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空间几何体的直观图教学案用


1.2.3

空间几何体的直观图

(一)根据教学目标,学生自学 P16~P19,完成下列练习。 1、斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,它利用了斜投影和正投影两种方法。 2、请问下列图形所示是一种什么投影?

(1)

(2) 思考: 如果平面图形中的两条线段平行且相等, 那么在它的直观图中对应的两

条线 段( ) A.平行且相等 B.平行不相等 C.相等不平行 D.既不平行也不相等 解析:选 A.由斜二测画法不改变原图形中线与线间的平行与相等关系可知选 A. 3、正投影得到的图形与原来的图形有何关系? 4、斜二测画法步骤: ⑴画轴,画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 x'轴和 y'轴, 两轴相交 于点 O',且使∠x'O'y' =45 度(或 135 度), 它们确定的平面表示水平平面.,即 x'Oy'=45°, x'Oz'=90°。. ⑵画对应图形: 已知图形中的平行 x 轴的线段, 在直观图中画成平行于 x'轴,; 已知图形 平行于 y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 y'轴;已知图形中的平行 x 轴的线段,在直观图 中画成平行于 z 轴, 平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变;平行于 y 轴的线段,在直观图中长度为原 来一半.;平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变。 ⑶ 成图.连接相应端点,去掉辅助线,将被遮挡部分改为虚线等.。 斜二测画法口诀: 平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变;眼见为实遮为虚,空间观感好体现。 5、如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图中的( )

解析:选 C. 6、平行四边形的直观图________平行四边形.(用“是”或“不是”作答)

答案:是

(二)经典例题讲解 例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为 ( ) 3 3 A. a2 B. a2 4 8 6 6 C. a2 D. a2 8 16

解析:选 D. 例 2 一个四边形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,求原四 边形的面积. 解:如图(1)是四边形的直观图,取 B′C′所在直线为 x′轴. 因为∠A′B′C′=45°,所以取 B′A′所在直线为 y′轴.过 D′作 D′E′∥A′ B′,D′E′交 B′C′于 E′,则 B′E′=A′D′=1. 又因为梯形为等腰梯形,所以△E′D′C′为等腰直角三角形.所以 E′C′= 2.

再建立一个直角坐标系 xBy,如图(2)所示,在 x 轴上截取线段 BC=B′C′=1+ 2, 在 y 轴上截取线段 BA=2B′A′=2.过 A 作 AD∥BC,截取 AD=A′D′=1.连接 CD, 则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的实际图形.四边形 ABCD 为直角梯形,上底 1 1 AD=1,下底 BC=1+ 2,高 AB=2,所以 S 梯形 ABCD= AB(AD+BC)= ×2×(1+1 2 2 + 2)=2+ 2. (三)课堂练习 1、画水平放置的正三角形的直观图。

2、如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D 是△ABC 中 BC 边的中点,那么 AB、AD、 AC 三条线段中最短的是 . 答案:AD (四)课堂归纳与小结 学生自己完成:斜二测画法的特点是什么? (五)教学检测

1.下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C. 2.水平放置的△ABC 有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正△A′B′C′,则△ ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 解析:选 C. 3.关于斜二测画法的如下说法中不正确的是( ) A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x′轴,长度 不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y′轴,长度 变为原来的一半 C.画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时,∠x′O′y′必须 是 45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:选 C. 4.如图所示,正方形 ABCD 在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐 标为(2,2),则在用斜二测画法画出的此正方形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为( ) 1 2 A. B. C.1 D. 2 2 2 解析:选 B. 5.如图,已知等腰三角形 ABC,则如下图所示的四个图中, 可能是△ABC 的直观图的是( )

A.①② B.②③ 解析:选 D. 6. 如图所示的正方形 O ′ A ′ B′C′的边长为 1 cm,它是水平放 置的一个平面图形的直观图, 则原图 形的周长是( ) A.6 cm B.8 cm C. (2+3 2) cm D. (2+2 3) cm 解析:选 B. 7.如图所示,△A′B′C′是△ ABC 的直观图, 且 A′B′=A′C′, 那么△ABC 是 . 答案:直角三角形

C.②④

D.③④

8.如图为水平放置的△ABO 的直观图,由图判断原三角形中 AB、BO、BD、OD 由小 到大的顺序为 . 解析:在原三角形中,AO=5,BD=4,BO=5,OD =3, AB= 42+22= 20, 故 OD<BD<AB<BO. 答案:OD<BD<AB<BO 9.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积 的________倍. 解析:原三角形中一边的高在直观图中长度减半,又高与底边的夹角变成 45°,则直 2 观图中的三角形的高为原三角形中的高的 倍.而三角形底边的长度不变,所以三角形的 4 2 2 直观图的面积是原三角形面积的 倍. 答案: 4 4 10.如图所示,等腰直角三角形 A′B′O′是△ABO 的直观图,它的斜边 O′A′=a, 求△ABO 的面积. 解:∵△O′B′A′为等腰直角三角形,其斜边 O′A′=a, 2 ∴O′B′= a,如图(1).将直观图还原后的平面图形如图(2).即为直角三角形, 2 其中∠AOB=90°,直角边 OA=a,OB= 2a, 1 2 ∴S△AOB= a· 2a= a2. 2 2

11. (拓展题)在水平放置的平面α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′,如图, 其中对角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图, 试画出该四边形的真实图形并求出其面积.

解:四边形 ABCD 的真实图形如图所示. ∵A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, ∴∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°, ∴在原四边形 ABCD 中, DA⊥AC,AC⊥BC. ∵DA=2D′A′=2,AC=A′C′= 2, ∴S 四边形 ABCD=AC·AD=2 2.


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