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第三章向量空间


第三章 向量空间 2007.4
7.设 A 为 m ? n 矩阵,齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是( A.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关 )

15.向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为_______________. 23.

设向量组α 1=(1,-1,2,1)T,α 2=(2,-2,4,-2)T,α 3=(3,0,6,-1)T, α 4=(0,3,0,-4)T. (1)求向量组的一个极大线性无关组; (2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

2007.7
6.若向量组α 1=(1,t+1,0) 2=(1,2,0) ,α ,α 3=(0,0,t2+1)线性相关,则实数 t=( A.0 B.1 C.2 D.3 )

14.已知 ? 1 ? 5? 2 ? 2? 3 ? ? ,其中 ? 1 =(3,4,-1) ? 2 =(1,0,3) ? =(0,2,-5) , , ,则 ? 3 =_______.
??1 ? 15.矩阵 A= ? 1 ? 1 ? 0? ? 3 ?的行向量组的秩 6? ?

?

____________.

16.已知向量组 ? 1 =(1,1,1) ? 2 =(1,2,0) ? 3 =(3,0,0)是 R3 的一组基,则向量 , , β =(8,7,3)在这组基下的坐标是____________. 24.求向量组 ? 1
? ? 1? ? ? =? 1 ? ? 1 ? ? ?

,? 2

?1? ? ? =?3? ?5? ? ?

?6? ? ? ,? 3 = ? 2 ? ?6? ? ?

,? 4

?? 2? ? ? =? 4 ? ? 5 ? ? ?

的秩与一个极大线性无关组.

四、证明题(本大题 6 分) 27.设向量组 ? 1 , ? 2 线性无关,证明向量组β 1= ? 1 + ? 2 ,β 2= ? 1 - ? 2 也线性无关.

2007.10
5.设向量组α 1,α 2,…,α s 线性相关,则必可推出( A.α 1,α 2,…,α s 中至少有一个向量为零向量 B.α 1,α 2,…,α s 中至少有两个向量成比例 C.α 1,α 2,…,α s 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D.α 1,α 2,…,α s 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 )

1

6.设 A 为 m ? n 矩阵,则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是( A.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性相关 D.A 的行向量组线性相关



16.设向量α 1=(1,1,1)T,α 2=(1,1,0)T,α 3=(1,0,0)T,β =(0,1,1)T 则β 由α 1,α 2,α 3 线性表出的表示式为_____________. 24.求向量组α 1=(1,1,1,3)T,α 2=(-1,-3,5,1)T,α 3=(3,2,-1,4)T, α 4=(-2,-6,10,2)T 的秩和一个极大线性无关组.

2008.1
5.设 ? 可由向量α 1 =(1,0,0)α 2 =(0,0,1)线性表示,则下列向量中 ? 只能是 A.(2,1,1) 6.向量组α 1 ,α A. α 1 ,α
2 2

B.(-3,0,2)

C.(1,1,0)

D.(0,-1,0) )

,…,α s 的秩不为 s(s ? 2 )的充分必要条件是(

,…,α s 全是非零向量

B. α 1 ,α 2, …,α s 全是零向量 C. α 1 ,α 2, …,α s 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α 1 ,α 2, …,α s 中至少有一个零向量 7.设 A 为 m ? n 矩阵,方程 AX=0 仅有零解的充分必要条件是( A.A 的行向量组线性无关 C.A 的列向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关 )

17.向量组α 1 =(1,0,0) α 2 =(1,1,0), α 3 =(-5,2,0)的秩是___________. 24.求向量组α 1=(1,-1,2,4)α 2 =(0,3,1,2), α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(2,1,5,6), α 5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.

2008.4
6.向量组α 1,α 2,…α s,(s>2)线性无关的充分必要条件是( ) A.α 1,α 2,…,α s 均不为零向量 B.α 1,α 2,…,α s 中任意两个向量不成比例 C.α 1,α 2,…,α s 中任意 s-1 个向量线性无关 D.α 1,α 2,…,α s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示 15.已知向量组 ? 1
? 1 ? ? ? = ? 1 ? ,? ?? 2? ? ? ? 1 ? ?t? ? ? ? ? = ? ? 2 ? ,? 3 = ?1? ? 1 ? ?1? ? ? ? ?

2

的秩为 2,则数 t=______________.

24.设向量组 ? 1 =(1,-1,2,4)T, ? 2 =(0,3,1,2)T, ? 3 =(3,0,7,14)T, ? 4 =(1,-1,2,0)T, 求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

2008.7
5.已知向量组 A: ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 中
?2, ?3, ?4

线性相关,那么(



2

A. C.

?1, ? 2 , ? 3, ? 4

线性无关

B. D.

?1, ? 2 , ? 3, ? 4

线性相关

?1

可由 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性表示
?s

?3, ?4

线性无关 ) B. D.
?1, ? 2 , ? ? s

6.向量组 ? 1 , ? 2 , ? A. C.
?1, ? 2 , ? ? s ?1, ? 2 , ? ? s

的秩为 r,且 r<s,则(

线性无关 中任意 r+1 个向量线性相关
?2

中任意 r 个向量线性无关 中任意 r-1 个向量线性无关

?1, ? 2 , ? ? s

15.设有向量 ? 1 =(1,0,-2) ,

=(3,0,7) ? 3 =(2,0,6). 则 ? 1 , ? 2 , ? 3 的秩是___________. ,
?2

23.求向量组 ? 1 =(1,2,1,3) , 无关组.

=(4,-1,-5,-6) ? 3 =(1,-3,-4,-7)的秩和其一个极大线性 ,

2008.10
5.设向量α A.若α B.若α
1 ,α 2 1

? ( a1 , b1 , c1 ),α

2

? ( a 2 , b 2 , c 2 ),β β

1

? ( a1 , b1 , c1 , d 1 ),β

2

? ( a 2 , b2 , c 2 , d 2 )

,下列命题中正确的是(



线性相关,则必有β 1, 线性无关,则必有β 1,
2

2

线性相关 线性无关 线性无关 线性相关
2 ? 1 ? ? 2? 4 ? ?

1 ,α 2

β

2

C.若β 1, D.若β 1,

β

线性相关,则必有α 线性无关,则必有α
?1? ?0? ? ? ? ,α 0 ?2? ? ?

1 ,α 2

β

2

1 ,α 2

α

1

2

14.已知向量组

?0? ?1? ? ? ? ,α 5 ?0? ? ?

3

? ? ?? t ? ?

的秩为 2,则数 t= __________.

16.设向量组 ? 1 =(1,2,3) ? 2 =(4,5,6) ? 3 =(3,3,3)与向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 等价,则向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , , 的秩为 __________. 23.求向量 ? ? (3, ? 1, 2 ) T 在基 ? 1 ? (1,1, 2 ) T , ? 2 ? ( ? 1, 3,1) T , ? 3 ? (1,1,1) T 下的坐标,并将β 用此基线性 表示. 24.设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,令 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 3 , ? 2 ? 2? 2 ? 2? 3 , ? 3 ? 2? 1 ? 5? 2 ? 3? 3 .试确定向 量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性相关性.

3

2009.1
4.设 A,B 分别为 m×n 和 m×k 矩阵,向量组(I)是由 A 的列向量构成的向量组,向量组(Ⅱ)是由 (A,B)的列向量构成的向量组,则必有( A.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性无关 C.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性无关 )

B.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性相关 D.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性相关

14.已知向量 α =(3,5,7,9) β =(-1,5,2,0) , ,如果 α + ξ = β ,则 ξ =_________. 24.求向量组 ? 1 =(1,4,3,-2) ? 2 =(2,5,4,-1) ? 3 =(3,9,7,-3)的秩. , , 四、证明题(本大题共 1 小题,6 分) 27.设向量组 ? 1 ,? 2 ,? 3 线性无关, ? 1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 3 ? ? 1 ,证明:向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关.

2009.4
5.设 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是一个 4 维向量组,若已知 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合,且表示法惟一,则向量组
? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4

的秩为( B.2

) C.3 ) D.4

A.1

6.设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关,则向量组中( A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

16.设向量组 ? 1 =(a,1,1), ? 2 =(1,-2,1), ? 3 =(1,1,-2)线性相关,则数 a=________. 23.求向量组 ? 1 =(1,1,1,3)T, ? 2 =(-1,-3,5,1)T, ? 3 =(3,2,-1,4)T, ? 4 =(-2,-6,10,2)T 的一个极大无关组,并将向量组 中的其余向量用该极大无关组线性表出.

2009.7
5.设有向量组 A: ? 1, ? 2, ? 3, ? 4,其中 ? 1, ? 2, ? 3 线性无关,则( A. ? 1, ? 3 线性无关 C. ? 1, ? 2, ? 3, ? 4 线性相关 B. ? 1, ? 2, ? 3, ? 4 线性无关 D. ? 2, ? 3, ? 4 线性相关 ) )

7.设 A 为 m ? n 矩阵,则 n 元齐次线性方程 Ax=0 存在非零解的充要条件是( A.A 的行向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 15.向量组 ? 1 B.A 的列向量组线性相关 D.A 的列向量组线性无关 _____________。
4

? (1,1, 0 , 2 ), ? 2 ? (1, 0 ,1, 0 ), ? 3 ? ( 0 ,1, ? 1, 2 )的秩为

23.设向量组为 ? 1

? ( 2 , 0 , ? 1, 3 )

,? 2

? ( 3 , ? 2 ,1, ? 1)

,? 3

? ( ? 5 , 6 , ? 5 , 9 ) ,? 4 ? ( 4 , ? 4 , 3 , ? 5 ) ,求向量组的秩,并给出一

个极大线性无关组。 27.证明:若向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性无关,而 ? 1 ? ? 1 ? ? n , ? 2 ? ? 1 ? ? 2 , ? 3 ? ? 2 ? ? 3 , ? , ? n 向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 线性无关的充要条件是
n 为奇数

? ? n ? 1 + ? n,则



2009.10
5.向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s ( s
? 2 ) 的秩不为零的充分必要条件是(



A. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中没有线性相关的部分组 C. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 全是非零向量

B. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有一个非零向量 D. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 全是零向量
?

15.已知向量组 ? 1 ? (1, 2 ,3 ) T , ? 2 ? ( 2 , 2 , 2 ) T , ? 3 ? ( 3 , 2 , a ) T 线性相关,则数 a 16.设向量组 ? 1 ? (1, 0 , 0 ) T , ? 2 ? ( 0 ,1, 0 ) T ,且 ? 1
? ?1 ? ? 2,? 2 ? ?
2

______

,则向量组 ? 1 , ? 2 的秩为________.

24.设向量组 ? 1 ? (1, 4 ,1, 0 ) T , ? 2 ? ( 2 ,1, ? 1, ? 3 ) T , ? 3 ? (1, 0 , ? 3 , ? 1) T , ? 4 ? ( 0 , 2 , ? 6 ,3 ) T ,求该向量组的秩及一个极大无 关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. 27.设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,且 ?
? k 1? 1 ? k 2 ?
2

? k 3 ? 3 .证明:若 k 1

≠0,则向量组 ? , ? 2 , ? 3 也线性无关.

2010.1
4.设α 1,α 2,α 3,α 4 是三维实向量,则( ) A. α 1,α 2,α 3,α 4 一定线性无关 B. α 1 一定可由α 2,α 3,α 4 线性表出 C. α 1,α 2,α 3,α 4 一定线性相关 D. α 1,α 2,α 3 一定线性无关 5.向量组α 1=(1,0,0) ,α 2=(1,1,0) 3=(1,1,1)的秩为( ,α ) A.1 B.2 C.3 D.4 14.实数向量空间 V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________. 24.设向量组α 1=(1,2,3,6) 2=(1,-1,2,4) 3=(-1,1,-2,-8) 4=(1,2,3,2). ,α ,α ,α (1)求该向量组的一个极大线性无关组; (2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. 27.已知向量组α 1,α 2,α 3,α 4 线性无关,证明:α 1+α 2,α 2+α 3,α 3+α 4,α 4-α 1 线性无关.

2010.4
6.下列命题中错误的是( ) A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

5

7.已知向量组 ? 1, ? 2, ? 3 线性无关, ? 1, ? 2, ? 3, ? 线性相关,则( A. ? 1 必能由 ? 2, ? 3, ? 线性表出 C. ? 3 必能由 ? 1, ? 2, ? 线性表出
T T



B. ? 2 必能由 ? 1, ? 3, ? 线性表出 D. β 必能由 ? 1, ? 2, ? 3 线性表出
T T

23.设向量组 ? 1 ? ? 2,1, 3,1 ? , ? 2 ? ? 1, 2, 0,1 ? ,? 3 ? ? ? 1,1, ? 3, 0 ? ,? 4 ? ? 1,1,1,1 ? 求向量组的秩及一个极大 线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

2010.7
4.设α 1,α 2,α 3,α 4 都是 3 维向量,则必有( ) A.α 1,α 2,α 3,α 4 线性无关 B.α 1,α 2,α 3,α 4 线性相关 C.α 1 可由α 2,α 3,α 4 线性表示 D.α 1 不可由α 2,α 3,α 4 线性表示 15.设 A 为 5 阶方阵,且 r(A)=3,则线性空间 W={x | Ax=0}的维数是______________. 24.求向量组α 1=(1,2,-1,4) ,α 2=(9,100,10,4),α 3=(-2,-4,2,-8)的秩和一个极大无关组.

2010.10
7.设向量组α 1=(1,2), α 2=(0,2),β =(4,2),则 ( ) A. α 1, α 2,β 线性无关 B. β 不能由α 1, α 2 线性表示 C. β 可由α 1, α 2 线性表示,但表示法不惟一 D. β 可由α 1, α 2 线性表示,且表示法惟一 15.已知向量组α 1,=(1,2,3),α 2=(3,-1,2), α 3=(2,3,k)线性相关,则数 k=_________. 23.若向量组 ? 1
?1? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?, ? 2 ? ? ? 1 ?, ? 3 ? ? 6 ?, ? 4 ? ? 0 ? ?1? ? 3 ? ?? k? ? ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ? ?

的秩为 2,求 k 的值.

2011.1
4.设 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 是四维向量,则( A. ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 一定线性无关 ) B. ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 一定线性相关

C. ? 5 一定可以由 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性表示 D. ? 1 一定可以由 ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 线性表出 14.设向量 ? =(6,-2,0,4) ? =(-3,1,5,7) , ,向量 ? 满足 2? ? ? ? 3 ? ,则 ? =__________.
? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? ? ?? 2? ? 2 ? ? ? 5 ? ? ? ?? 6? ? ? ?? 5? ?3? ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1? ? ? 2 ? ? ? ?? 7 ? ? ? ?? 3?

24.求向量组: ? 1

,? 2

,? 3

,? 4

的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大

线性无关组表示出来. 四、证明题(本大题共 1 小题,6 分) 27.设向量 ? 1 , ? 2 ,…., ? k 线性无关,1<j≤k.,证明: ? 1 + ? j , ? 2 ,…, ? k 线性无关.

6

2011.4
8), ,若有常数 a , b 使 a? 1 ? b? 2 ? ? 3 ? 0 ,则( 5.设向量 ? 1 ? ( ? 1, 4), ? 2 ? (1, ?2), ? 3 ?(3, ?



A. a ? ? 1, b ? ? 2

B. a ? ? 1, b ? 2

C. a ? 1, b ? ? 2

D. a ? 1, b ? 2 )

6.向量组 ? 1 ? (1, 2, 0), ? 2 ? (2, 4, 0), ? 3 ? (3, 6, 0), ? 4 ? (4, 9, 0) 的极大线性无关组为( A. ? 1 , ? 4
?1 ? 7.设矩阵 A ? ? 2 ?3 ? 0 2 4

B. ? 1 , ? 3

C. ? 1 , ? 2

D. ? 2 , ? 3

0? ? 0 ,那么矩阵 A 的列向量组的秩为( ? 0? ?



A.3

B.2

C.1

D.0

16.已知 3 维向量 =(1,-3,3) , 23.求向量组 无关组. =(1, 2, 1, 0)T,

(1,0,-1)则 +3 =__________. =(3, 4, 3, 4)T, =(4, 5, 6, 4)T 的秩与一个极大线性

=(1, 1, 1, 2)T,

2011.7
12.设三阶矩阵 A ? ? ? 1 , ? 2 , ? 3 ? ,其中 ? i ( i ? 1, 2, 3) 为 A 的列向量,且|A|=2,则 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ?
? __________.

? 1 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 0 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 23.求向量组: ? 1 ? ? 3 ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ? 7 ? , ? 4 ? ? 5 ? 的秩,并给出该向量组的一个极大无关组,同时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ??2 ? ??5? ??3? ? 2 ? ? ?3? ??4? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?

将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合. 27.设 ? 1, ? 2, ? 3 线性无关,证明 ? 1, ? 1 ? 2? 2, ? 1 ? 3? 3 也线性无关.

2011.10
14.向量组(1,2),(2,3) (3,4)的秩为__________. 15.设线性无关的向量组 α1,α2,…,αr 可由向量组 β1,β2,…,βs 线性表示,则 r 与 s 的关系为__________. 21.设矩阵 A ? (? , 2 ? 2 , 3? 3 ), B ? ( ? , ? 2 , ? 3 ), 其中 ? , ? , ? 2 , ? 3 均为 3 维列向量,且 A ? 1 8, B ? 2 . 求 A ? B . 23.设向量组 α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(-2,-6,10,p)T 问 p 为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

7

2012.1
4.设 ? 1, ? 2,…, ? k 是 n 维列向量,则 ? 1, ? 2,…, ? k 线性无关的充分必要条件是( A.向量组 ? 1, ? 2,…, ? k 中任意两个向量线性无关 B.存在一组不全为 0 的数 l1,l2,…,lk,使得 l1 ? 1+l2 ? 2+…+lk ? k≠0 C.向量组 ? 1, ? 2,…, ? k 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D.向量组 ? 1, ? 2,…, ? k 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量 2? ? ? ? (1, ? 2, ? 2, ? 1) T , 3? ? 2 ? ? (1, ? 4, ? 3, 0) T , 则 ? ? ? =( A. (0,-2,-1,1)T B. (-2,0,-1,1)T n 14.实向量空间 R 的维数是__________. 23.设向量组 ? 1 ) D. (2,-6,-5,-1)T )

C. (1,-1,-2,0)T

? (3,1, 2, 0), ? 2 ? (0, 7,1, 3), ? 3 ? ( ? 1, 2, 0,1), ? 4 ? (6, 9, 4, 3),

求其一个极大线性无关组,并将其余向量

通过极大线性无关组表示出来.
a1 1 a1 2 a 22 a 32 a1 3 a 23 a 33 ? a1 1 ? ? a1 2 ? ? ? 0,证明: ? 1 ? ? a 2 1 ? , ? 2 ? ? a 2 2 ?a ? ?a ? 31 ? ? 32 ? a1 3 ? ? ? ? , ? 3 ? ? a 23 ? ?a ? ? 33 ? ? ? 线性无关. ? ?

27.设三阶矩阵 A=

a 21 a 31

的行列式不等于

2012.4
4.已知 4 ? 3 矩阵 A 的列向量组线性无关,则 AT 的秩等于( A.1 B.2 C.3 ) D.4 14.向量组 ? 1 =(1,1,1,1), ? 2 =(1,2,3,4), ? 3 =(0,1,2,3)的秩为______________.

23.设 ? , ? , ? 2, ? 3, ? 4 均为 4 维列向量,A=( ? , ? 2, ? 3, ? 4 )和 B=( ? , ? 2, ? 3, ? 4 )为 4 阶方阵.若行 列式|A|=4,|B|=1,求行列式|A+B|的值. 24.已知向量组 ? 1 =(1,2, ? 1,1)T, ? 2 =(2,0,t,0)T, ? 3 =(0, ? 4,5, ? 2)T, ? 4 =(3, ? 2,t+4,-1)T(其中 t 为参数) ,求向量组的 秩和一个极大无关组.

2012.7
? 1 ? ?1 ? ??2? ? ? ? ? ? ? 15.设 a 1 ? 0 , a 2 ? 2 , a 3 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?

则由 a1 , a 2 , a 3 生成的线性空间 L ( a1 , a 2 , a 3 ) 的维数是

24.求向量组 a 1 ? (2, 4, 2), a 2 ? (1,1, 0), a 3 ? (2, 3,1), a 4 ? (3, 5, 2) 的一个极大线性无关组, 并把其余向量用该极
8

大线性无关组表示。 27.设 a1 , a 2 , a 3 , a 4 是四维向量,且线性无关,证明 ? 1 ? a1 ? a 2 , ? 2 ? a 2 ? a 3 , ? 3 ? a 3 ? a 4 , ? 4 ? a 4 ? a1 线性相 关。

9


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第三章 向量空间

第三章 I 考试大纲要求 向量空间 1、考试内容:向量的概念;向量的线性组合和线性表示;向量组的等价;向 考试内容: 量组的线性相关 ;向量组的极大 无关组和秩;...


自考线性代数第三章向量空间习题

第三章 向量空间 一、单项选择题 1.设 A,B 分别为 m×n 和 m×k 矩阵,向量组(I)是由 A 的列向量构成的向量组,向量 组(Ⅱ)是由(A,B)的列向量构成...


选修2-1第三章3.1.1空间向量及其加减运算学案及作业

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选修2-1第三章空间向量共8课时---

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第三章 空间向量

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第三章 向量空间

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第三章 向量空间(熊维玲版)

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版) 第三章 向量空间 第三章§3.1 一、N 维向量的概念 1.定义 1 定义 1 向量空间 n 维向量及其运算 n 个有次序的数 a1...

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