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上海市金山区2015-2016学年第一学期期末考试高三数学试卷


上海市金山区 2015-2016 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) (答题请写在答题纸上) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. lim
n ??

3n ? 1 = 2n ? 3<

br />
. .

2.已知全集 U=R,集合 M={x | x2–4x–5<0},N={x | x≥1},则 M∩(UN) = 3.若复数 z 满足 z ?

3 ? 4i (i 为虚数单位),则 z = 1 ? 2i

. . .

4.若直线 l1:6x+my–1=0 与直线 l2:2x-y+1=0 平行,则 m= 5. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?3 ? 6.方程 4x– 6?2x +8=0 的解是 7.函数 y=secx ? sinx 的最小正周期 T= 8.二项式 ( x ?

? 2 3 c1 ? ?x ? 2 ? ,解为 ? ,则 c1–c2= ? 2 c2 ? ?y ?1
. . .

1 6 ) 展开式中 x 3 系数的值是 x2

9.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 25 16
.(结果用数值表示) . .

.

10.在报名的 5 名男生和 3 名女生中,选取 5 人参加数学竞赛,要求男、女生都有,则不同的选取方式的种数 为

11.方程 cos2x+sinx=1 在(0,?)上的解集是 12.行列式

a c

b d

(a、b、c、d?{–1,1,2})所有可能的值中,最小值为
2

13.已知点 P、Q 分别为函数 f ( x) ? x ? 1 (x≥0)和 g ( x) ? 为 .

x ? 1 图像上的点,则点 P 和 Q 两点距离的最小值

14.某种游戏中,用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”,它们从棱长为 1 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 的顶 点 A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是 AA1→A1D1→?,黄“电 子狗”爬行的路线是 AB→BB1→?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线 (其中 i 是正整数) .设黑“电子狗”爬完 2015 段、黄“电子狗”爬完 2014 段后各自停止在正方体的某个顶点 处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “直线 l1、l2 互相垂直”是“直线 l1、l2 的斜率之积等于–1”的( (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 16.若 m、n 是任意实数,且 m>n,则( (A) m2>n2 (C) lg(m–n)>0 (B) (B) 必要不充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 ). ).

n ?1 m 1 1 (D) ( ) m ? ( ) n 2 2
).

17.已知 a , b 是单位向量, a ? b ? 0 ,且向量 c 满足 | c ? a ? b | =1,则| c |的取值范围是( (A) [ 2 ? 1, (C) [ 2 ,

2 ? 1]

(B) [ 2 ? 1,

2]

2 ? 1]

(D) [2 ? 2 , 2 ? 2 ]
P M y B O x

18.如图,AB 为定圆 O 的直径,点 P 为半圆 AB 上的动点.过点 P 作 AB 的垂线,垂足为 Q,过 Q 作 OP 的垂线,垂足为 M.记 y O
(A)

Q A

y

y

y

弧 AP 的长为 x,线 段 QM 的长为 y, 则

x O
(B)

x O
(C)

x O
(D)

x

函 数 y=f(x) 的 大 致 图像是( ).

)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤. 19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a=3,cosA= 试求 b 的大小及△ABC 的面积 S.

6 ? ,B=A+ . 3 2

20. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AB ? AC ? 1 , B1 线 A1 B 与 B1C1 所成的角等于 60 ,设 AA1 ? a .
?

A1

C1

?BAC ? 90? ,且异面直

(1) 求 a 的值; (2) 求三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积. B A C

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中,已 知 椭 圆 C :
2 2

x2 y2 ? ? 1 , 设 点 R? x0 , y0 ? 是 椭 圆 C 上 一 点 , 从 原 点 O 向 圆 24 12

R : ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为 P, Q .
(1) 若直线 OP, OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2) 若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k 2 ,求证: 2k1k 2 ? 1 ? 0 .

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ? x ? ? | x | ?

m ? 1? x ? 0 ? . x

(1) 当 m=2 时,证明 f(x)在(–∞,0)上是单调递减函数; (2) 若对任意 x?R,不等式 f(2x) > 0 恒成立,求 m 的取值范围; (3) 讨论函数 y=f(x)的零点个数.

23.(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
2 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S1>1,且 6 S n ? an ? 3an ? 2 (n?N*).

(1) 求{an}的通项公式;

(2) 设数列 ?bn ?满足 bn ? ?

? an , n为偶数 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn; an ?2 , n为奇数

(3) 设 C n ?

bn ?1 , (n为正整数) ,问是否存在正整数 N ,使得当任意正整数 n > N 时恒有 Cn>2015 成立? bn

若存在,请求出正整数 N 的取值范围;若不存在,请说明理由.

金山区 2015 学年第一学期期末考试高三数学试卷 评分参考意见
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.

3 ; 2

2.{x| –1< x <1}; 7.?; 12. –6;

3.

5;

4.–3;

5. –1;

6. x=1 或 x=2; 11. ?

8.–6; 13.

9.y2=12x; 10.55 14. 3 .

?? 5? ? , ?; ?6 6 ?

3 2 ; 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.B; 16.D; 17.A; 18.A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤. 19.解:因为 cosA=

6 3 ,所以 sinA= ,??????????????????1 分 3 3

又 B=A+

6 ? ? ,所以 sinB=sin(A+ )=cosA= ,?????????????????2 分 3 2 2

a b ,???????????????????????????4 分 ? sin A sin B a ? sin B 所以 b= = 3 2 ,??????????????????????????6 分 sin A
又因为 cosB=cos(A+

3 ? )= –sinA= – ????????????????????????8 分 3 2

1 ,???????????????????10 分 3 1 3 所以△ABC 的面积 S= ab sin C = 2 . ?????????????????12 分 2 2
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 或解:因为 a2=b2+c2–2bccosA(2 分) 即:c2–4 3 c+9=0,解之得:c=3 3 (舍去),c= 3 , (2 分) △ABC 的面积 S=

1 3 (2 分) bc sin A = 2. 2 2

20.解(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC 就是异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角, 即∠A1BC =60?,????????????????????????????2 分 又 AA1⊥平面 ABC,AB=AC,则 A1B=A1C,∴△A1BC 为等边三角形,????4 分 由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? ? BC ? ∴ A1 B ?

2,

2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? a ? 1 ;?????????????????6 分

(2)连接 B1C,则三棱锥 B1–A1BC 的体积等于三棱锥 C–A1B1B 的体积, 即: V B1 ? A1BC ? VC ? A1B1B ,????????????????????????9 分 △ A1 B1 B 的面积 S ?

1 ,???????????????????????11 分 2

又 CA ? A1 A, CA ? AB,? CA ? 平面 A1 B1 B , 所以 VC ? A1B1B ?

1 1 1 1 ? ?1 ? ,所以 VB1 ? A1BC ? .????????????14 分 3 2 6 6

21.解:(1)由题意得:圆 R 的半径为 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,所以四边形 OPRQ 为 正方形,故 OR ?
2 2 2r ? 4 ,即 x0 ? y0 ? 16 ① ??????3 分

又 R? x0 , y0 ? 在椭圆 C 上,所以 C :

2 x0 y2 ? 0 ? 1 ②?????????????5 分 24 12

由①②及 R 在第一象限,解得 x0 ? y0 ? 2 2 ,????????????????7 分 (2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切,????????8 分

所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2 x0 y0 k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理有 ( x0 ? 8)k 2 ? 2 x0 y0 k 2 ? y0 ? 8 ? 0 ??????????????????10 分

所以 k1、k2 是方程 ( x0 ? 8)k ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 2 2

所以 k1k 2 ?

2 y0 ?8 ,???????????????????????????11 分 2 x0 ? 8

又因为 R? x0 , y0 ? 在椭圆 C 上,所以 C :

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 24 12

1 2 4 ? x0 1 1 2 2 即 y0 ,所以 k1k 2 ? 2 2 ? ? ,即 2k1k2+1=0.?????????14 分 ? 12 ? x0 x0 ? 8 2 2
22.解:(1) 当 m=2,且 x<0 时, f ( x) ? ? x ?

2 ? 1 ,????????????1 分 x

证明:设 x1<x2<0,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ?

2 2 ? 1 ? (? x2 ? ? 1) x1 x2

? ( x2 ? x1 ) ? (

2 2 2 ? ) ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 2 )?0 x1 x2

又 x1<x2<0,所以 x2–x1>0,x2x1>0, ,所以 ( x2 ? x1 )(1 ? 所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1) >f(x2),

2 ? 1 在(–∞,0)上单调递减的. ??????????4 分 x m (2)由 f(2x)>0 得 | 2 x | ? x ? 1 ? 0 , 2 1 1 x 2 x 变形为 (2 ) ? 2 ? m ? 0 ,即 m ? ?(2 x ) 2 ? 2 x ? ?(2 x ? ) 2 ? , 2 4 1 1 1 当 2 x ? 即 x=–1 时, [?(2 x ) 2 ? 2 x ]max ? ,所以 m ? .??????????10 分 2 4 4
故当 m=2 时, f ( x) ? ? x ? (3)由 f(x)=0,可得 x|x|–x+m=0 (x≠0),变为 m=–x|x|+x (x≠0),
2 ? ?? x ? x , x ? 0 令, g ( x) ? x ? x | x |? ? , 作 y=g(x)的图像及直线 y=m,由图像可得: 2 ? ? x ? x, x ? 0

当m ?

1 1 或 m ? ? 时,y=f(x)有 1 个零点. 4 4

1 1 或 m=0 或 m ? ? 时,y=f(x)有 2 个零点; 4 4 1 1 当 0 ? m ? 或 ? ? m ? 0 时,y=f(x)有 3 个零点.????????????16 分 4 4 2 23.解: (1) n ? 1 时, 6a1 ? a1 ? 3a1 ? 2 ,且 a1 ? 1 ,解得 a1 ? 2
当m ?

n ? 2 时, 6S n ? a n ? 3a n ? 2, 6S n ?1 ? a n ?1 ? 3a n ?1 ? 2 ,两式相减得:
6a n ? a n ? a n ?1 ? 3a n ? 3a n ?1 即 (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 3) ? 0 ,? a n ? a n ?1 ? 0 ,
? a n ? a n ?1 ? 3 ,? ?a n ? 为等差数列, an ? 3n ? 1 . ???????????4 分
(2) bn ? ?
2 2

2

2

?3n ? 1, n为偶数 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 3 n ?1 ? 2 , n为奇数

n (5 ? 3n ? 1) 4(1 ? 8n ) 2 4 n(3n ? 4) 当 n 为偶数时,Tn=(b1+b3+?+bn–1)+(b2+b4+?+bn) ? , ? ? (8n ? 1) ? 1 ? 64 2 63 4
当 n 为奇数时,Tn=(b1+b3+?+bn)+(b2+b4+?+bn–1)

n ?1 (5 ? 3n ? 4) 4(1 ? 8n ?1 ) 4 (n ? 1)(3n ? 1) 2 ? ? ? (8n ?1 ? 1) ? . 1 ? 64 2 63 4

n(3n ? 4) ?4 n ( 8 ? 1 ) ? , n为偶数 ? 63 4 ?Tn ? ? ????????????10 分 4 (n ? 1)(3n ? 1) ? (8n ?1 ? 1) ? ,n为奇数 4 ? 63 an?1 3n ? 2 ?2 2 ? , n为偶数 ? ? an 3 n ? 1 (3) Cn ? ? , ? an ?1 ? 3n ? 2 , n为奇数 ? 2 an 23n ?1 ? 3n ? 8 3n ? 2 1 当 n 为奇数时, C n ? 2 ? C n ? 3n ?5 ? 3n ?1 ? 3n ?5 [3n ? 8 ? 64(3n ? 2)] ? 0 , 2 2 2
∴Cn+2<Cn,故{Cn}递减, Cn ? C1 ?

5 ? 2015 , 4

因此不存在满足条件的正整数 N.????????????????????18 分


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