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线性规划应用题


线性规划应用题
1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产 每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产 品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,求该企业可获得最大利润。 解析:设甲、乙种两种产品各需生产

x 、 y 吨,可使利润 z 最大,故本题即

? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 已知约束条件 ? ,求目标函数 z ? 5 x ? 3 y 的最大 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
值,可求出最优解为 ?

?x ? 3 ,故 zmax ? 15 ? 12 ? 27 。 ?y ? 4

2. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费 为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,求所需租赁费的最少值.
.

【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则

z ? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

? 6 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? , x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

.

? 6 ? x ? y ? 10 作出不等式表示的平面区域,当 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 的交点 5 ? x ? 2 y ? 14 ?
(4,5)时,目标函数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元.
.

答案:2300 3. 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 v n mile/h(4≤v≤20)从 A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去,然后乘汽车以匀速 w km/h(30≤w≤100)自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去 应该在同 一天下午 4 至 9 点到达 C 市 设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h (1)作图表示满足上述条件的 x、y 范围; (2)如果已知所需的经费 p=100+3×(5-x)+2×(8-y) (元) , 那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元? 分析:由 p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围
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解: (1)依题意得 v=

50 300 ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100 y x
① y

∴3≤x≤10,

14 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 9 至 14 个小时之间, 即 9≤x+y≤14 ② 2.5 因此,满足①②的点(x,y)的存在范围是图 O 3 9 10 14 x 中阴影部分(包括边界) (2)∵p=100+3· (5-x)+2· (8-y) , ∴3x+2y=131-p 设 131-p=k,那么当 k 最大时,p 最小 在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为
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5 25 ≤y≤ 2 2

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- 的直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过点(10,4) ,即当 x=10,y=4 时,p 最小 此时,v=12 5,w=30,p 的最小值为 93 元 点评:线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 然后分析要求量 的几何意义 4. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量 非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的 月供应量,以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:(表中单位:百元)
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资 成

金 本

单位产品所需资金 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8

月资金供应量 300 110

劳动力:工资 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利 润是 P,则 P=6x+8y,由题意有 30x+20y≤300,5x+10y≤110,x≥0,y≥0,x、y 均为整数
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由图知直线 y=-

3 1 x+ P 过 M (4, 时, 9) 纵截距最大 这 4 8
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时 P 也取最大值 Pmax=6×4+8×9=96(百元) 故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元
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5. 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾 驶员 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙型卡车 每辆每天可往返 8 次 甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元 问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低? 分析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件, 列出目标函数,用图解法求其整数最优解 解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆,车队所花成本费为 z 元,那么
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?x ? y ? 9 ?10 ? 6 x ? 6 ? 8 y ? 360 ? ? ? x ? 4, x ? N ? y ? 7, y ? N ?
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y 7
5x+4y=30

z=252x+160y, 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图 x+y=9 作出直线 l0:252x+160y=0,把直线 l 向右上方平移, o 使其经过可行域上的整点, 且使在 y 轴上的截距最小 观察图形, 4 可见当直线 252x+160y=t x 经过点(2,5)时,满足上述要求 此时,z=252x+160y 取得最小值,即 x=2,y=5 时,zmin=252×2+160×5=1304 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低 解题回顾:用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高, 平行直线系 f(x,y)=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作 出可行域中的各整点 6. 某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位, 售价 0 5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0 4 元,学校要求给学 生配制盒饭,每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭, 才既科学又费用最少? 解:设每盒盒饭需要面食 x(百克) ,米食 y(百克) , 所需费用为 S=0 5x+0 4y,且 x、y 满足 6x+3y≥8,4x+7y≥10,x≥0,y≥0,
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5 5 13 14 5 x+ S 过 A( , )时,纵截距 S 最小,即 S 最小 4 2 15 15 2 13 14 故每盒盒饭为面食 百克,米食 百克时既科学又费用最少 15 15
由图可知,直线 y=-
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7. 配制 A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg,乙料 5 mg; 配一剂 B 种药需甲料 5 mg,乙料 4 mg 今有甲料 20 mg,乙料 25 mg,若 A、B 两种药至少 各配一剂,问共有多少种配制方法? 解:设 A、B 两种药分别配 x、y 剂(x、y∈N) ,则 x≥1,y≥1,3x+5y≤20,5x+4y≤25 上述不等式组的解集是以直线 x=1,y=1,3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域, 这个区域内的整点为(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(4,1) 、 、 、 、 、 、 、 所以,在至少各配一剂的情况下,共有 8 种不同的配制方法 8. 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢 板的块数如下表:

块数 种类

规格

A

B

C

第 种 板 一 钢 第 种 板 二 钢

1 1

2 1

1 3

每张钢板的面积为:第一种 1m2,第二种 2 m2,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、 15、27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需的三种 规格成品,且使所用钢板面积最小? 解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所 用钢板面积为 z m2,则有:

? x ? y ? 12 ?2 x ? y ? 15 ? , z ? x ? 2y , ? ? x ? 3 y ? 27 ? x ? 0, y ? 0, x, y ? N ? 9 15 作出可行域,得 l1 与 l 3 的交点为 A( , ), 2 2
当直线 z ? x ? 2 y 过点 A 时 z 最小,但 A 不 是整点,而在可行域内,整点(4,8)和 (6,7)都使 z 最小,且

y

16 12

A
8 28 12

O

x l3

l2

l1

z min ? 4 ? 2 ? 8 ? 6 ? 2 ? 7 ? 20 ,所以应分别截第一、第二种钢板 4 张、8 张,或 6 张、7
张,能满足要求.


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