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00175.圆锥曲线最值与范围问题7


圆锥曲线中的最值和范围问题
一、高考在考什么【考题回放】 1、(2008 福建文、理)双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,若 P 为其上的 a 2 b2

一点,且 | PF |? 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为( B ) 1 A. (1,3) B. (

1,3] C. (3, ??) D. [3, ??) 2 2、(2008 海南、宁夏理)已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离 与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A )

1 1 ,-1) B. ( ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 4 4 2 x y2 3、(2008 湖南文) 双曲线 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左 b a2
A. ( 准线 的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( C A. (1, 2] B. [ 2, ??) ) D. [ 2 ? 1, ??) C. (1, 2 ? 1]

4、(2008 湖南理)若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离 2 2 a b

大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B. ) A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? ) 5、(2008 江西文、理) 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在 椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C ) A.(0,1) B.(0,

1 ] 2
2

C.(0,

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2

6、(2008 辽宁理) 已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离 与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A.

17 2

B. 3

C. 5

D.

9 2

7、 (2008 全国Ⅱ卷理)设 a ? 1 , 则双曲线 A. ( 2, B. ( 2,5) 2) 二、高考要考什么【热点透析】

x2 y2 ( ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 B ) a 2 (a ? 1)2
5) C. (2,
D. (2,5)

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数 适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙 的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一 个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:

① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 三、突破重难点【典例讲解】 例 1. 给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 取得最小值时,试求 B 点的坐标。 解:因为椭圆的 e ?

5 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 3 25 16

3 5 1 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B 到左准 3 e e 5

线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过 点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3 于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2 x2 2 2 ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ|的最大值。 例 2.已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动, 点在椭圆 Q 9
解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大 2 2 2 值,只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 时, O1Q max ? 3 3 2 此时 PQ max ? 3 3 ? 1
2 2 2

2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关; 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法, 其中所涉及到的函数最常见的有二次函 数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ....................... 例 3.(2009 济宁市一模)椭圆

且 OP ? OQ ( O 为坐标原点). (Ⅰ)求证:

??? ?

????

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, a 2 b2

1 1 ? a 2 b2

等于定值;

(Ⅱ)当椭圆的离心率 e ? [

3 2 , ] 时,求椭圆长轴长的取值范围. 3 2

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 2 2 2 2 2 2 解:(Ⅰ)证明: ? 消去 y 得 (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

? ? 4a4 ? 4(a2 ? b2 )a2 (1 ? b2 ) ? 0, a2 ? b2 ? 1
设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 x2 ? 2 , a 2 ? b2 a ? b2

由 OP ? OQ ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 化简得 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,则 即 a ? b ? 2a b ,故
2 2 2 2

??? ???? ?

2a 2 (1 ? b2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a 2 ? b2 a ? b2

1 1 ? ?2 a 2 b2

(Ⅱ)解:由 e ? 化简得 a 2 ?

c 2 , b ? a 2 ? c 2 , a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 a

2 ? e2 1 1 ? ? 2 2(1 ? e ) 2 2(1 ? e2 )

由 e ?[

5 3 3 2 5 6 , ] 得 a 2 ? [ , ] ,即 a ? [ , ] 4 2 3 2 2 2

故椭圆的长轴长的取值范围是 [ 5, 6] 。

例 4.(2009 青岛市一模)已知 A, B, C 均在椭圆 M :

x2 AC 分 ? y 2 ? 1(a ? 1) 上, 直线 AB 、 2 a
2

别过椭圆的左右焦点 F 1 、 F 2 ,当 AC ? F F2 ? 0 时,有 9 AF1 ? AF2 ? AF1 . 1 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 M 上的任一点,EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任一条直径, PE ? PF 求
2

??? ???? ? ?

的最大值. 解:(Ⅰ)因为 AC ? F F2 ? 0 ,所以有 AC ? F F2 1 1

??? ???? ? ?

??? ?

???? ?
???? ?

所以 ?AF F2 为直角三角形;? AF1 cos ?F1 AF2 ? AF2 …………………………2 分 1 则有 9 AF ? AF2 ? 9 AF AF2 cos ?F AF2 ? 9 AF2 1 1 1 所以, AF1 ? 3 AF2 …………………………3 分

????

???? ???? ?
????

???? ???? ?

???? 2 ?

???? 2 ???? 2 ? AF1 ? AF1

???? ?

? 3a ???? a , AF2 ? ………………………4 分 2 2 ???? 2 ???? 2 ????? 2 ? ? 在 ?AF F2 中有 AF ? AF2 ? F F 2 1 1 1
又 AF1 ? AF2 ? 2a ,? AF1 ?

????

即?

? 3a ? ?a? 2 2 ? ? ? ? ? 4(a ? 1) ,解得 a ? 2 ? 2? ?2?
x2 ? y 2 ? 1 …………………………6 分 2

2

2

所求椭圆 M 方程为

(Ⅱ) PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

? ?? ? ? ?? NF ? NP ?? ?NF ? NP ? ? ?? NP ? ? NF
2

2

? NP ? 1

2

从而将求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值…………………………8 分

2

P 是椭圆 M 上的任一点,设 P?x0 , y0 ? ,则有

x0 2 2 2 ? y 0 ? 1 即 x0 ? 2 ? 2 y0 2
2

2

又 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? ? ? y0 ? 2 ? ? 10 ………………………10 分
2 2

??? 2 ?

而 y0 ? ?? 1,1?,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取最大值 9
2

故 PE ? PF 的最大值为 8 …………………………12 分 例 5.已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? 足:

9 2 ,且离心率 e 满 4

2 4 , e, 成等差数列。 3 3 1 平分, 2

(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

2 2 a2 9 2 2 (1)解:依题意 e ? ,? ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4 ∴a=3,c=2 2 ,b=1,
又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ?
2

9 2 4

1 2 y ?1 9
1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N,

∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0

2 2

2

2

2

2



x1 ? x2 ?km 1 k2 ? 9 ? 2 ?? ?m ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? ② 2 k ?9 2 2k (k 2 ? 9) 2 ? (k 2 ? 9) ? 0 , 把②代入①式中得 4k 2 ∴k> 3 或 k<- 3 ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3 ? 例 6. ( 20009 滨 州一 模) 已知 方向 向量 为 v ? (1, 3) 的 直线 l 过 点 (0,? 2 3) 椭 圆 和

C:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,且椭圆的离心率为 . 2 a b 3

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若已知点 D (3, 0) ,点 M , N 是椭圆 C 上不重合的两点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围. (1)∵直线 l 的方向向量为 v ? (1, 3) ∴直线 l 的斜率为 k ?

???? ?

????

?

3 ,又∵直线 l 过点 (0, ?2 3)

∴直线 l 的方程为 y ? 2 3 ? 3x ∵ a ? b ,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点 ∴椭圆的焦点为 (2, 0)

∴ c ? 2 ,又∵ e ?
2

c 6 ? a 3
2 2

∴ a ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 2

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 6 2

(2)设直线 MN 的方程为 x ? ay ? 3,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由? 6 , 得 (m ? 3) y ? 6my ? 3 ? 0 2 ? x ? my ? 3 ?
设 M , N 坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 则

y1 ? y2 ? ?

6m , m2 ? 3

(1) y1 y2 ?

3 m ?3
2

(2)

3 , 2 ???? ? ???? ???? ? ???? ∵ DM ? ( x1 ? 3, y1 ), DN ? ( x2 ? 3, y2 ), DM ? ? DN ,显然 ? ? 0 ,且 ? ? 1

? ? 36m2 ?12(m2 ? 3) ? 24m2 ? 36 >0∴ m2 ?

∴ ? x1 ? 3, y1 ? ? ? ( x2 ? 3, y2 ) ∴ y1 ? ? y2 代入(1) (2),得 ? ?

1

?

?

12m2 36 ? 2 ? 10 ? 2 2 m ?3 m ?3



m2 ?

? ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 3 1 ,得 2 ? ? ? ? 10 ,即 ? 2 2 ? ?? ? 10? ? 1 ? 0

解得 5 ? 2 6 ? ? ? 5 ? 2 6 且 ? ? 1 .


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