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抽象函数专题2


大东方学校高 2017 级高一上期培训讲座

2014.12.6

抽象函数专题 2
Ⅱ 抽象函数常见题型
的定义域是 ,求函数 的定义域。 一、定义域问题 例 7. 已知函数

二、求值问题 2 2 例 8、 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(m+n )=f(m)+2[f(n)] ,其中 m,n∈R,且 f(1)≠0.则 f(2013)=____________.

(2) .若函数 f(x)满足 f(x+10)=2f(x+9) ,且 f(0)=1, 则 f(﹣10)=_________. 三、值域问题 例 9. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, 且存在 ,使得 ,求函数 的值域。 总成立,

四、解析式问题 例 10. 设对满足 f(x)的解析式。 的所有实数 x,函数 满足 ,求

五、单调性问题 例 11、 (2013?天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递 增.若实数 a 满足 则 a 的取值范围是( ) A. [1,2] B. C. D. (0,2]

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例 12. 设 f(x)定义于实数集上,当 ,求证:

时,

,且对于任意实数 x、y,有

在 R 上为增函数。

练 习 : 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 实 数 m, n 都 有
f (m) ? f (n) ? f (m ? n)

且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . (I)证明: f (0) ? 1 ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1; (II)证 f ( x) 为减函数; (III)如果对任意实数,有 f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (axy) 恒成立.求实数 a 的范围.

六、奇偶性问题 例 13、 (1) (2004?贵州)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= , f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)=( A. 0 B. 1 ) C.

D. 5

(2) (2008?重庆)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1) +f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1 为奇函数D. f(x)+1 为偶函数

七、对称性问题 1.函数 y ? f ( x) 关于 x ? a 对称等价于对任意的定义域中的 x 值有

f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) ? f (2a ? x) ? f ( x) ? f (a ? b ? x) ? f (a ? b ? x) 2. 函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 成中心对称等价于对任意的定义域中的 x 值有 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b
例 14. 已知函数 满足 ,求 的值。

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八、周期性问题 定理 1.设 ? 为非零常数,若对函数 f ( x) 定义域中的任何 x ,恒有 f ( x ? ? ) ? M ( f ( x)) , 这里 M ( x) 满足 M ( M ( x)) ? x 且 M ( x) ? x ,则 f ( x) 为周期函数,2 ? 是 f ( x) 的周期,若

? 是最小正数则 2 ? 是最小正周期。
如:满足下列条件恒成立的都是以 2 ? 为周期。 ① f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ② f (x ? ?) ?

1 1 ; f (x ? ?) ? ? f ( x) f ( x)

③ f (x ? ?) ?

f ( x) ? 1 f ( x) ? 1

④ f (x ? ?) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)
⑥ f (x ? ?) ? f (x ? ?)

⑤ f (x ? ?) ?

af ( x) ? b (a, b, c ? R, a 2 ? bc ? 0, c ? 0) cf ( x) ? a

⑦ f ( x ? ? ) ? ? f (? ? x), f ( x) 为奇函数

⑧ f ( x ? ? ) ? f (? ? x) 且 f ( x) 为偶函数

定理 2:设 ? 为非零常数,若对函数 f ( x) 定义域中的任何 x ,恒有 f ( x ? ? ) ? w( f ( x)) , 这里 w( x) 满足 w(w( x)) ? M ( x) 且 M (M ( x)) ? x, M ( x) ? x ,则 f ( x) 为周期函数,4 ? 是

f ( x) 的周期,若 ? 是最小正数则 4 ? 是最小正周期。
如:满足下列条件恒成立的都是以 2 ? 为周期。 ① f ( x ? ? ) ? ? f ( x ? ? ) ; ② f ( x ? ? ) ? f (? ? x) 且 f ( x) 是奇函数 ③ f ( x ? ? ) ? ? f (? ? x) 且 f ( x) 是偶函数; ④ f ( x ? ? ) ?

f ( x) ? 1 1 ? f ( x)

⑤ f (x ? ?) ?

f ( x) ? 1 1 ? f ( x)

⑥ y ? f ( x ? a); y ? f ( x ? b) 同奇偶性时, f ( x) 是以 2 b ? a 为周期的函数; ⑦若 y ? f ( x ? a); y ? f ( x ? b) 异奇偶性时时, f ( x) 是以 4 b ? a 为周期的函数;

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例 15、 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x∈R,都有 f(x+3)≤f(x)+3 和 f(x+2)≥f(x)+2,若 f(998)=1002,则 f(2012)=

(2) .f(x)为 R 上的偶函数,g(x)为 R 上的奇函数且过(﹣1,3) ,g(x)=f(x﹣1) , 则 f(2012)+f(2013)= .

综合应用: 16.定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) 满足:
x? y ); (1)对任意 x, y ? (?1,1) ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 1 ? xy

(2)当 x ? (?1,0) 时,有 f ( x) ? 0 .
1 1 1 1 )? f( ) 求证: f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( 2 5 11 2 n ? 3n ? 1

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