点(1,3) ,且与圆 x2+y2=1 相切,直线 l 的方程为 . 15.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 16.已知在等差数列{an}中,a4=7,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= +n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的表达式.

17.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 c=2asinC, (1)求角 A; (2)若 a=2,且△ABC 的面积等于 ,求 b,c. 18.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷 酸盐、硝酸盐如表,已知现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料, 设 x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数. 磷酸盐(t) 硝酸盐(t) 4 18 生产 1 车皮甲种肥料 1 15 生产 1 车皮乙种肥料 (1)列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 1 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为.5 万,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?最大利润是多少?

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底图 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中 点 (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)若 PD=DC=2,求三棱锥 P﹣EDB 的体积.

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20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 C 位于 y 轴右侧,且与 直线 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)在圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 B, 同的两点 A, 且△OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,每小题有四个选项,其中只有一 个选项正确,请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上) 1.过点 A(2,1)且斜率为 1 的直线方程是( ) A.x﹣y﹣1=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+y﹣3=0 D.x+y﹣1=0 【考点】直线的点斜式方程. 【分析】利用点斜式方程求解即可. 【解答】解:过点(2,1)且斜率为 1 的直线方程为: y﹣1=x﹣2, 整理,得 x﹣y﹣1=0, 故选:A. 2.观察下列数列的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第 20 项是( A.5 B.6 C.7 D.10 )

【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,的特点是 1 有 1 个,2 有 2 个,3 有 3 个,…n 有 n 个,当 n=5 时,数列一共有 15 项,而当 n=6 时有 6 项,从而得到结论. 【解答】解:数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,的特点是 1 有 1 个,2 有 2 个,3 有 3 个,…n 有 n 个 则数列一共有 项, <20,

解得 n≤5 当 n=5 时,数列一共有 15 项, 而当 n=6 时,有 6 项,则第 20 项为 6, 故选:B. 3.在空间直角坐标系中,点(2,1,4)关于 xOy 平面对称点的坐标为( ) A. (﹣2,﹣1,4) B. (﹣2,1,﹣4) C. (2,1,﹣4) D. (2,﹣1,﹣4) 【考点】空间中的点的坐标. 【分析】根据空间点的对称性的特点进行计算即可. 【解答】解:点关于 xOy 平面对称点的坐标满足 x,y 不变,z 相反, 即点(2,1,4)关于 xOy 平面对称点的坐标为(2,1,﹣4) , 故选:C. 4.下列命题中正确的是( ) 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B.若 a>b,则 a2>b2 C.若 a>b,c>d,则 ac>bd D.若 a>b,c<d,则 a﹣c>b﹣d 【考点】不等式的基本性质. 【分析】利用不等式的性质判断 D,举反例判断 A,B,C. 【解答】解:对与 A,当 c=0 时,不成立,
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对于 B:当 a=1,b=﹣2 时不成立, 对于 C:当 a>0,b,c,d<0 时,不成立, 对于 D:若 a>b,c<d,则﹣c>﹣d,则 a﹣c>b﹣d,故成立, 故选:D. 5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的体积为( )

A.1

B.2

C.3

D.6

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图可知几何体是以左视图为底面,高为 2 的直三棱柱,即可求出该多面体 的体积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是以左视图为底面,高为 2 的直三棱柱, ∴该多面体的体积为 故选:C. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,a=4 于( ) A.30° B.45° C.60° D.135° 【考点】正弦定理. 【分析】利用正弦定理即可得出. 【解答】解:由正弦定理可得: ∵b<a,∴B 为锐角, ∴B=45°. 故选:B. 7.某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%,则这个厂近 5 年内的 总产值为( ) 4 5 A.1.1 a B.1.1 a C.10a(1.16﹣1) D.10a(1.15﹣1) 【考点】函数的值. 【分析】这个厂近 5 年内年产值构成一个首项为 a,公比为 1.1 的等比数列,由此利用等比 数列求和公式能求出这个厂近 5 年内的总产值. 【解答】解:∵某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%, ∴这个厂近 5 年内年产值构成一个首项为 a,公比为 1.1 的等比数列,
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=3,

,b=4

,则 B 等

=

,解得 sinB=



∴这个厂近 5 年内的总产值为: S= 故选:D. 是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( D.2 =10a(1.15﹣1) .

8.设 a>0,b>0.若 A.4 B.6 C.2



【考点】基本不等式;等比数列的通项公式. 【分析】由题意易得正数 a、b 满足 a+b=1,进而可得 + =( + ) (a+b)=2+ + ,由 基本不等式求最值可得. 【解答】解:a>0,b>0, ∴3=3a?3b=3a+b,∴a+b=1, ∴ + =( + ) (a+b) =2+ + ≥2+2 =4, 是 3a 与 3b 的等比中项,

当且仅当 = 即 a=b= 时取等号, 故选:A. 9.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n )

【考点】平面与平面平行的判定. 【分析】通过举反例可得 A、B、C 不正确,根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可得 D 正确,从而得出结论. 【解答】解:A、m,n 平行于同一个平面,故 m,n 可能相交,可能平行,也可能是异面直 线,故 A 错误; B、α,β 垂直于同一个平面 γ,故 α,β 可能相交,可能平行,故 B 错误; C、α,β 平行与同一条直线 m,故 α,β 可能相交,可能平行,故 C 错误; D、垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确. 故选 D. 10.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【考点】两点间距离公式的应用;直线的一般式方程. 【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即 A 和 B,注意到两条动直线相互垂直的特点, 则有 PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值. 【解答】解:由题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) ,
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动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 则有 PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|?|PB|≤ 故选:B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11.不等式 x2+x﹣2<0 的解集为 (﹣2,1) . 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】先求相应二次方程 x2+x﹣2=0 的两根,根据二次函数 y=x2+x﹣2 的图象即可写出不 等式的解集. 【解答】解:方程 x2+x﹣2=0 的两根为﹣2,1, 且函数 y=x2+x﹣2 的图象开口向上, 所以不等式 x2+x﹣2<0 的解集为(﹣2,1) . 故答案为: (﹣2,1) . 12.一个棱长为 2cm 的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积是 12πcm2 . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】设出正方体的棱长,求出正方体的体对角线的长,就是球的直径,求出球的表面积 即可. 【解答】解:正方体的棱长为:2cm,正方体的体对角线的长为:2 cm,就是球的直径, ∴球的表面积为:S2=4π( )2=12πcm2. 故答案为:12πcm2. 13.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足:a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列,则数列{an}的 通项公式是 an=4n﹣2 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d≠0,由 a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列,可得 即(2+d)2=2(2+4d) ,解得 d 即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d≠0,∵a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列, 则 =a1a5,∴(2+d)2=2(2+4d) ,解得 d=4. =a1a5, =5(当且仅当|PA|=|PB|= 时取“=”)

∴an=2+4(n﹣1)=4n﹣2. 故答案为:an=4n﹣2. 14. 3) 已知直线 l 经过点 (1, , 且与圆 x2+y2=1 相切, 直线 l 的方程为 x=1 或 4x﹣3y+5=0 . 【考点】圆的切线方程. 【分析】设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求出方程,当直线的斜率不存在时 验证即可. 【解答】解:设切线方程为 y﹣3=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+3﹣k=0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即
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=1,解得 k= ,

其方程为 4x﹣3y+5=0. 又当斜率不存在时,切线方程为 x=1, 综上所述,直线 l 的方程为 x=1 或 4x﹣3y+5=0. 故答案为:x=1 或 4x﹣3y+5=0. 15.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是 ①②④ (写出所有正确结论的序号) 【考点】与二面角有关的立体几何综合题. 【分析】作出此直二面角的图象,由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断,即可得出 正确结论. E 是 BD 的中点, 【解答】 解: 作出如图的图象, 其中 A﹣BD﹣C=90°, 可以证明出∠AED=90° 即为此直二面角的平面角 对于命题①,由于 BD⊥面 AEC,故 AC⊥BD,此命题正确; 对于命题②,在等腰直角三角形 AEC 中可以解出 AC 等于正方形的边长,故△ACD 是等 边三角形,此命题正确; 对于命题③AB 与平面 BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE=45°,故 AB 与平面 BCD 成 60°的角不正确; 对于命题④可取 AD 中点 F,AC 的中点 H,连接 EF,EH,FH,由于 EF,FH 是中位线, 可证得其长度为正方形边长的一半,而 EH 是直角三角形的中线,其长度是 AC 的一半即正 方形边长的一半,故△EFH 是等边三角形,由此即可证得 AB 与 CD 所成的角为 60°; 综上知①②④是正确的 故答案为①②④

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 16.已知在等差数列{an}中,a4=7,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= +n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的表达式.
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【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)根据等差数列的通项公式,建立方程关系进行求解即可. (2)求出数列{bn}的通项公式,利用分组求和法进行求解. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a4=7,a2+a7=16 得 ,得 a1=1,d=2,

则 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (2)bn= +n=22n﹣1+n, = (4n

则数列{bn}的前 n 项和 Tn=(21+23+…+22n﹣1)+(1+2+…+n)= ﹣1)+

+



17.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 (1)求角 A; (2)若 a=2,且△ABC 的面积等于 ,求 b,c. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)由正弦定理结合 sinC≠0,化简已知可得 sinA=

c=2asinC,

,结合 A 为锐角,可得 A

的值. (2)由已知及余弦定理可得 4=(b+c)2﹣3bc,利用三角形面积公式可得 bc=4,联立即可 解得 b,c 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)在△ABC 中,∵ c=2asinC. sinC=2sinAsinC,… ∴由正弦定理可得: 又∵sinC≠0, ∴sinA= , ,… 4=b2+c2﹣bc= ,可得: (b+c)2﹣3bc,

∵A 为锐角,可得 A=

A= (2) ∵由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA,又 a=2, ① 又∵△ABC 的面积 = bcsinA=

bc,解得:bc=4,②

∴由①②可解得:b=c=2.… 18.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷 酸盐、硝酸盐如表,已知现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料, 设 x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数. 磷酸盐(t) 硝酸盐(t)
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4 18 生产 1 车皮甲种肥料 1 15 生产 1 车皮乙种肥料 (1)列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 1 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为.5 万,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?最大利润是多少?

【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划. 【分析】 (1)根据两种原料必须同时够用,即可得到列出不等式组,每个不等式表示一条直 线一边的部分,画出可行域; (2)设生产甲肥料 x 车皮,乙种肥料 y 车皮,能够产生最大的利润,利用线性规划的知识 进行平移求解即可.

【解答】解: (1)x,y 满足的线性约束条件为



可行域如图. (2)设生产甲肥料 x 车皮,乙种肥料 y 车皮,能够产生最大的利润, 则目标函数为 z=x+ y,即 y=﹣2x+2z. 平移直线 y=﹣2x+2z. 由图可知当直线 y=﹣2x+2z 经过可行域上的点 M 时,截距 z 最大, 解方程组 此时 z=2+ ×2=2+1=3, 所以 zmx=3. 答:分别生产甲、乙两种肥料各 2 车皮,能够产生最大的利润,最大的利润为 3 元. ,

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19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底图 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中 点 (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)若 PD=DC=2,求三棱锥 P﹣EDB 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理证明 OE∥PA 即可证明 PA∥平面 BDE, (2)根据三棱锥的体积公式,利用转化法,进行求解即可. 【解答】证明: (1)连接 AC,设 AC,BD 的交点为 O,连 OE, O E 由 , 分别为 AC,CP 中点, ∴OE∥PA 又 OE? 平面 EDB,PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)∵PD⊥平面 ABCD,CD? 平面平面 ABCD, ∴PD⊥DC, ∵E 是 PC 的中点,且 PD=DC=2, ∴S△ PDE= S△ PDC= ,

∵PD⊥平面 ABCD,AD? 平面平面 ABCD, ∴PD⊥AD, ∵AD⊥CD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PDC, ∵BC∥AD. ∴BC⊥平面 PDC,
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则 VP﹣EDB=VB﹣PDE= S△ PDE|BC|=

= .

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 C 位于 y 轴右侧,且与 直线 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)在圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 B, 同的两点 A, 且△OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由. 【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式. 【分析】 (1)设圆心是(x0,0) (x0>0) ,由直线 于圆相切可知,圆心到直线 的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求 x0,进而可求圆 C 的方程 (2)把点 M(m,n)代入圆的方程可得,m,n 的方程,结合原点到直线 l:mx+ny=1 的 距离 h<1 可求 m 的范围,根据弦长公式求出 AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数 的性质可求最大值 0) 【解答】 解: (1) 设圆心是 (x0, (x0>0) , 它到直线 解得 x0=2 或 x0=﹣6(舍去)… ∴所求圆 C 的方程是(x﹣2)2+y2=4… (2)∵点 M(m,n)在圆 C 上 ∴(m﹣2)2+n2=4,n2=4﹣(m﹣2)2=4m﹣m2 且 0≤m≤4… 又∵原点到直线 l:mx+ny=1 的距离 … 的距离是 ,

解得 而







∵ ∴当

… ,即 时取得最大值 , 与 ,面积的最大值是 .

此时点 M 的坐标是

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2016 年 8 月 20 日

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